[1ère ES] limites, étude de fonction, équations pour rentrée

Les problèmes, je ne peux les détecter si tu continue à avancer sans les mettre en évidence (même si je les ressens, je ne peux pas me permettre de travailler à l'inverse du courant ). Pour ma part, je ne te demande pas de connaître la théorie mais simplement d'arrêter le bluff du genre "j'écris quelque chose que je ne comprend pas et je continue l'exercice", le but et vraiment de comprendre ce qu'on fait sinon, tu vas accumuler plus de lacune qu'autre chose et résoudre ton exercice n'aura servi à rien au final (ce que je veux éviter pour ma part).

Alors, là où tu fais une erreur dans la définition c'est justement qu'il ne s'agit pas de le montrerp our une seule valeur de x mais pour toutes les valeurs dans l'ensemble qu'on considère.

Par conséquent, on a montré que pour tout x>0, g'(x)=(x²+1)/x²

Tu en a déduit que pour tout x>0, on a: g'(x)≥0 (c'est ce que tu écirs "on sait que son signe est postif")

Donc d'après le théorème que je t'es énoncé, nous sommes dans le premier cas i) c'est à dire que nous avons une dérivée positive pour toutes les valeurs de x>0 (c'est cela qui est important) et on en déduit donc que g est croissante sur ]0;+infini[.

Le soucis est que dans la deuxième partie de la question 2), on cherche à montrer la stricte croissance de la fonction g et non seulement sa croissance.

Comment pouvons-nous avancer vers ce résultat là?

Bon courage!

ok j ai oublié ça

Soit x et y dans I tel que x≤y
On suppose que F est croissante sur I. Donc pour tout x et y dans I, F(x)≤F(y)

D'où F(y)-F(x)≥0 (*)

x=2
y=3

On suppose que g est croissante sur I donc pour tout x et y dans I, g(x)≤ g(y)

g(2)=2-2 - 1/2
g(2) =0 - 1/2
g(2)=0.5


G(3)=3-2 -1/3
g(3)=1 - 0,33
g(3)=0,67


donc on peut dire que la fonction est strictement croissante:)

Alors faire une démonstration sur des valeurs précisent cela ne marche pas. Pourquoi?

Imagine la fonction f(x)=x*sin(x). Cette fonction oscille autour d'une droite et pourtant on a bien une différence positive entre x=2 et y=3. Donc en prenant des valeurs précises, on ne peut pas conclure.

Ici, on a déjà montrer que notre fontion était croissante car sa dérivée était positive.

Or d'après ce que je t'ai dit:

i) Pour tout x dans I, F'(x) est positive (respectivement, strictement positive) <=> F est croissante (respectivement, strictement croissante) sur I

Le respectivement signifiant que si je ne considère pas la positivité mais la stricte positivité alors la fonction n'est pas croissante mais scrtictement coissante.

En conclusion, notre fonction sera strictement croissante sur ]0;+Inf[ lorsqu'on aura montré que pour tout x>0 (c'est à dire x dans ]0;+Inf[) on a: g'(x)>0

Ce n'est pas forcément compliqué de montrer cela mais il faut l'écrire pour montrer que tu appliques bien un théorème de ton cours en utilisant les bonnes hypothèses.

Est-ce que tu comprends le problème qu'il y avait dans ton raisonnement? Sinon, n'hésite pas à demander des précisions.

Bon courage!

En conclusion, notre fonction sera strictement croissante sur ]0;+Inf[ lorsqu'on aura montré que pour tout x>0 (c'est à dire x dans ]0;+Inf[) on a: g'(x)>0

ca je ne saurai le demontrer!

Alors, on a montré que g'(x) était positif pour tout x>0 car quotient de deux termes positifs.

Mais en fait, on peut faire mieux et montrer que pour tout x>0, g'(x)>0. Comment faire?

Et bien, sachant qu'on a pour tout x>0, g'(x)≥0.
Pour avoir la strictie positivité, il nous suffit de montrer que g'(x) ne s'annule pas pour tout x>0. C'est à dire est-ce que g'(x)=0 a des solutions sur ]0;+Inf[?

Bon courage!

et bien non:)

En effet, il n'y a pas de solutions car x² est différent de 0 (fallait mieux qu'il ne soit pas nul vu qu'on divise par lui . Et de même x²+1 ne s'annule jamais non plus (on additionne des choses strictement positive).

On peut donc conclure que pour tout x>0, on a: g'(x)>0

Ce qui conclut sur la stricte croissante de la fonction g.

Est-ce que le raisonnement maintenant est clair ou il reste encore flou? Il faut absolument comprendre cette démarche là car tu feras se raisonnement plus d'une fois (car des courbes en série ES ce n'est pas ce qui manque surtout en matière de statistique ). Donc il faut bien assimiler cela.

Que donne maintenant le tableau de variation de la fonction g sur ]0;+Inf[?

Bon courage!

ok je redige ( pour voir si j ai compris)

on sait que le signe de la derivée est positive car deux quotient positiv La fonction g est donc derivable est positive


mais je ne sais pas comment arriver à cette explication là en fait:

x>0, g'(x)≥0

Le fait que la fonction g était dérivable, on l'avais déjà en fait (sinon, nous n'aurions pas pu dériver la fonction ).
Par contre nous n'avons pas du tout le signe de la fonction g avec notre démarche (décidemment tu y tiens).

On a montrer que pour tout x>0, x²+1>0 et x²>0. Sachant que pour tout x>0, g'(x)=(x²+1)/x² (d'après le calcul de notre dérivée). En conclusion, nous avons sous les yeux le fait que pour tout x>0, on a: g'(x)>0 car c'est un quotient de deux nombres strictement positifs (Ce qui revient à dire en français: "La dérivée de g est strictement positive sur ]0;+Inf[" mais on marque la version mathématique, c'est plus concis et on sait de quoi on parle directement mais si tu as des difficulté à faire le lien marque le en français si cela peut t'aider).

Est-ce que jusque là, c'est clair?

Ensuite, on applique le théorème qui fait le lien entre le signe de la dérivée et la monotonie de la fonction. C'est celui que je t'ai énoncé un peu plus haut:

Citation :

Théorème: Soit F une fonction dérivable,
i) Pour tout x dans I, F'(x) est positive (respectivement: strictement positive) si et seulement si F est croissante (respectivement: strictement croissante) sur I
ii) Pour tout x dans I, F'(x) est négative (respectivement: strictement négative) si et seulement si F est décroissante (respectivement,:strictement décroissante) sur I
iii) Pour tout x dans I, F'(x)=0 si et seulement si F est constante sur I

Nous sommes ici dans le cas i) avec g' strictement positives sur ]0;+Inf[. Qu'en déduisons-nous d'après le théorème sur la monotonie de la fontion g?

qu elle est strictement croissante merci j ai compris:)

Nickel!

C'est déjà une très bonne chose car c'est un raisonnement qui revient assez souvent lorsqu'on étudie une fonction. Il ne reste plus qu'à faire le tableau de variation de la fonction g pour conclure cette question là. Si tu as des ennuie pour le faire n'hésite pas en tout cas.

Bon maintenant, on va voir pour la question c).
Résoudre (E) revient à chercher les solution de x-2=1/x c'està dire les solutions de l'équation (x-2)-1/x=0.
Or g(x)=(x-2)-1/x
Donc résoudre (E) revient à chercher les solutions de l'équation g(x)=0

Jusque là, je crois que tu avais compris le raisonnement.

Maintenant, on sait que notre fonction g est strictement croissante sur ]0;+Inf[ à valeur dans R)]-Inf;+Inf[ (à cause des limites que nous avons calculer un peu plus haut).

Par conséquent, il existe une unique solution dans ]0;+Inf[ à l'équation g(x)=0.

Alors la question que je me pose c'est: as-tu déjà utilisé et démontré le théorème suivante:

Citation :

Soit f une fonction continue strictement croissante sur [a;b] à valeur dans [f(a);f(b)]. Alors, pour tout réel y dans ]f(a);f(b)[, il existe un unique réel c dans ]a;b[, tel que : f(c) = y

Car c'est ce thoérème là qu'on applique ici mais il faut bien le comprendre en fait, donc si tu ne l'as pas compris ou tu as des doutes, je veux bien y revenir. Sinon, la réponse est l'application de ce théorème là en effet.

Pour conclure sur la valeur approchée à 10^-2 près del a solution, il faut réduire l'intervalle [a;b] tel que g(a)*g(b)<0 pour arriver à un intervalle d'amplitude 10_-2 (0.01 près).

Bon courage!

pour le tableau de variation c est celui que j ai fais en haut???
non???

Oui le theoreme je l ai vu en cours et je l ai meme noté ( j etais de bonne humeur ce jour là)


c)On sait que g(x) est continue et strictement croissante sur ]0;+inf[ ;La fct g(x) croît de -infini jusqu'à +infini et 0 est évidemment compris entre -infini et +infini donc il existe un réel "a" tel que :

g(a)=0

On voit sur le graphique en tracant la courbe (x) = (x - 2 ) - 1/x que :

2 < a < 3.

On rentre la fct g(x) ds la calculatrice avec départ à 2 à 0.1 près




On remarque que :

g(2.4)=-0.0166... qui est < 0

g(2.5)=0.1 qui est > 0

Donc : 2.4 < a < 2.5

On recommence avec la calculatrice avec, cette fois-ci, départ à 2.4 et à 0.01 et on trouve :

g(2,41)=-0,00493...qui est < 0

et g(2,42)=0,0067....qui est > 0.

Donc g(x)=0 pour une valeur "a" telle que :

2.41< a < 2.42


merci ma ti à 80 euros:)

Super ça!

Bizarre que tu es vu se théorème en 1ère d'ailleurs et surtout en 1ère ES car j'ai beau relire le programme, je ne le trouve pas. Il est au programme de terminale ES (tu dois avoir un professeur motivé ).

Donc ta démarche est juste et la réponse est excellente si tu as compris comment appliquerle théorème c'est déjà une bonne chose. Après, on petu revenir sur l'aspect théorique (voire la démonstration) de celui-ci si tu le souhaites (je propose mais ma petite voix me dit que la réponse sera non lol).

Donc passons à la dernière question maintenant.

Des idées?

oui je veux bien !!!
Je suis géniale hein:)

le tableau de variation que j avais fait été bon???

alors pour la derniere question:

1/x=x - 2 donne :

x-2-1/x=0

Réduc au même déno :

(x²-2x-1)/x=0



Bon maintenant que nous sommes intimes cuicui ...vous voudriez bien me dire ce que vous faites dans la vie ca m intrigue:)

Le tableau de variaiton était bon si on écrit g(x) et non "signe de g(x)" car ce sont les variation de g et non le signe de g qu'on a dans le tableau.

Pour la démonstration nous verrons cela à la fin de l'exercice à la rigueur.

Donc on a une fraction qui doit être nulle, quelle est la condition pour quelle soit nulle? C'est à dire, A/B=0 est équivalent à quoi?

ps: je fais des études de mathématiques comme l'indique mon profil tout simplement (rien de bien extra-ordinaire).

Une fraction est nulle si son numérateur est égal à zéro


attendez la vous etes entrain de me dire que vous etes bac plus 6 mathematiques????Vous voulez etre prof??????????

C'est exact!

Donc cela veut dire quoi que son numérateur ici est nulle?

Bon courage!

ps: bac+5 serait plus juste en fait, je m'occupe surtout du forum par plaisir et non comme une contrainte de travail, donc peu importe mon future métier..

ca veut dire qu elle est nulle donc
x²-2x-1=0
????

Moi je veux que vous soyez chercheur en mathematiques milliardaire:)

Donc nous sommes face à une équation du second degré en x, quelles sont ses solutions?

On va y arriverà force .

ps: ils sont rares les cherches milliardaires lol, la recherche en maths n'est pas le meilleur moyen d'avoir beaucoup d'argent mais bon c'est pas forcément le principale dans un métier.

ba si c est le principal:p
vous voulez faire quoi par la suite???
Moi je veux calculer delllllllllta!!

Donc allons-y quelle sont les solutions de l'équation x²-2x-1=0 à l'aide du delta bien entendu.

Enfin, y'a plus rapide en fait si tu te souviens de la forme canonique: x²-2*1*x-1=0

Je considère que x²-2*1*x est le début du carré (x-1)²=x²-2*1*x+1

Ce qui me donne: (x-1)² - 1 - 1 =0 <=> (x-1)²-2=0

Et là, on peut déduire aussi les solutions de façon un peu plus rapide si on est à l'aise avec les calculs. Mais alors ce delta et ses solution ça nous donne quoi ?

oula je prefere mon delta à moiiiiii
delta on va mettre D ok?
x²-2x-1
D =b²-4ac
D=-2² - 4 (1 fois -1)
D=4 +4
D=8
delta est positif
donc deux solution c est ça???

x²-2x-1
d =b²-4ac
d=-2²- 4(0 fois -1)
d=-4 -0
d=-4

delta negative


j hesite entre les deux je ne sais pas si a=0
ou 1

On a Delta= b²-4*a*c.

Or lorsqu'on écrit b² cela signifie b*b et par conséquent si b=-2 alors cela donne (-2)*(-2)=(-2)²
C'est pour cela qu'on met toujours des parenthèses lorsqu'il y a un carrée pour savoir sur quoi agit le carré.

Dnoc c'est le premier message qui était bon.

Par conséquent, les solutions sont?

x²-2x-1
D =b²-4ac
D=-2² - 4 (1 fois -1)
D=4 +4
D=8


d positive donc deux racine ( solution)
-2+ raccine carré de 8 /2 =-2,41

et x2 = -2- racine carré de 8/2=0,41

HORS ON CHERCHE DES SOLUTION DANS L INTERVALLE]0 ;+oo[
-2,41 ne se trouve pas dans cette intervalle
0,41 par contre oui
il y a donc bien une solution


c e st ça??