[1ère ES] limites, étude de fonction, équations pour rentrée

Alros tu as bien compris le truc sauf que pour les solutions, il y a un petit plantage car: x₁= [-b+Racine(delta)]/(2*a)

Je te laisse corriger l'erreur.

Sinon, la démarche étiat juste.

-B + raccine carré de 8/2
2 +raccine carré/2
=2,41 toujours:)



on a finit l exercice??

Bonjour,

Alors en fait, on préférera une valeur exact de notre solution vu que depuis la question 2)c) nous en avons une valeur approchée à 10_-2 donc aucun intérêt mis à part qu'on vient de démontrer rigoureusement l'approximation.

Il faut donc mieux garder la solution exact de la solution c'est à dire l'expression avec la racine carrée qu'on a simplifié au maximum.

Bon courage pour finaliser l'exercice!

OK J AI FINIS ET J AI REUSSI



merci beaucoup
je dis qu il a raison avec ce raisonement là :
1/x=x - 2 donne :

x-2-1/x=0

Réduc au même déno :

(x²-2x-1)/x=0

Une fraction est nulle si son numérateur est égal à zéro hors ici il est nulle donc la fraction est nulle :

x²-2x-1=0

nous somme donc face à une equation du second degrés
calculons maintenant delta pour conaitre ses racines

D =b²-4ac
D=-2² - 4 (1 fois -1)
D=4 +4
D=8
delta est positif donc deux racines

x1: -B + raccine carré de 8/2
2 +raccine carré/2
=2,41 toujours:)
x2 :et x2 = -2- racine carré de 8/2=0,41

notre domaine de definition est ]0;+00[ , nous ne prendons donc que les racines supérieur a 0.
iL Y A DONC BIEN UNE unique SOLUTION
x=2,41

Cet éleve a donc raison:)

C est ça???
je suis trop fiere de moi si c est ça:)

On met les parenthèse lorsqu'on a un carré:

Citation :

D=(-2)² - 4 (1 fois -1)

Citation :

x2 = -2- racine carré de 8/2=0,41

Depuis quand lorsque j'ajoute deux nombres négatif cela me fait un nombre positif??

Enfin, je me répète mais la réponse doit être sous forme exact c'est à dire avec la racine carré et non sous forme approché (surtout avec un "=" car ce n'est pas égale justement).

Sinon, la rédaction se tient, sauf qu'on annonce pas le résultat dès le départ mais on conclut par le résultat.

non pour x2= 2 c est ça

donc y a deux solutionnnnns??

Que vaut x₂ avec la racine carré?

Est-il positif?

(-(-2)²+racine carré de 8)/2 a preu pres egale à -0, 59 c est ça???

Oulà!

Soit le trinôme du second degré suivante: p(x)=ax²+bx+c. Je suppose que Delta est strictement positif.

Que vaut les racines de trinôme en fonction de a,b, c et delta?

x2 = -2- racine carré de 8/2=0,41

je comprends pas ma faute ci... pouvez vous me corriger svp

Alors écrit comme tel c'est faux mais calculons-le tout de même:

[-2-Racine(8)]/2=-[2+Racine(8)]/2

J'ai donc un "-" en facteur, mon résultat est donc forcément négatif. Or tu trouve un résultat positif ce qui n'est pas logique, tu ne crois pas .

Cependant, la solution au problème n'est pas égale à [-2-Racine(8)]/2.

Qu'appliques-tu comme formule pour trouver les solutions de ton équation?

ba je sais pas:)

Soit a, b et c des réels quelconque tel que Delta=b²-4*a*c>0.

Quelles sont les solutions de l'équation: ax²+bx+c=0 ?

C'est juste cela la question en fait.

ba j en sais rien je vois pas le rapport entre delta et ça en fait..

Oulà! Cela me semble beaucoup plus limpide, le fait que tu ne comprennes pas tout ce que tu fais au vu de ta question.

Alors la mise en évidence du delta se fait par la résolution de l'équation du second degré ax²+bx+c=0 avec a, b et c des réels et a non nul.

On commence par mettre a en facteur ce qui est possible car a est non nul ce qui nous donne:

a*[x²+(b/a)*x + c/a]=0

Maintenant, on va interpréter les deux premiers termes de la parenthèse comme le début d'un carré. En effet: x²+(b/a)*x=x²+2*[b/(2a)]*x
On arrive donc à: x²+(b/a)*x=x²+2*[b/(2a)]*x + b²/(4a²) - b²/(4a²)
Ce qui nous donne: x²+(b/a)*x= [x+b/(2a)]² - b²/(4a²)
Et si je remet cela dans notre équation initiale, on obtient:

a*[ [x+b/(2a)]² - b²/(4a²) + c/a ]=0

Or -b²/(4a²)+c/a= -[b²/(4a²) - c/a] = -(b²-4*a*c)/(4a²)
Et on voit apparaître le fameux Delta au numérateur de cette fraction. Donc si je pose Delta=b²-4*a*c, j'obtiens:

a*[ [x+b/(2a)]² - Delta/(4a²) ]=0

Est-ce que jusque là c'est clair?

sincerement non c est pas clair:)

Ok.

Alors le but de la manoeuvre est de pouvoir factoirser l'expression suivante: ax²+bx+c avec a différent de 0 (a,b,c des réels).

La seule chose qu'on sait factoriser à l'heure actuelle ce sont des epxression où on a un facteur commun ou encore des expressions relevant des identité remarquable. Ce sont les seule hypothèse qu'on a pour factoriser cette expression.

Est-ce qu'on voit un facteur commun dans ax²+bx+c ? La réponse est non car un terme est en x², un autre en x et le dernier ne contietn pas de x, donc il n'y a pas de facteurs communs aux trois termes.

Donc les seules choses qu'on va pouvoir utiliser pour factoriser sont:

(α+β)²=α²+2*α*β+β²
(α-β)²=α²-2*α*β+β²
(α+β)*(α-β)=α²-β²

On cosntate d'après ses trois formes là, qu'il va falloir mettre en évidence des carrés dans notre expression. Seulement a peut être positif ou négatif, on ne sait rien sur lui sauf qu'il est non nul. Donc la première chose à faire c'est de le mettre en facteur ce qui donne:

ax²+bx+c=a*[x² + (b/a)*x + c/a]

Pourquoi? Car a*(b/a)=b; a*(c/a)=c et a*x²=ax². Donc en partant de la partie de droite, je retrouve bien la partie de gauche, il y a bien égalité entre les deux termes.

Donc maintenant, on va travailler sur l'expression qu'il y a entre les crochets c'est à dire: x² + (b/a)*x + c/a

Et la question reste la même, c'està dire qu'on souhaite factoriser cette expression là avec ce que nous connaissons c'est à dire les identités remarquables.

La première chose qu'on observe c'est qu'il n'y a pas une diférence de deux carrés car il y a trois termes qui ne se réduisent pas car l'un est en x², l'autre en x et le dernier sans x. Nous ne pouvons donc pas utiliser la factorisation par la troisième identités remarquables. Enfin, vu que nous n'avons que des additions, nous sommes donc près de la première identité remarquable: (α+β)²=α²+2*α*β+β²
Alors essayons de faire apparaître cette identité remarquable dans notre expression:

x² + (b/a)*x + c/a = x² + 2*[b/(2a)]*x + c/a (car 2*[b/(2a)]=(2b)/(2a)=b/a en simplifiant par 2)

On constate donc qu'on a presque une identité remarquable sous les yeux avec α=x et β=b/(2a). Donc essayons de voir ce que cela donne si je développe (α+β)². On a:

[x+b/(2a)]²= x² + 2*[b/(2a)]*x + [b/(2a)]²

Donc si j'isole ce que j'ai cela donne: x² + 2*[b/(2a)]*x = [x+b/(2a)]² - [b/(2a)]²

Maintenant, je remplace dans mon expression qu'on a laissé plus haut:

x² + 2*[b/(2a)]*x + c/a= [x+b/(2a)]² - [b/(2a)]² + c/a

Et maintenant, Le but est de faire apparaître la différence de deux termes carré pour pouvoir factoriser par la troisième identité remarquable. Et pour cela, il faut réduire les deux termes en dehors du carré pour voir ce que cela donne. Donc en met au même dénominateur et on calcule:

- [b/(2a)]² + c/a[/color] = -b²/4a² + (4a)*c/(4a²) = - [b² - 4*a*c]/(2a)² (car 4a²=(2a)²

Ce qui nous donne au finale:

x² + 2*[b/(2a)]*x + c/a= [x+b/(2a)]² - [b² - 4*a*c]/(2a)²


Miantenant, je pose (je donne un nom) au numérateur de la fraction de droite. Je l'appelle le discriminant de l'équation et je le note Delta. Ce qui me donne Δ=b²-4*a*c

Si je remet ma toute première expression je suis arrivé à ceci:

ax²+bx+c=a*[ [x+b/(2a)]² - Δ/(2a)² ] avec Δ=b²-4ac


Et c'est là qu'on voit le caractère très particulier de Δ. En effet, Si:

Δ=0, alors j'ai a*[x+b/(2a)]² tout simplement.

Δ>0, alors je peux écrire Δ=(√Δ)² et j'ai donc la différence de deux carrés a*[ [x+b/(2a)]² - [√Δ/(2a)]² ] et je peux donc factoriser cette expression là par la troisième identité remarquable

Δ<0, alors je ne peux pas factorisé car j'ai l'addition de deux nombres positifs.

Est-ce plus clair ainsi aussi bien au niveau du cheminement de la factorisation (étape par étape) que la fin sur les trois cas (en gros pourquoi calcules-tu le Δ? je répond à cette question là)?

oui:)
alors on fait quoi maintenant:)

Maintenant, nous somes dans le cas où Δ>0. Donc on peut factoriser ceci:

a*[ [x+b/(2a)]² - [√Δ/(2a)]² ]

Car c'estl a différence de deux carrés avec α=x+b/(2a) et β=√Δ/(2a)

Qu'est-ce que cela nous donne?

alors
=x+b/(2a) et β=√Δ/(2a)


X -2/2


et etset= racciné de 8/2

???

Je ne comprend pas ton dernier message.

Je demandais la factorisation de l'expression suivante:

a*[ [x+b/(2a)]² - [√Δ/(2a)]² ]

à l'aide de la troisième identité remarquable: (α+β)*(α-β)=α²-β² avec α=x+b/(2a) et β=√Δ/(2a)

On a donc: a*[ [x+b/(2a)]² - [√Δ/(2a)]² ]= ??

(x+b/(2a) )² -(√Δ/(2a))²

voilà

Ça c'est la forme développée de mon expression et non la forme factorisée .

En effet, une forme factorisée contient des multiplications de terme en x de degré 1 ou 2 (c'est à dire en x ou en x²). Ici, les deux facteurs sont de degré 1 c'est à dire que chacun des facteurs contient x¹ comme puissance la plus haute.

On a donc sous les yeux: (x+b/(2a) )² -(√Δ/(2a))² et on aimerait bien factoriser cette expression là grâce à la troisième identité remarquable. Pour avoir un produit de deux facteurs en x.

Bon courage!

sincerement cuicui je sais que vous vous donnez beaucoup de peine pour essayer de me faire comprendre et je ne vous remercerai jamais assez mais je ne commprend vraiment pas pourquoi
apres avoir calculer les racines de delta on se s arrete pas là!

En fait, c'est vrai que je fais de la "torture" sans t'expliquer pourquoi je la fais. J'ai manqué de tact pour le coup (certains parleront de pédagogie).

Alors en fait, le soucis c'est que tu utilises des formules fausses ce qui est très génant en soi. Il y a deux raisons pour utiliser une formule fausse:

- ne pas avoir appris la formule
- ne pas avoir compris la formule

Et il y a part contre deux solutions à ce problème soit je te dis de façon totalitaire:

- voilà la formule et c'est comme ça et pas autrement que tu dois l'apprendre !!!

Mais bon, cela n'a aucun intérêt car après tout pourquoi ta formule serait plus fausse que celle quej e te propose? Donc la deuxième solution est de démontrer rigoureusement les formules et ainsi on fait coup tripple:

- on sait d'où viennnent les formules (et donc lesquelles sont justes ou fausses)
- on sait les retrouver
- on les apprends mieux

Ma démarche est donc de te faire redémontrer les dites formules pour que tu sache d'où cela vient, comment on les retrouve et pourquoi les tiennes étaient fausses.

Pour moi, il n'y a pas mieux pour comprendre pourquoi ce qu'on écrit est faux que de retrouver les choses vraies en les redémontrant rigoureusement aux élèves au moins, il n'y a plus de doute possible sauf si la démonstration n'est pas claire et à ce moment là, on en discute et on voit chaque étape pour voir comment on passe de l'une à l'autre de façon rigoureuse.

J'ai donc détaillé dans un cas générale la factorisation d'un polynôme du second degré (aussi appelé trinôme du second degré) ax²+bx+c avec a,b et c réels et a différent de 0. Et à partir de là, j'ai retrouvé d'où venait le fameux Delta (qu'on appelle le discriminant) et pourquoi son signe nous intéressait (car on peut factoriser seulement en utilisant la troisième identité remarquable à ce stade là).


Et là dernière étape que je souhaite te faire écrire c'est justement l'explicitation des deux formules (x1 et x2) après la dernière factorisation lorsque le discriminant est strictement positif.

Donc lorsqu'on aura les bonne formule, on pourra conclure car là, on a encore deux solutions possible ce qui 'nest pas logique de part la construction de notre exercice. Donc oublions un peut l'exercice et essayons d'avoir les bonnes formules à appliquer .

Par conséquent, quelle est la factorisation de notre dernière expression: (x+b/(2a) )² -(√Δ/(2a))² à l'aide de la troisième identité remarquable?

Bon courage!