Exercice géométrie dans l'espace

Les deux points que tu cites sont bien des points pris par G.

Mais G prend aussi le milieu de [BC] eet le milieu de [BD], non ?

(EKI)?

C'est la deuxième fois que tu proposes (EKI). G ne prend pas la valeur de E ce n'est donc pas possible.

Regarde ce que tu cites en 1)b) tu vas bien voir les 3 points que prend G et qui te définissent le plan que décrit G.

Tu les as cité tous les 3 sans jamais les mettre ensemble .

C'est sacrément dur...

G se confond avec i, J et K donc (IJK)

Et ba voilà !

C'est pas simple la géométrie dans l'espace faut avouer et puis il finit par y avoir tellement de droite et de tracer sur la figure qu'on n'y voit plus grand chose.

Donc la conjecture est qu'il s'agit bien du plan (IJK) que tu peux appeler aussi (XYZ) c'est le même .

Et bien maintenant passons à la démonstration de ce petit truc là. Première partie on va montrer que pour tout emplacement de G il est dans le plan (IJK) et la deuxième partie de cette démonstration sera de montrer que G est le milieu de [EF] si il appartient au plan (IJK).

On est parti !

Désolé mais avant de se lancer, je pense que je vais dormir un peu histoire de pu perdre 2 heures demain à chercher un plan .

Bonne soirée et merci beaucoup! A demain donc.

Salut!
On parlait donc du plan (IJK)

Il s'agit en effet de notre conjecture: IJK est l'ensemble des milieu de [EF] lorsque E parcourt [AB] et F parcourt [CD].

La question 2) maintenant à pour but de démontrer cette conjecture et elle le fait en deux temps. Premièrement, on montre que si G est milieu de [EF] alors G appartient au plan puis on montrera dans un deuxième temps que si on prend un point M du plan alors il est milieu de [EF] pour E et F bien placé.

Bon courage!

On sait déjà que G est milieu de [EF] donc, G appartiendra forcément à notre plan soit : (IJK).

J'expliquais le principe de la deuxième partie de ton exercice, en fait.

Maintenant, on passe à la question 2).

Bon courage!

On peut résumer le 1?

Bonsoir MrTheYo,

On peut tout à fait faire un bilan de la première partie.

Alors pour ce qui est de la figure et bien elle est faite, donc voilà.

Après pour la 1)b), je vais te citer vu que tu l'as très bien détaillée:

Citation :

Dans les points particuliers il y a :

* F sur C, E sur B : (FE) et (BC) sont confondues et G est milieu de [AE].
* F sur C, E sur B : (FE) et (CD) sont confondues et G est milieu de [BC].
* F sur D, E sur A : (AD) et (FE) sont confondues et G est milieu de [AD].
* F sur D, E sur B : (BD) et (FE) sont confondues et G est milieu de [BD].
* E sur A, F sur C : (AC) et (EF) sont confondues et G est milieu de [AC].

Pour la question 1)c), je vais te re-citer vu que tu avais fini par bien la rédiger:

Citation :

Mais, pour toutes les autres positions de G, ce dernier se déplace sur la droite reliant les milieux des côtés [AD] et [AC].

On observe que (XY) est parallèle à (JZ) et lorsque E est en B, les points X et Y sont confondus avec les points I et K.

Ainsi, on peut donc conjecturer le fait que l'ensemble P rechercher est le plan (XYZ) ou (IJK) (c'est toi qui voit lequel tu mettras).

Et ceci conclut donc le 1).

Mais bon, en mathématique, on aime pas les chose à peu près fini donc on va maintenant vouloir démontrer cette conjecture de façon rigoureuse. Et c'est le principe des questions 2) et 3).

Dans la question 2), il s'agit de supposer que G est le milieu de [EF] et de démontrer que IG, IJ et IK sont coplanaires.

Or vu que IJ et JK dont deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK), ces deux vecteurs définissent une base du plan (IJK).

Donc IG est dans le plan (IJK).

Ce qui démontrera donc une inclusion: l'ensemble P est inclu dans le plan (IJK). Mais dans cette partie ce que je n'ai pas fait c'est démontrer l'égalité qu'on nous demande en 2)a) et c'est donc ce qu'il te reste à faire pour conclure cette question 2).

Bon courage et n'oublie pas une relation simple entre IK et CD et entre IJ et AB par exemple!

ps: désolé, tu nous as connu plus rapide au niveau de l'aide mais il y a des échéance d'examen et de projet qui explique une légère longueur dans l'attente mais je pense que tu comprendras sans problème.

Merci pour le résumé

Je vais me mettre aux 2 et 3 et ne t'inquiètes pas au niveau de la longueur et etc.. c'est normal et c'est déjà bien sympa que vous me donniez un coup de main donc merci .
Je bosse le reste et si j'ai un problème (ou si possible les bonnes réponses), je vous les envois.

Nous étions donc dans le plan (IJK)

Pour la question 2 je cite :

Blagu'cuicui a écrit:

Dans la question 2), il s'agit de supposer que G est le milieu de [EF] et de démontrer que IG, IJ et IK sont coplanaires.

Or vu que IJ et JK dont deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK), ces deux vecteurs définissent une base du plan (IJK).

Donc IG est dans le plan (IJK).

Ce qui démontrera donc une inclusion: l'ensemble P est inclus dans le plan (IJK). Mais dans cette partie ce que je n'ai pas fait c'est démontrer l'égalité qu'on nous demande en 2)a) et c'est donc ce qu'il te reste à faire pour conclure cette question 2).

Je dois donc démontrer cette égalité :

On a donc IG, IJ et IK coplanaires et je dois montrer la relation :

IG = AlphaIK + BêtaBK

Je dois donc déterminer un repère : (IK ; BK ; IG) Cela paraît-il cohérent?

Bonsoir,

En fait démontrer la relation va permettre de montrer que les trois vecteurs sont coplanaire (cf une des défnitions de coplanaire qui est d'ailleurs celle que tu connaissais le mieux d'après un autre exercice).

Il faut donc démontrer la relation qu'on nous demandent.

Vu comment est posé la question, je ne pense pas qu'il faille définir un repère. Le but est vraimetn de travailler avec la relation de Chasle et ce qu'on sait déjà.

D'ailleurs, commençons par voir ce qu'on sait déjà. Alors ce qu'on doit montrer c'est ça: IG = Alpha*IJ + Béta*IK

Ne connaîs-tu pas déjà une relation simple entre IK et CD et entre IJ et AB ? Dans le but de pouvoir commencer à avoir des relation vectorielle.

Bon courage!

2)a)

avec 2IK = CD et 2IJ = AB

On a donc :

IG = [Alpha(AB)]/2 + [Bêta(CD)]/2

?

Bonsoir MrTheYo,

C'est tout à fait celà!

Nous sommes donc amener à montrer que 2*IG = Alpha*AB + Béta*CD. Il ne faut pas oublier que c'est ce qu'on cherche à montrer et non se qu'on a.

Mais nous connaissons aussi deux autres relations intéressantes BE= Alpha*BA et CF= Béta*CD d'après les hypothèses de l'énoncer.

Nous sommes donc ramener à démontrer la relation suivante: 2*IG= BE + CF.


Le mieux serait peut-être de partir du membre de droite pour arriver à celui de gauche. Le but est donc dans un premier temps d'utiliser la relation de Chasle pour faire intervenir le point I dans un premier temps puis après à partir de la nouvelle relation de faire intervenir le point G.

Mais commençons par le point I, qu'est-ce que celà te donne comme relation en utilisant la relation de Chasle dans la partie de droite donc?

avec 2IK = CD et 2IJ = AB

On a donc :

IG = [Alpha(AB)]/2 + [Bêta(CD)]/2

donc :




avec :




DONC :




avec :

et

On se retrouve donc avec :



avec

donc : 2IG = 2IG + CF

Tu as été un peut trop rapide à la fin ce qui vaut une légère erreur :

Regarde:

Citation :

BE = IG + GE

Tu n'aurais pas oublié un BI en route ?

Et du coup tu vas voir que tu vas te retrouver avec 2*IG = 2*IG (car I estl e milieu de [BC] ce qui va simplifier les deux termes restant)

Cependant, cette rédaction n'est pas bonne car tu écris à toutes les ligne ce qu'on cherche à démontrer. Donc je te conseille soit décrire seulement la partie droite comme suit:

Alpha*IJ+ Bêta*IK = (1/2)*[ Alpha*AB + Bâta*CD]


Or BE= Alpha*AB et CF= Bêta*CD

Donc Alpha*IJ+ Bêta*IK = (1/2)*[ BE + CF]

Et de continuer à rédiger ainsi pour aboutir à la fin à:

Alpha*IJ + Bêta*IK = (1/2)*[2*IG]= IG

Car dans une rédaction, il ne faut pas écrire le résultat qu'on veut démontrer à toute les lignes sinon, on a l'impression que tu supposes que tu as déjà le résultat. C'est pour celà que pour montrer une égalité, soit on fait la différence et on montre qu'elle est nulle soit on prend l'un des deux côté de l'égalité et on montre qu'il est égale à l'autre côté. Il s'agit ici de rigueur au niveau de la rédaction mais celle-ci n'est pas négligeable lors de la note finale d'un devoir, il ne faut pas l'oublier .

Nous allons donc pouvoir passer à la question 3) maintenant.

Bon courage!

Je reformule donc tout ça :

AlphaIJ+ BêtaIK = (1/2)[ AlphaAB + BêtaCD]


Or BE= AlphaAB et CF= BêtaCD

Donc AlphaIJ+ BêtaIK = (1/2)*[ BE + CF]

avec :

On a donc :

AlphaIJ+ BêtaIK = (1/2)(BI + IG + GE + CI + IG + GF)

AlphaIJ+ BêtaIK = 1/2BI + 1/2IG + 1/2GE + 1/2CI + 1/2IG + 1/2GF

AlphaIJ+ BêtaIK = IG + 1/2BI + 1/2CI + 0 car GE= FG

AlphaIJ+ BêtaIK = IG + 0 car BI = IC

On a donc AlphaIJ+ BêtaIK = IG.

Voilà Je bosserais la 3) demain. @+ et merci pour le coup de main.

Et voilà la rédaction est nickel comme ça !

Bon courage pour la suite!

3) On sait que : M point de (IJK) et IM, IJ et IK sont coplanaires donc :

et Soit E et F les points tels que BE = xBA et CF = yCD.

ET je dois monter que E milieu de [EF]

C'est tout à fait ça, en effet!

Et dire que E est le milieu de [EF] peut aussi s'écrire comme on l'a vu dans le 2) comme une égalité vectoriel: EM = MF

Mais on peut aussi dire que c'est équivalent à démontrer que EM + FM = 0.

Je te propose donc de démontrer que EM + FM = 0.

N'oublie pas que nous avons utilisé des égalité vectoriel dans la question 2) qui reste toujours valable ici et qui peuvent donc servir à partir de l'égalité que nous avons en hypothèse poru cette question 3).

Bon courage!

Désolé pour cette réponse tardive mais j'ai eu quelques petits soucis...

Je disais donc :

EM = MF

et je dois démontrer que EM + FM = 0 avec M un point du plan (IJK)

Je dois utiliser ceci :

Bonjour,

C'est un moyen qui peut aboutir mais le plus difficile va être de faire intervenir M dans le sens que tu veux démontrer l'égalité.

Le mieux serait de partir de "EM + FM = ......" et là faire intervenir le point I dans les deux termes et seulement le point I.

Tu vas voire apparaître l'hypothèse que tu peux utiliser 2*IM = BE + CF (nous arrivons à cette égalité par les même considération sur les milieu comme nous l'avions fait dans la question 2) ).

Le but étant de montrer que EM + FM = 0

Le mieux dans ce genre d'exercice est de bien explicité ce qu'on veut montrer puis après de partir d'un des deux côtés de l'égalité pour arriver à l'autre en gardant à l'esprit qu'il faut utiliser les hypothèses.

Bon courage!