Géométrie dans l'espace

Bonjour,

Voilà donc le problème que je dois résoudre, je ne vous donne que la première partie, car la deuxième est en partie identique et seule une question me pose problème.

Une salle rectangulaire a une longueur de 5m, une largeur de 4m et une hauteur de 3m. Une fourmi non volante est au coin F du plafond et veut atteindre par le plus court chemain une miette située au centre O du plancher. (VOIR FIGURE JOINTE)
Le problème est de déterminer le plus court chemin de F à O, en longeant bien sûr le plancher, les murs ou le plafond.

1) la fourmi choisit de passer par le mur (ABFE).
a) On appelle x la distance BM; M est un point de [AB]. Quelles sont les valuers possibles de x ? J'ai donc trouver : S= [0;5]
b) la distance parcourue est FM + MO qui est uen fonction f de x. EXpirmer f en fonction de X. J'ai trouver que FM était égale à 9x en me servant du triangle FMB, rectangle en B. Mon poblème est donc de trouver MO en focntion de x et c'est pour cela que je demande votre aide !

Merci d'avance

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Alors sans figure c'est plutôt dire mais je crois avoir réussit à faire une figure qui ressemble à celle que tu dois avoir sous les yeux. Pour le détail j'ai:

(ABCD) le sol avec AB la longueur et AC la largeur d'après ce que tu as marqué. Et O est le centre du rectangle
(EFGH) le plafond avec EF la longueur et EH la largeur

Et j'ai donc AE qui est la hauteur de notre salle.

A partir de là, on a donc un point M sur le segment [AB] et donc BM ne peut être plus grand que le segment tout entier c'est à dire 5m (M=A) et plus petit que 0m (M=B).

Et à partir de là, on cherche donc à calculer la distance de notre fourmi non volante (ça aurait été plus simple si elle avait appris à voler d'ailleurs ) pour aller de F à O en passant par M donc.

On a donc FO=FM+MO et on cherche à exprimer cette distance là en fonction de x.

Tu utilises donc le fait que FMB est un triangle rectangle en B ce qui est une très bonne idée pour en déduire la distance FM. En revanche, quel calcul effectues-tu pour arriver à FM=9*x ?

Nous verrons la distance MO par la suite.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose ne s'avère pas clair dans ce que j'écris ou propose ou autre.

Dans un premier temps merci pour votre réponse, et votr eexpllixcation du dessin me paraît très bien

Donc pour FM, je me suis en effet trompé , FM est égal à racine carrée de (9+x^2)
Je suis donc en problème pour calculer MO !!

Merci d'avance

Alors en effet, nous avons bien FM=√(9 +x²)

Maintenant comment calculer la distance OM ?

Ce n'est pas des plus évident en effet mais essayons une méthode, il y en a sans doute d'autres mais pour l'instant celle que je vais proposer qui me paraît plutôt abordable.

Nous sommes donc amener à une étude dans un plan (ABCD). Donc nous sommes passer d'une étude dans l'espace à une étude dans le plan ce qui devrait nous simplifier la vie en quelque sorte.

Et dans un plan, nous savons qu'il est toujours possible de définir un repère et ici, on peut même définir un repère orthonormé.

Mais avant d'aller plus loin, essayons de comprendre le raisonnement que je te propose. En effet, je considère que la seule chose que nous savons fait c'est calculer des distances à l'aide du théorème de Thalès ou du théorème de Pythagore lorsque nous sommes en réflexion géométrique pure. Mais, tu connais aussi un autre moyen de calculer des distances, il s'agit du calcul de distance dans un repère orthonormé lorsqu'on connaît les coordonnées des points.

alors essayons ici de définir un repère orthonormé nous permettant de connaître les coordonnées des points M et O pour en déduire la distance MO.

Est-ce que le raisonnement te paraît clair? Abordable? Sinon, en rédigeant j'ai trouver un autre moyen plus géométrique de conclure mais bon après totu si tu sais mettre en place des repère c'est encore mieux (pour la compréhension globale des mathématiques j'entends).

Je te laisse réfléchir sur le sujet.

Bon courage!

Oui donc en effet, cett =e technique ne me paraît pas très simple, j'avais pensé à une autre technique mais je voudrais justement avoir votre avis

si on considère que MO = MB + BO

Grace a Pythagore dans ABD, on trouve que BD est égal à racine carrée de 41 et donc BO a 1/2 (racine carrée de 41)
comme MB =0

donc MO = x+1/2(racine carrée de 41)

Votre technique je n'est pas tout compris ??

Et oui c'est tentant de considère que MO = MB + BO, n'est-ce pas?

Le soucis? Je pense que tu l'as vu dans ta propre réticence à l'écrire. La distance qui va de M à B ajoutée à celle qui va de B à O est bien entendu différent de celle qui va de M à O directement. Pour prendre un contre exemple classique, l'hypoténuse est plus courte que l'addition des deux côtés de l'angle droit, tu peux le vérifier sur un exemple si tu veux.

Bon ma technique est sans doute trop complexe encore car tu n'as pas encore l'habitude de manipuler les repères orthonormés. Mais si tu souhaites t'orienter vers une série qui contient encore des mathématiques l'anée prochaine, demande moi d'y revenir par la suite car elle est intéressante pour la mise en équation.

Alors essayons un calcul plus géométrique. Je considère H l'intersection de la droite parallèle à (AD) passant par O et de la droite (AB).

- Que peut-on dire de cette droite par rapport à (AB)?
- Comment calculer la distance HO? Et la distance AH?

Est-ce que tu vois le raisonnement se mettre en place?

Ici, l'idée est vraiment d'introduire un point sur la figure pour débloquer la situation (l'autre idée étiat d'introduire un repère pour calculer sur des coordonnées).

Bon courage!

Non justement je ne vois pas l'intéreêt en lui même !
comment passer de ces calculs la a la distance MO ??

Ces calculs nous permettraient de calculer Bo , mais je pense pas que ce soit ca !!

MErci d'avance !
Mon cerveau est peut etre un peu fatigué !! mais je pense pouvoirc comprendre !

Alors essayons de prendre les choses à l'inverse et prenons un schéma classique de démarche scientifique:

Qu'avons-nous?

- La distance AB et la distance AD
- De plus, nous savons que ABCD est un rectangle donc (AB)//(CD) et (BC)//(AD) ainsi que BC=AD et AB=CD. De plus vu qu'il s'agit d'un rectangle, nous avons (AB) perpendiculaire à (AD) (les autres s'en déduisent par parallélisme)

- M est sur [AB] et MB=x


Que pouvons-nous déduire de l'énoncer?

- La distance BD par Pythagore. Et vu que les diagonale sont égales (c'est un rectangle) nous avons aussi la distance AC du coup.
- La distance AO car les diagonales se coupent en leur milieu (un rectangle est un parallélogramme particulier). Et donc aussi BO=CO=DO=AO

- La distance AM car A, M et B sont alignés donc AM=AB-BM et nous connaissons AB et BM


Et c'est tout ce que nous pouvons faire en l'état de lieu.


Maintenant que cherchons-nous?

- nous cherchons à calculer la distance MO.


Qu'avons-nous dans notre cours comme moyen de calculer une distance?

- Le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore.
- La trigonométrie (soh-cah-toa)
- Calcul de distance dans un repère orthonormé

Et c'est tout ce que nous avons. Avons-nous un repère dans l'énoncer? Non!
Donc la dernière possibilité est in-envisageable en l'état.

Avons-nous des angles pour utiliser la trigonométrie? Non! Donc la trigonométrie est in-envisageable aussi.

Il nous resterait donc les deux théorème classique. Mais avons-nous des triangles sous forme de Thalès dont on ne connaissent pas encore les côtés? Non! Et avons nous des triangles rectangles dont on ne connaît pas encore les côté? Non plus!

Nous sommes sont dans une impasse au niveau du cours et des notions présente dans l'énoncer pour répondre à la question. Il va donc falloir de nous-même introduire un point ou une notion pour pouvoir résoudre le problème.

Pour cela, on pourrait définir un repère ce que je proposais au début pour se ramener au cas d"utilisation de calcul de distance dans un repère. C'est faisable mais un peu complexe à mettre en place, je l'admet (même si c'est très pratique une fois compris).

Du coup, le but ça va être d'introduire un point que j'ai appelé H d'ailleurs de tel sorte qu'il nous fasse apparaître soit des parallèles, soit des triangles rectangles voire les deux. Pour qu'on puisse se ramener à la configuration d'application des deux théorème connu.

Et donc je construis H de telle sorte qu'il soit par construction, un point qui mette en évidence une configuration de Thalès (ou ici plus simplement la configuration de la droite des milieux d'ailleurs). Donc H est en fait le projeté de O sur le segment [AB], voilà pour la théorie hors programme et on le construit tout simplement comme l'intersection de deux droites défini dans mon précédent message.

Et dans cette configuration là, que peut-on dire du triangle MHO? Et c'est pour cela que je cherche à calculer la distance Ah ou BH pour en déduire celle de HM tout simplement car connaissant HM et HO j'en déduirai MO !

Est-ce plus clair?

Bon courage!

Merci, tout n'est pas encore très clair, je ne vois pas l'utilité de la configuration de Thalès, je comprends comment calculer HM, mais il y a donc 2 possibilités, quand X supérieur à 2 (jenne trovue pas la formule !) ou quand x inférieur à 2 (2-x) ??

Je vous laisse le temps de me répondre (je vais me coucher !!)
et surtout de m'avancer dans mon raisonneement !!

Merci d'avance !

La configuration de Thalès permet de calculer OH en fait. Mais c'est vrai qu'ici le rapport des longueur est égale à 1/2 donc bon, il n'y à pas grand chose à faire.

Par contre, ce que je ne comprend pas de ta part c'est la disjonction à x=2. En effet nous sommes sur [AB], donc que vaut BH?

Il y a bien deux cas à considérer mais la disjonction de cas se fait pour M=H (si M appartiant à la partie [AH] ou M appartient à la partie [BH]).

Bon courage!

Oui mais c'est ça, quand M est sur BH, c'est que X est inférieur à 2 (car BH égal 2 m) et quand il est sur AH, x est suéprieur à 2

Et la question que je me pose, c'est comment je vais pouvoir faire apparaître deux cas différents dans la réponse que je dois donner à la fin : la fonctipon f !!??

Merci

Bonsoir,

Désolé pour le contre temps, beaucoup de chose de prévu pour cette looongue journée.

Sachant que O est le milieu de [BD] vu qu'il s'agit du centre du rectangle. Et qu'on trace la parallèle à (AD) passant par O. Que savons-nous du point H pour le segment [AB] ?

Pour la destinction de cas, elle disparaîtrait peut-être après calcul qui sait après tout tant qu'on n'a pas encore fini les calcul, on ne sait pas. Sinon, il y aura une fonction F définie sur deux ensembles mais nous en reparlerons si besoin est.

Bon courage!

Donc si j'ai bien compris

HM = 2,5-x quand x est inférieur à 2,5
HM est égal à 2,5 + (x-2,5) quand x est supérieur à 2,5 ???????

Est-ce exact, sinon où est l'éerreur, par la suite on me demande de dresser un tableau de variation de cette fonction f (qui représente FM + MO) Comment je vais faire si jai deux expressions de MO (une quand x est supérieur à 2,5 et une quand x est inférieur à 2,5) ??

Merc id'avance !!

Bonjour,

Ta question est judicieuse (savoir anticiper est une vertu du mathématicien après tout) mais avant pour le coup de dire qu'il y a deux expressions, attendons d'arriver au bout de nos calculs car en effet, il serait plutôt gênant d'avoir deux expression pour la distance MO (vu ce que tu connais sur les fonction actuellement mais bon cela pourrait ne pas être impossible en fait).

alors déjà tu as rectifier en utilisant le théorème de Thalès ou la droite des milieux pour le coup, et H est le milieu de [AB] en effet. Du coup, la distinction se fait en 2.5 et non en 2 comme tu le pensais.

Maintenant, lorsque x<2.5, M est donc sur le segment [BH] et la distance HM=HB-BH (car B, H et M sont aligné, donc le calcul de distance se fait bien ainsi) et on retrouve bien que HM=2.5-x

Si x=2.5, aucun problème pour le coup, HM=0.

Maintenant si x>2.5 et c'est là que ça se complique un peut vu que M est sur le segment [HA] cette fois-ci. Donc comment calculer HM? Et bien vu que les point A, B, H et M sont alignés on effectue les calculs de distance comme on le souhaite. Et on ne trouve pas ce que tu écris.

En effet, si je finis, ton calcule, on trouvera que 2,5 + (x-2,5)=x c'est à dire que HM=x ce qui est loin d'être le cas, tu en conviendra assez facilement je pense.

Je te laisse donc corriger cette erreur de calcul.

Mais ensuite, nous n'avons pas encore calculer MO !!! Avoir accès à HM, va nous permettre de conclure mais attendons de voir si la conclusion, ne nous amène pas (par un hasard total) le même résultat pour la distance MO peut importe où se situerait le point M sur [AB].

Bon courage!

C'est bon, je pnese que je touche le bon bout !!

Je trouve donc que dans le cas ou X est inférieur à 2,5 on a HM=2,5-x et dans le cas où x est suéprier à 2,5 on a HM=x-2,5

Puis, on applique donc Pythagore au triangle OHM rectangle en H et on trouve dans les deux cas que MO = racine carrée de (x^2 - 5x + 10,25)
Je ne pense pas pouvoir simplifier ce résultat

Est-ce que le raisonnement est juste et est-ce que ls résultats aussi ??

Merci d'avance !

Et oui !!!

Lorsqu'on élève MH au carré, on a quelque chose de remarquable qui se produit! HM²=(x-2.5)²=(2.5-x)² !!!

Et en appliquant Pythagore, on trouve cette fameuse élévation au carré qui nous permet de ne plus avoir de distinction de cas pour la position de M par rapport à H.

Et en effet, on ne peut pas faire mieux au niveau de l'écriture. J'allais dire qu'on pourrais factoriser le polynôme du second degré mais ce n'est pas encore abordable en 2nd (l'année prochaine, tu auras une technique pour les factoriser même si elle pourrait être accessible en second d'ailleurs).

On a donc notre fonction F ce qui est déjà pas mal et pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle [0;5].

Pour le raisonnement, il manque des étapes tout de même au niveau des justification (pourquoi le triangle est rectangle, pourquoi la longueur HO=2) mais la démarche globale quant à elle est juste. La difficulté était donc de faire apparaître ce fameux point H très particulier mais c'est une astuce pour débloquer une situation qui s'avère assez courante en géométrie (lorsqu'on n'a pas un élément, on essaie de le fabriquer après tout c'est ce qu'on fait tous les jours lorsqu'on n'a pas quelque chose, on essaie de palier au manque en créant autre chose qui peut nous faire arriver au but recherché ).

Je te laisse donc continuer et n'hésite pas si tu as des questions sur la démarche ou le raisonnement


Bon courage pour la suite!

Il me reste un problème pour la dernière question, on me demande : Quelle serait la distance parcourue par une fourmi volante ??

donc pensé à FO pour son trajet, pour le calculer j'ai décidé de me passer dans le triangle FBO rectangle en B et j'ai donc cherché la valeur de BO qui est la moitié d'une diagonale du rectangle ABCD, et donc je trouve 1/2(racine de 41)

Donc par la suite grâce à Pythagore, je trouve que FO^2 = BO^2 + FB^2
et quand je mets (1/2(racine carrée 41))^2 je ne sais pas comment le simplifier !!!!

Est-ce que mon raisonnement est juste et est-ce que je peux simplifier cette expression ??

Merci d'avance !

Bonsoir,

41 étant un nombre premier, on ne risque pas de simplifier grand chose en fait. Mais par contre, tu sais calculer (a*b)², non?

Il faudrait justifier le fait que le triangle FBO est bien rectangle en B. Mais l'idée est excellente en effet (l"hypoténuse de ce triangle est bien une distance possible en volant).

Je te laisse reprendre ton calcul de carré.

Bon courage!

Il me semble qe (a*b)² = a²*b² mais dans ce cas-là ca ne marche pas !! Je ne comrpends pas bien ??

Ah non c'estr bon je me suis trompé avec ma calculatrice !! Désolé !!!

Pour terminer mon DM , il me reste une énigme à résoudre et malheureusement je n'y arrive malgré bcp de cheveuc arraché !!

La voici : Galois prétend avoir planté ses quinze arbres de façon à former six rangées de cinq arbres. Est-ce possible ? Si oui ,dessinez une solution !

Merci d'avance !! eEt bon courage même si je vais aussi bcp y réflechir de mon côté maintenant que mon DM plus mathématiques disons est terminé !!

Je doute fort que la calculatrice soit d'une très grande utilité pour ce genre de calcul. A moins que tu faisais des vérifications de ton expres​sion(a*b)=a²*b² qui est tout à fait juste en effet.

Je te laisse donc finir le calcul en question car je pense que du coup cela a débloqué le problème.

Bon courage!

ps: pour ton autre question ou énigme je te conseille d'ouvrir un sujet soit dans énigme si elle en fait partie ou sinon un sujet dans cette section car le but est de ne pas tout mélanger .

bonjour,

Souhaites-revenir sur la démonstration via un repère? C'est à dire expliciter un repère pour travailler directement sur les coordonnées des points (ce qui permet bien entendu de calculer des distances).

L'utilisation du repère et la manipulation des coordonnées est une chose qu'il faudra bien maîtriser à un moment où à un autre car la partie mathématique qui est beaucoup étudiée au lycée c'est la partie sur les fonctions qui glisse rapidement sur l'utilisation du repère et de même ne géométrie (détermination de milieu, d'équation de droite, ...).

C'est à toi de voir si tu souhaite chercher un autre moyen de répondre à ton exercice (plus rapide d'ailleurs).

Bon courage!

Bonjour,
j'ai exactement le même lycée et le même DM!!
Mais problème, quand j'essaye de résoudre la première partie du DM, avec un repère. Les x s'annulent.
Comment le faites vous???
Merci d'avance.

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Pourrais-tu expliciter le repère que tu aurais choisi exactement ainsi que les coordonnées des points dans ce repère pour qu'on soit déjà sûr de partir de la même base de réflexion.

Ensuite, où il y a "simplification des x" comme tu l'écris ?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!