Exercice important sur les exponentielles

Re-bonsoir,
je me permets de poster ce second exo en parallèle avec le premier car, je pense mettre du temps pour celui-ci et, il faudrait que je comprenne avant une interrogation...

J'ai pour l'instant fait les 3 premières questions mais, je poste tout de même tout l'énoncé comme ça, ça sera fait et, ça sera plus simple pour la suite.



On pose : f(x) = (1/2)(e^x -e^-x)

1. Démontrer que la fonction est impaire (revoir définition)
2. Etablir le tableau de variations complet de f (variations et limites, indiquer f(0)).
En déduire le signe de f(x).
3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 0.
4. On pose d(x) = f(x) - x
Interpréter géométriquement d(x) (dessin bienvenu)
Prouver que d'(x) = (1/(2e^x))(e^x-1)².
En déduire le tableau de variations de d puis le signe de d(x) (on calculera d(0) qu'on portera dans le tableau).
5. Déduire du tableau précédent la position de la courbe f par rapport à la droite T.
6. On pose alors g(x) = (1/2)(e^x + e^-x). Montrer que cette fonction est paire. Interprétation?
7. Montrer que g'(x) = f(x). En utilisant la question 2, établir le tableau de variations de g sur l'ensemble R.
8. Quelle est la position de la courbe de g par rapport à celle de f? Quelle est la limite en +Infini de g(x)-f(x), interpréter ce résultat.
9. Tracer sur un même dessin précis avec x Appartient [-3 ; 3] les courbes de f et g et la droite T.
10. Prouver que, pour tous réels a et b :
f(a+b) = f(a) g (b) + f(b) g (a)



1. Une fonction est impaire lorsque pour tout x appartenant à son ensemble de définition :


--> Ici, je n'ai qu'à calculer f(-x) et - f(x) en prenant un x commun : je vais prendre x = 2 donc -x = -2

----> f(-x) = (1/2)(e^{-x[sup] - e[sup]x})
-------> f(-2) = (1/2)(e^-2 - e²) = (à peu près) -3.62

----> f(x) = (1/2)(e^x - e^-x)
------> f(2) = (1/2)(e² -e^-2) = (à peu près) 3.62
DONC : -f(x) = (à peu près) -3.62

Conclusion : la fonction f est bel et bien impaire.
(J'ai un doute sur les x et -x en exposant pour les e... Pourrais-tu y jeter un coup d'oeil particulier stp?)

2.
f(x) = (1/2)(e^x-e^-x)

f'(x) = (e^x - e^-x) (en vue de la remarque dans un autre topic, je barre ce que j'avais initialement noté et recalcule la dérivée :

f'(x) = 1 * e^x - (-1)e^-x)
f'(x) = e^x + e^-x

On a donc le tableau de signes suivant :


-->(Dois-je justifier la positivité des 2 termes?)

Donc : on a le tableau de variations suivant :



f(x) est donc croissante sur l'ensemble R.
avec : f(0) = 0
-----> lim(x tend vers - Infini) = - Infini
-----> lim(x tend vers + Infini) = + Infini
(je ne sais pas comment justifier mes limites...)

Signe de f(x) :
EN vue des limites de la fonction f, je peux affirmer qu'elle sera négative sur ]-Infini ; 0[ et positive sur ]0 ;+Infini[.

3. y=f'(a)(x-a) + f(a)
avec : a = 0 ; f(x) = (1/2)(e^x - e^-x) et f'(x) = e^x + e^-x
----> f'(0) = 2 et f(0) = 0

y = 2(x-0) + 0
y = 2x

Est-ce correct pour le moment?

Merci d'avance.

Je vais la faire à la français: Erreur fatale !!!

Une démonstration générale ne se démontre jamais sur un exemple!!!

Citation :

Ici, je n'ai qu'à calculer f(-x) et - f(x) en prenant un x commun : je vais prendre x = 2 donc -x = -2

Ceci te donnera le fait que F(-2)= -F(2) mais tu peut aussi le faire pour F(-3)= - F(3) ou encore..... j'arrête là les exemple car le but d'une démonstration de parité est que cela fonction pour TOUT LES x de l'ensemble de définition.

Il faut donc calculer F(-x) et montrer que cela est égale à -F(x) et ceci pour tout x dans l'ensemble de définition de F. Ce calcul doit être fait pour tout x car tu peux trouver des contre exemple à la pelle pour des fonction qui sont du type F(-2)=-F(2) et qui ne sont pas du tout impaire car là il s'agit d'un car particulier et non d'un cas générale. Or nous, nous voulons montrer que la fonction F est impaire et la propriété est doncvalable poru tout x de l'ensemble de définition.

D'ailleurs, n'oublie pas de stipuler quelque part que l'ensemble de définition de F est bien symétrique par rapport à 0 car cela assure l'existence d'un "-x" pour tout x dans l'ensemble.

Je te laisse reprendre ce point là et surtout n'hésite pas à demander des explications si tu ne comprends pas ton erreur car là il s'agit d'une erreur grave de logique et je veux bien te donner des exemples si cela te pose des soucis. Ce n'est pas la première fois que la parité d'une fonction te pose quelque soucis, donc n'hésite pas.

Bon courage!

Arf... Oui là j'avoue c'est grave.. Pourtant je viens de le refaire dans le cas général et j'ai réussi .
Ca nous fait :

1. f(x) = (1/2)(e^x-e^-x)

Je dois calculer f(-x) :
f(-x) = (1/2)(e^-x - e^x) = (1/2)e^-x - (1/2)e^x)
f(-x) = (1/2)*(1/e^x) - (1/2)*(1/e^-x) = 1/(2e^x) - 1/(2e^-x)

ET

-f(x) = -1 * [(1/2)(e^x - e^-x)]
-f(x) = -1 * [(1/2)e^x - (1/2)e^-x)]
-f(x) = -(1/2)e^x + (1/2)e^-x
-f(x) = -(1/2) * (1/e^-x) + (1/2) * (1/e^x)
-f(x) = (-1/(2e^-x)) + (1/(2e^x)

On a donc : f(-x) = -f(x) donc, la fonction f est bel et bien impaire!

Citation :

D'ailleurs, n'oublie pas de stipuler quelque part que l'ensemble de définition de F est bien symétrique par rapport à 0 car cela assure l'existence d'un "-x" pour tout x dans l'ensemble.

Je le place où ça au fait?

Bonjour,

La phrase se place avant d'effectuer le calcul de F(-x). Pourquoi c'est vraiment important?

Je vais te donner un exemple concret pour te montrer que cela à vraimetn une importance capitale. Si je prend une fonction G définie sur [0;1]. Et bien avec x dans [0;1], on constate que G(-x) n'existe par car -x est dans [-1;0] qui est en-dehors de l'intervalle de définition de la fonction G. C'est pour cela qu'il ne faut pas oublier de dire que l'ensemble de définition est symétrique pas rapport à 0 lorsqu'on effectue le calcul de l'image de -x.

Sinon, tes calculs sont jsute ce qui termine donc la première question.

Pour la 2ème, il y a une légère erreur dans ta dérivée. En effet, la constante (1/2) a disparue mais je n'en comprend pas la raison pour ma part. Lorsqu'on dérive une fonction, les constantes multiplicatives restent dans la dérivée. En effet, G(x)=a*F(x), on a G'(x)=a*F'(x).

Citation :

-->(Dois-je justifier la positivité des 2 termes?)

C'est même une obligation ici car nous sommes en train d'étudier des fonction à base d'exponentielle et dire que F'(x) est positif fait intervenir une propriété de l'exponentielle non négligeable qui est que l'exponentielle est positive sur R tout entier. Il faut donc le dire et tu pourrait même dire que c'est strictement positive sur R

Citation :

Signe de f(x) :
EN vue des limites de la fonction f, je peux affirmer qu'elle sera négative sur ]-Infini ; 0[ et positive sur ]0 ;+Infini[.

La jsutification n'est pas tout à fait juste. En effet, ce qui sert dans un premier temps pour conclure c'est que notre fonction en croissante et ensuite que F(0)=0. Les limites ne servent pas pour conclure car vu que nous avons une strict croissance de notre fonction F, elle ne s'annule qu'en eun seul point qui est x=0, donc en-dessous elle est bien négative et au-dessus elle est bien positive.

Tu avais bien compris ce qui se passait mais l'argument clé est la croissance de notre fonction et non ces limites et tu ne le mettais pas en évidence ce qu iest tout de même génant car il est assez simple de trouver une fonction qui est pour limite -l'infini en -l'infini et +l'infini en +l'infini mais que celle-ci change de signe plus d'une fois sur R.


Pour la 3ème question, vu qu'il y a une légère erreur au niveau de la dérivée, il y a donc une erreur au niveau du résultat que tu donnes. Cependant, la démarche est jsute, il ne te reste juste qu'à rectifier ton erreur de calcul.

C'est la réponse de la 3ème question qui va te faire comprendre à quoi correspond la donction d qu'on introduit dans la question 4). Je te laisse donc revoir et corriger les quelques erreurs qui se sont glissée par-ci par-là.

Bon courage pour la suite!

1. f(x) = (1/2)(e^x-e^-x)

On a l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

Je dois calculer f(-x) :
f(-x) = (1/2)(e^-x - e^x) = (1/2)e^-x - (1/2)e^x)
f(-x) = (1/2)*(1/e^x) - (1/2)*(1/e^-x) = 1/(2e^x) - 1/(2e^-x)

ET

-f(x) = -1 * [(1/2)(e^x - e^-x)]
-f(x) = -1 * [(1/2)e^x - (1/2)e^-x)]
-f(x) = -(1/2)e^x + (1/2)e^-x
-f(x) = -(1/2) * (1/e^-x) + (1/2) * (1/e^x)
-f(x) = (-1/(2e^-x)) + (1/(2e^x)

On a donc : f(-x) = -f(x) donc, la fonction f est bel et bien impaire!


2. Je dois calculer f'(x) :
f'(x) = (1/2)(e^x - (-1) e^-x)
f'(x) = (1/2)(e^x + e^-x)

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



avec (e^x + e^-x) positif car la fonction exponentielle est positive sur l'ensemble R.

On a donc le tableau de signes suivant :



--> f est donc croissante sur l'ensemble R.
------> f(0) = 0
--------> lim(x tend vers - Infini) = - Infini
--------> lim(x tend vers + Infini) = + Infini
(Je n'ai pas à justifier ses limites, non?)


Signe de f(x) :
f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.


3. Déterminer la tangente :
y = f'(a)(x-a) + f(a)

avec : a = 0 donc :
f(a) = f(0) = (1/2)(e⁰-e⁰)
f(a) = 0

et

f'(a) = f'(0) = (1/2)(e⁰ + e⁰)
f'(a) = (1/2)*2 = 1

DONC :

y = 1(x-0) + 0
y = x

La tangente T à la courbe de f au point d'abscisse a = 0 aura pour équation : y = x.

4. d(x) = f(x) - x
Que signifie interpréter géométriquement avec un petit dessin?
On sait que f(x) est croissante est négative sur ]-Infini ; 0[ et donc positive sur ]0 ; +Infini[ et on sait que la tangente en 0 : point de changement donc est de y = x

DONC : d(x) = f(x) - (x) revient à faire f(x) - sa tangente mais, comment expliquer ça avec une figure?

d(x) = f(x) - (x)
d(x) = (1/2)(e^x - e^-x) - x

DONC : d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²
--> d'(x) = 1/(2e^x) * [e^2x - e^x - e^x + 1]
--> d'(x) = 1/(2e^x * (e^2x - 2e^x + 1)
--> d'(x) = [e^2x/(2e^x)] - [(2e^x)/(2e^x)] + (1/(2e^x)
--> d'(x) = [(e^x (e^x)]/[e^x*2] - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 -1 + (1/(1/(2e^-x)))
[GROS DOUTE sur la résolution de ceci mais, logiquement, je devrais retomber sur d'(x) calculé plus haut... donc : ]

--> d'(x) = (e^x/2) - 1 + (e^-x/2)
--> d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

En déduire les variations de d :



Je dresse donc le tableau de signes suivant :



--> avec :
1/(2e^x) positif car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.
ET
(e^x-1)² positif car un carré est toujours positif.

On a donc le tableau de variations suivant :



avec d(0) = f(0) - 0 = 0 - 0 = 0

--> Signe de d(x) : Tout comme f(x), d(x) est croissante sur l'ensemble R et avec d(0) = 0, on a donc d(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positive sur ]0 ; + Infini[ tout comme f(x).


5. Dédire du tableau précédent la position de la courbe f par rapport à T.
Que dire à part que sur l'intervalle ]-Infini ; 0[ f(x) sera en dessous de T et que sur l'intervalle ]0 ; +Infini[ f(x) sera au dessus de T?
En quoi le tableau précédent nous aide à dire ceci?

6. On remarque que g(x) = f'(x) si je ne me trompe pas.

Citation :

Une fonction est paire si : f(x) = f(-x)

Avec l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x)
g(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x

ET

g(-x) = (1/2)(e^-x + e^x)
g(-x) = (1/2)e^-x + (1/2)e^x

Donc :

g(x) = g(-x) donc la fonction g(x) est bel et bien paire.

Interprétation :
g(x) étant égale à f'(x) et avec f(x) impaire, g(x) sera donc forcément paire.
(Ya pas une propriété genre : si une fonction est impaire alors sa dérivée est paire et inversement?)


7. Montrer que g'(x) = f(x)

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x
--> g'(x) = (1/2)(e^x + (-1) * e^-x)
DONC : g'(x) = (1/2)(e^x - e^-x )

ET [sb] f(x) = (1/2)(e^x - e^-x )[/b] (voir énoncé)



--> Etablir le tableau de variations de g sur l'ensemble R en utilisant la question 2 :

f(x) étant croissante sur R (question 2), f'(x) était donc positive sur cet ensemble et comme g'(x) = f(x) alors, g'(x) sera positive sur l'ensemble R donc, j'en déduis le tableau de variation suivant :



La fonction g(x) sera donc croissante sur l'ensemble R.


8. La courbe de f sera située sous celle de g.

g(x) - f(x) = [(1/2)(e^x + e^-x)] - [(1/2)(e^x - e^-x)]
g(x) - f(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x - (1/2)e^x + (1/2)e^-x
g(x) - f(x) = e^-x

--> Lim(x tend vers +Infini) de g(x)-f(x) = lim(x tend vers +Infini) de e^-x = 0
Car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

Interprétation :
g(x) - f(x) revient à faire f'(x) - f(x) et après... ben... ..


9. Graphique

10. Prouver que pour tout réels a et b :
f(a+b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

Je vais attendre d'avoir confirmation de mes réponses avant de m'aventurer là-dedans ^^. En tout cas, je pense avoir bien avancé sur cet exo .

Alors je vois que tu as bien avancé sur le sujet, c'est super ça .

Toutes questions que nous avions abodées sont justes maintenant et correctement justifiées.

Citation :

d(x) = f(x) - (x) revient à faire f(x) - sa tangente mais, comment expliquer ça avec une figure?

Ton interprétation est juste pourquoi ne pas la terminer? En effet, y=F(x) c'est l'équation de la courbe C. Cela revient donc à dire qu'on regarde la distance (tiens c'est bizarre la fonction s'appelle d(x), c'est idiot mais bon, il y a certain clin d'oeil des les devoirs qu'on ne voit pas forcément ) entre la croube C et sa tangente en 0 tout simplement.

On mesure un écart entre deux ordonnées en fait. D'ailleurs, on constate qu'en 0, d(0)=0 ce qui est normal vu qu'il y a intéresection de la tangente et de la courbe C au point 0 donc la distance est nulle.

Une interprétation géométrique repose sur l'interprétation du calcul sur le dessin c'est à dire à quoi correspond le calcul que nous effectuons par rapport au courbe que nous avons.

Citation :

--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²
--> d'(x) = 1/(2e^x) * [e^2x - e^x - e^x + 1]
--> d'(x) = 1/(2e^x * (e^2x - 2e^x + 1)
--> d'(x) = [e^2x/(2e^x)] - [(2e^x)/(2e^x)] + (1/(2e^x)
--> d'(x) = [(e^x (e^x)]/[e^x*2] - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 -1 + (1/(1/(2e^-x)))

J'en rage ! Tu cherches à montrer que d'(x) égale tout le machin et tu écris l'égalité en première ligne!!! Faute de logique là!! Tu effectues le calcul:

(1/(2e^x))(e^x - 1)² = .... et tu montres que c'est égale à d'(x) à la fin.

Ta dernière ligne de calcul sera donc (1/(2e^x))(e^x - 1)²=d'(x)

Citation :

--> d'(x) = e^x/2 - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 -1 + (1/(1/(2e^-x)))

1/[1/(2e^-x)]= 2e^-x et non pas e^-x/2

Tu as des doutes souvent au bon endroit en plus alors pourquoi tu en vérifies pas ton calcul?

1/(2e^x)=1/(2*e^x)=(1/2)*(1/e^x)=(1/2)*e^-x

Donc 1/(2e^x)=e^-x/2

Il faut faire les choses par étape et cela finira par payer .

Citation :

--> avec :
1/(2ex) positif car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.
ET
(ex-1)² positif car un carré est toujours positif.

C'est nickel ça! Par contre il faut le mettre avant ton tableau et au lieu de "avec" mettre "Or" et tu concluera ton tableau. C'est une question d'esthétique de lecture ça car je ne sais pas pour toi mais avoir les justification avant les résultat c'est tout de même plus lisible non?


Petit truc à ne pas faire:

Citation :

f(x) sera en dessous de T

On compare des choses de mêem nature. T est une courbe (une droite en l'occurence) et F(x) est un nombre. Donc un nombre en-dessous d'une droite cela n'a pas grand sens tu ne trouve pas?

C'est la courbe représentative de y=F(x) qui est en-dessous de T ou plus simplement, C est en dessous de T

Citation :

Interprétation :
g(x) étant égale à f'(x) et avec f(x) impaire, g(x) sera donc forcément paire.
(Ya pas une propriété genre : si une fonction est impaire alors sa dérivée est paire et inversement?)

Cette propriété existe bien en effet. Cependant lorsqu'on demande une interprétation, il s'agit d'une interprétation sur le dessin en fait. Qu'est-ce que cela signifie pour la courbe représentative de G le fait que G soit paire? En terme de symétrique par exemple .


Attention au piège:

Citation :

7. Montrer que g'(x) = f(x)

g(x) = (1/2)(ex + e-x
--> g'(x) = (1/2)(ex + (-1) * e-x)
DONC : g'(x) = (1/2)(ex - e-x )

ET [sb] f(x) = (1/2)(ex - e-x )[/b] (voir énoncé)


------------> f(x) = g'(x) <--------------

La conclusion est juste mais il manque un argument crucial. En effet si je te donne la donne F(x)=1/x quej e définie sur R₊ et la fonction G(x)=1/x que je te définie sur R_-. On a bien G(x)=F(x) mais l'intervale pour lequel c'est vrai c'est seulement pour 0 vu que c'est le seul point commun des deux ensemble de définition. Tu constate donc l'importance de mettre que les deux fonction on le même ensemble de définition car sinon dans notre exercice:

f(x)=g'(x) n'a pas de sens si on ne dit pas où se situe le x. Heureusement que tout se passe bien ici vu qu'on a deux fonction définie sur R mais souvient toi d'un de tes anciens exercice où il était question de l'égalité de deux fonctions qui était totalement égale mis à part le fait qu'il n'avais pas le même ensemble de définition ce qui fausse le résultat final. Donc attention à ce genre de subtilité non négligeable c'est comme pour la parité d'une fonction, l'ensemble de définition joue un role non négligeable dans tout cela (c'est d'aileurs pour celà que tu travaille sur cette notion d'ensemble de définition depuis la 2nd, ce n'est pas anodin ).

Citation :

f(x) étant croissante sur R (question 2), f'(x) était donc positive sur cet ensemble et comme g'(x) = f(x) alors, g'(x) sera positive sur l'ensemble R

Cette justification est erronée. En effet, la croissance de F ne joue aucun role ici. Commetn déduit-on la variation d'une fonction? A partir du signe de sa dérivée!!! Tu le sais pourtant .

Et ici, on a G'(x)=F(x) et on cherche le signe de G'(x) sachant que dans els question précédente on a trouverl e signe de F cela n'était pas anodin, on ne te fait pas faire des observation pour le plaisir de les faire tout le temps. Il y a une certaine cohérence dans les exercices ce qui leur donne un aspect déductif car on déduit de certaine question les réponses au question suviantes.

Je te laisse donc reprendre la fin à partir de là, il y a déjà pasm al de petites choses à voir et à revoir sur ce qui précède pour que tu puisses bien assimiler les notions, les mises en garde et les méthodes que je t'ai fourni jusqu'ici.

Bon courage!

1. f(x) = (1/2)(e^x-e^-x)

On a l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

Je dois calculer f(-x) :
f(-x) = (1/2)(e^-x - e^x) = (1/2)e^-x - (1/2)e^x)
f(-x) = (1/2)*(1/e^x) - (1/2)*(1/e^-x) = 1/(2e^x) - 1/(2e^-x)

ET

-f(x) = -1 * [(1/2)(e^x - e^-x)]
-f(x) = -1 * [(1/2)e^x - (1/2)e^-x)]
-f(x) = -(1/2)e^x + (1/2)e^-x
-f(x) = -(1/2) * (1/e^-x) + (1/2) * (1/e^x)
-f(x) = (-1/(2e^-x)) + (1/(2e^x)

On a donc : f(-x) = -f(x) donc, la fonction f est bel et bien impaire!


2. Je dois calculer f'(x) :
f'(x) = (1/2)(e^x - (-1) e^-x)
f'(x) = (1/2)(e^x + e^-x)

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



avec (e^x + e^-x) positif car la fonction exponentielle est positive sur l'ensemble R.

On a donc le tableau de signes suivant :



--> f est donc croissante sur l'ensemble R.
------> f(0) = 0
--------> lim(x tend vers - Infini) = - Infini
--------> lim(x tend vers + Infini) = + Infini
(Je n'ai pas à justifier ses limites, non?)


Signe de f(x) :
f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.


3. Déterminer la tangente :
y = f'(a)(x-a) + f(a)

avec : a = 0 donc :
f(a) = f(0) = (1/2)(e⁰-e⁰)
f(a) = 0

et

f'(a) = f'(0) = (1/2)(e⁰ + e⁰)
f'(a) = (1/2)*2 = 1

DONC :

y = 1(x-0) + 0
y = x

La tangente T à la courbe de f au point d'abscisse a = 0 aura pour équation : y = x.

4. d(x) = f(x) - x
Que signifie interpréter géométriquement avec un petit dessin?
On sait que f(x) est croissante est négative sur ]-Infini ; 0[ et donc positive sur ]0 ; +Infini[ et on sait que la tangente en 0 : point de changement donc est de y = x

DONC : d(x) = f(x) - (x) revient à faire f(x) - sa tangente et, y = f(x) représente l'équation de la courbe C. Je dois donc regarder la distance entre la courbe C et sa tangente en 0. Pour les 2 courbes, quand x=0, y=0 MAIS, pour C, à x_c=1 on a y_c= 1.175 tandis que pour sa tangente, on a x=1 et y=1.
Je fais y_c - y = 1.175 - 1 = 0.175 de différence entre C et sa tangente! Et pour le petit dessin :

Que je ferais à main levée ou vite fait
C'est bien cela?



d(x) = f(x) - (x)
d(x) = (1/2)(e^x - e^-x) - x

DONC : d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²
Je ne dois rien mettre d'autre? Je pars directement de la ligne suivante?
--> d'(x) = 1/(2e^x) * [e^2x - e^x - e^x + 1]
--> d'(x) = 1/(2e^x * (e^2x - 2e^x + 1)
--> d'(x) = [e^2x/(2e^x)] - [(2e^x)/(2e^x)] + (1/(2e^x)
--> d'(x) = [(e^x (e^x)]/[e^x*2] - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 -1 + (1/(1/(2e^-x)))
--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²=d'(x)

--> d'(x) = (e^x/2) - 1 + (e^-x/2)
--> d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

En déduire les variations de d :



--> or :
1/(2e^x) positif car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

ET
(e^x-1)² positif car un carré est toujours positif.


Je dresse donc le tableau de signes suivant :



On a donc le tableau de variations suivant :



avec d(0) = f(0) - 0 = 0 - 0 = 0

--> Signe de d(x) : Tout comme f(x), d(x) est croissante sur l'ensemble R et avec d(0) = 0, on a donc d(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positive sur ]0 ; + Infini[ tout comme f(x).


5. Dédire du tableau précédent la position de la courbe f par rapport à T.
Que dire à part que sur l'intervalle ]-Infini ; 0[ f(x) sera en dessous de T et que sur l'intervalle ]0 ; +Infini[ f(x) sera au dessus de T?
En quoi le tableau précédent nous aide à dire ceci?

Citation :

C'est la courbe représentative de y=F(x) qui est en-dessous de T ou plus simplement, C est en dessous de T

6. On remarque que g(x) = f'(x) si je ne me trompe pas.

Citation :

Une fonction est paire si : f(x) = f(-x)

Avec l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x)
g(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x

ET

g(-x) = (1/2)(e^-x + e^x)
g(-x) = (1/2)e^-x + (1/2)e^x

Donc :

g(x) = g(-x) donc la fonction g(x) est bel et bien paire.

Interprétation :
g(x) étant égale à f'(x) et avec f(x) impaire, g(x) sera donc forcément paire.
(Ya pas une propriété genre : si une fonction est impaire alors sa dérivée est paire et inversement?)
g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec l'origine du repère pour centre de symétrie.


7. Montrer que g'(x) = f(x) sur l'ensemble R

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x
--> g'(x) = (1/2)(e^x + (-1) * e^-x)
DONC : g'(x) = (1/2)(e^x - e^-x )

ET [sb] f(x) = (1/2)(e^x - e^-x )[/b] (voir énoncé)



--> Etablir le tableau de variations de g sur l'ensemble R en utilisant la question 2 :

f(x) étant croissante sur R (question 2), f'(x) était donc positive sur cet ensemble et comme g'(x) = f(x) alors, g'(x) sera positive sur l'ensemble R donc, j'en déduis le tableau de variation suivant :



La fonction g(x) sera donc croissante sur l'ensemble R.


8. La courbe de f sera située sous celle de g.

g(x) - f(x) = [(1/2)(e^x + e^-x)] - [(1/2)(e^x - e^-x)]
g(x) - f(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x - (1/2)e^x + (1/2)e^-x
g(x) - f(x) = e^-x

--> Lim(x tend vers +Infini) de g(x)-f(x) = lim(x tend vers +Infini) de e^-x = 0
Car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

Interprétation :
g(x) - f(x) revient à faire f'(x) - f(x) et après... ben... ..


9. Graphique

10. Prouver que pour tout réels a et b :
f(a+b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

Bonsoir,

Citation :

g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec l'origine du repère pour centre de symétrie.

Une fonction paire n'est pas symétrique par rapportà l'origine du repère. C'est une fonction impaire qui a une courbe symétrique par rapport à O . Tu as confondu les deux là, une fonction paire sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Citation :

f'(x) était donc positive sur cet ensemble et comme g'(x) = f(x)

C'est le signe de F(x) dont on a besoin pour avoir celui de G'(x) vu que G'(x)=F(x). Le signe de F'(x) ne te donne rien ici. Il y a une question précédente qui te demandait de dduire le signe de F sur R, et c'est celà qui te permet de conclure ici.

Du coup le tableau de variation de G est faux pour le moment vu que le signe est faux lui aussi.

Citation :

Quelle est la limite en +Infini de g(x)-f(x), interpréter ce résultat

Il faut interpréter la valeur de la limite ici. Qu'est-ce que cela signifie concrètement que G(x) - F(x) tend vers 0 à l'infini ?

Je te laisse reprendre ces deux points là et nous entamerons la fin ensuite.

1. f(x) = (1/2)(e^x-e^-x)

On a l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

Je dois calculer f(-x) :
f(-x) = (1/2)(e^-x - e^x) = (1/2)e^-x - (1/2)e^x)
f(-x) = (1/2)*(1/e^x) - (1/2)*(1/e^-x) = 1/(2e^x) - 1/(2e^-x)

ET

-f(x) = -1 * [(1/2)(e^x - e^-x)]
-f(x) = -1 * [(1/2)e^x - (1/2)e^-x)]
-f(x) = -(1/2)e^x + (1/2)e^-x
-f(x) = -(1/2) * (1/e^-x) + (1/2) * (1/e^x)
-f(x) = (-1/(2e^-x)) + (1/(2e^x)

On a donc : f(-x) = -f(x) donc, la fonction f est bel et bien impaire!


2. Je dois calculer f'(x) :
f'(x) = (1/2)(e^x - (-1) e^-x)
f'(x) = (1/2)(e^x + e^-x)

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



avec (e^x + e^-x) positif car la fonction exponentielle est positive sur l'ensemble R.

On a donc le tableau de signes suivant :



--> f est donc croissante sur l'ensemble R.
------> f(0) = 0
--------> lim(x tend vers - Infini) = - Infini
--------> lim(x tend vers + Infini) = + Infini
(Je n'ai pas à justifier ses limites, non?)


Signe de f(x) :
f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.


3. Déterminer la tangente :
y = f'(a)(x-a) + f(a)

avec : a = 0 donc :
f(a) = f(0) = (1/2)(e⁰-e⁰)
f(a) = 0

et

f'(a) = f'(0) = (1/2)(e⁰ + e⁰)
f'(a) = (1/2)*2 = 1

DONC :

y = 1(x-0) + 0
y = x

La tangente T à la courbe de f au point d'abscisse a = 0 aura pour équation : y = x.

4. d(x) = f(x) - x
Que signifie interpréter géométriquement avec un petit dessin?
On sait que f(x) est croissante est négative sur ]-Infini ; 0[ et donc positive sur ]0 ; +Infini[ et on sait que la tangente en 0 : point de changement donc est de y = x

DONC : d(x) = f(x) - (x) revient à faire f(x) - sa tangente et, y = f(x) représente l'équation de la courbe C. Je dois donc regarder la distance entre la courbe C et sa tangente en 0. Pour les 2 courbes, quand x=0, y=0 MAIS, pour C, à x_c=1 on a y_c= 1.175 tandis que pour sa tangente, on a x=1 et y=1.
Je fais y_c - y = 1.175 - 1 = 0.175 de différence entre C et sa tangente! Et pour le petit dessin :

Que je ferais à main levée ou vite fait
C'est bien cela?



d(x) = f(x) - (x)
d(x) = (1/2)(e^x - e^-x) - x

DONC : d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²
Je ne dois rien mettre d'autre? Je pars directement de la ligne suivante?
--> d'(x) = 1/(2e^x) * [e^2x - e^x - e^x + 1]
--> d'(x) = 1/(2e^x * (e^2x - 2e^x + 1)
--> d'(x) = [e^2x/(2e^x)] - [(2e^x)/(2e^x)] + (1/(2e^x)
--> d'(x) = [(e^x (e^x)]/[e^x*2] - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 -1 + (1/(1/(2e^-x)))
--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²=d'(x)

--> d'(x) = (e^x/2) - 1 + (e^-x/2)
--> d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

En déduire les variations de d :



--> or :
1/(2e^x) positif car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

ET
(e^x-1)² positif car un carré est toujours positif.


Je dresse donc le tableau de signes suivant :



On a donc le tableau de variations suivant :



avec d(0) = f(0) - 0 = 0 - 0 = 0

--> Signe de d(x) : Tout comme f(x), d(x) est croissante sur l'ensemble R et avec d(0) = 0, on a donc d(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positive sur ]0 ; + Infini[ tout comme f(x).


5. Dédire du tableau précédent la position de la courbe f par rapport à T.
Que dire à part que sur l'intervalle ]-Infini ; 0[ f(x) sera en dessous de T et que sur l'intervalle ]0 ; +Infini[ f(x) sera au dessus de T?
En quoi le tableau précédent nous aide à dire ceci?

Citation :

C'est la courbe représentative de y=F(x) qui est en-dessous de T ou plus simplement, C est en dessous de T

6. On remarque que g(x) = f'(x) si je ne me trompe pas.

Citation :

Une fonction est paire si : f(x) = f(-x)

Avec l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x)
g(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x

ET

g(-x) = (1/2)(e^-x + e^x)
g(-x) = (1/2)e^-x + (1/2)e^x

Donc :

g(x) = g(-x) donc la fonction g(x) est bel et bien paire.

Interprétation :
g(x) étant égale à f'(x) et avec f(x) impaire, g(x) sera donc forcément paire.
(Ya pas une propriété genre : si une fonction est impaire alors sa dérivée est paire et inversement?)
g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec l'origine du repère pour centre de symétrie. g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.


7. Montrer que g'(x) = f(x) sur l'ensemble R

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x
--> g'(x) = (1/2)(e^x + (-1) * e^-x)
DONC : g'(x) = (1/2)(e^x - e^-x )

ET [sb] f(x) = (1/2)(e^x - e^-x )[/b] (voir énoncé)



--> Etablir le tableau de variations de g sur l'ensemble R en utilisant la question 2 :

f(x) étant croissante sur R (question 2), f'(x) était donc positive sur cet ensemble et comme g'(x) = f(x) alors, g'(x) sera positive sur l'ensemble R donc, j'en déduis le tableau de variation suivant :
La fonction g(x) sera donc croissante sur l'ensemble R.

Citation :

f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.

--> (question 2) DONC : g'(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[.
J'en déduis donc le tableau de variations suivant :

8. La courbe de f sera située sous celle de g.

g(x) - f(x) = [(1/2)(e^x + e^-x)] - [(1/2)(e^x - e^-x)]
g(x) - f(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x - (1/2)e^x + (1/2)e^-x
g(x) - f(x) = e^-x

--> Lim(x tend vers +Infini) de g(x)-f(x) = lim(x tend vers +Infini) de e^-x = 0
Car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

Interprétation :
g(x) - f(x) revient à faire f'(x) - f(x)...
Cela signifie que f'(x) - f(x) sera décroissante?


9. Graphique

10. Prouver que pour tout réels a et b :
f(a+b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

Bonsoir,

Citation :

Je ne dois rien mettre d'autre? Je pars directement de la ligne suivante?

Il ne faut pas que tu mettes "d'(x)=" vu que tu part de l'expression de droite pour aller vers celle de gauche. Il faut donc que tu écrives directement le côté droit de l'égalité directement sans marquer "d'(x)=" vu que tu cherche à montrer que c'est bien égale à d'(x) justement.

Citation :

(question 2) DONC : g'(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[.
J'en déduis donc le tableau de variations suivant :

Nickel chrome ça !


Alors pour la position de la courbe n'oublie pas de dire à la fin de ton calcul que e-x est positive sur R ce qui conclut.

Pour la limite, la positivité ne joue pas de role ici. En effet, on sait que e^-x=1/e^x

Or on connais la llimite en + l'infini de la fonction exponentielle, donc on en déduit la limite de 1/e^x. En fait, quand l'argument est clair, il est facile à exprimer n'oublie jamais ça .

Pour l'interprétation, on sais qu'on calcul la distance entre la courbe de G et la courbe de F d'après notre calcul, tu es d'accord là-dessus? Maintenant, on sait l'une est toujours en-dessous de l'autre mais que la limite de cette distance est nulle. Conclusion poru la rédaction?

Enfin, pour la dernière question:

Citation :

10. Prouver que pour tout réels a et b :
f(a+b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

On prend donc deux réels a et b puis il ne reste plus qu'une chose à faire retrousser ses manche et faire les calculs de chaque côté et vérifié qu'on a bien égalité. Pour celà, n'oublie pas de t'aider de toutes les propriétés que tu connais sur les exponentielles (multiplication, division....).

Bon courage!

1. f(x) = (1/2)(e^x-e^-x)

On a l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

Je dois calculer f(-x) :
f(-x) = (1/2)(e^-x - e^x) = (1/2)e^-x - (1/2)e^x)
f(-x) = (1/2)*(1/e^x) - (1/2)*(1/e^-x) = 1/(2e^x) - 1/(2e^-x)

ET

-f(x) = -1 * [(1/2)(e^x - e^-x)]
-f(x) = -1 * [(1/2)e^x - (1/2)e^-x)]
-f(x) = -(1/2)e^x + (1/2)e^-x
-f(x) = -(1/2) * (1/e^-x) + (1/2) * (1/e^x)
-f(x) = (-1/(2e^-x)) + (1/(2e^x)

On a donc : f(-x) = -f(x) donc, la fonction f est bel et bien impaire!


2. Je dois calculer f'(x) :
f'(x) = (1/2)(e^x - (-1) e^-x)
f'(x) = (1/2)(e^x + e^-x)

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



avec (e^x + e^-x) positif car la fonction exponentielle est positive sur l'ensemble R.

On a donc le tableau de signes suivant :



--> f est donc croissante sur l'ensemble R.
------> f(0) = 0
--------> lim(x tend vers - Infini) = - Infini
--------> lim(x tend vers + Infini) = + Infini
(Je n'ai pas à justifier ses limites, non?)


Signe de f(x) :
f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.


3. Déterminer la tangente :
y = f'(a)(x-a) + f(a)

avec : a = 0 donc :
f(a) = f(0) = (1/2)(e⁰-e⁰)
f(a) = 0

et

f'(a) = f'(0) = (1/2)(e⁰ + e⁰)
f'(a) = (1/2)*2 = 1

DONC :

y = 1(x-0) + 0
y = x

La tangente T à la courbe de f au point d'abscisse a = 0 aura pour équation : y = x.

4. d(x) = f(x) - x
Que signifie interpréter géométriquement avec un petit dessin?
On sait que f(x) est croissante est négative sur ]-Infini ; 0[ et donc positive sur ]0 ; +Infini[ et on sait que la tangente en 0 : point de changement donc est de y = x

DONC : d(x) = f(x) - (x) revient à faire f(x) - sa tangente et, y = f(x) représente l'équation de la courbe C. Je dois donc regarder la distance entre la courbe C et sa tangente en 0. Pour les 2 courbes, quand x=0, y=0 MAIS, pour C, à x_c=1 on a y_c= 1.175 tandis que pour sa tangente, on a x=1 et y=1.
Je fais y_c - y = 1.175 - 1 = 0.175 de différence entre C et sa tangente! Et pour le petit dessin :

Que je ferais à main levée ou vite fait
C'est bien cela?



d(x) = f(x) - (x)
d(x) = (1/2)(e^x - e^-x) - x

DONC : d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²
Je ne dois rien mettre d'autre? Je pars directement de la ligne suivante?
--> d'(x) = 1/(2e^x) * [e^2x - e^x - e^x + 1]
--> d'(x) = 1/(2e^x * (e^2x - 2e^x + 1)
--> d'(x) = [e^2x/(2e^x)] - [(2e^x)/(2e^x)] + (1/(2e^x)
--> d'(x) = [(e^x (e^x)]/[e^x*2] - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 -1 + (1/(1/(2e^-x)))
--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²=d'(x)

--> d'(x) = (e^x/2) - 1 + (e^-x/2)
--> d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

En déduire les variations de d :



--> or :
1/(2e^x) positif car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

ET
(e^x-1)² positif car un carré est toujours positif.


Je dresse donc le tableau de signes suivant :



On a donc le tableau de variations suivant :



avec d(0) = f(0) - 0 = 0 - 0 = 0

--> Signe de d(x) : Tout comme f(x), d(x) est croissante sur l'ensemble R et avec d(0) = 0, on a donc d(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positive sur ]0 ; + Infini[ tout comme f(x).


5. Dédire du tableau précédent la position de la courbe f par rapport à T.
Que dire à part que sur l'intervalle ]-Infini ; 0[ f(x) sera en dessous de T et que sur l'intervalle ]0 ; +Infini[ f(x) sera au dessus de T?
En quoi le tableau précédent nous aide à dire ceci?

Citation :

C'est la courbe représentative de y=F(x) qui est en-dessous de T ou plus simplement, C est en dessous de T

6. On remarque que g(x) = f'(x) si je ne me trompe pas.

Citation :

Une fonction est paire si : f(x) = f(-x)

Avec l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x)
g(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x

ET

g(-x) = (1/2)(e^-x + e^x)
g(-x) = (1/2)e^-x + (1/2)e^x

Donc :

g(x) = g(-x) donc la fonction g(x) est bel et bien paire.

Interprétation :
g(x) étant égale à f'(x) et avec f(x) impaire, g(x) sera donc forcément paire.
(Ya pas une propriété genre : si une fonction est impaire alors sa dérivée est paire et inversement?)
g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec l'origine du repère pour centre de symétrie. g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.


7. Montrer que g'(x) = f(x) sur l'ensemble R

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x
--> g'(x) = (1/2)(e^x + (-1) * e^-x)
DONC : g'(x) = (1/2)(e^x - e^-x )

ET [sb] f(x) = (1/2)(e^x - e^-x )[/b] (voir énoncé)



--> Etablir le tableau de variations de g sur l'ensemble R en utilisant la question 2 :

f(x) étant croissante sur R (question 2), f'(x) était donc positive sur cet ensemble et comme g'(x) = f(x) alors, g'(x) sera positive sur l'ensemble R donc, j'en déduis le tableau de variation suivant :
La fonction g(x) sera donc croissante sur l'ensemble R.

Citation :

f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.

--> (question 2) DONC : g'(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[.
J'en déduis donc le tableau de variations suivant :

8. La courbe de f sera située sous celle de g.

g(x) - f(x) = [(1/2)(e^x + e^-x)] - [(1/2)(e^x - e^-x)]
g(x) - f(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x - (1/2)e^x + (1/2)e^-x
g(x) - f(x) = e^-x
Avec : e^-x est positive sur R

--> Lim(x tend vers +Infini) de g(x)-f(x) = lim(x tend vers +Infini) de e^-x = 0
Car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

Citation :

En effet, on sait que e-x=1/ex

Or on connais la llimite en + l'infini de la fonction exponentielle, donc on en déduit la limite de 1/ex.

Interprétation :
g(x) - f(x) revient à faire f'(x) - f(x)...
Cela signifie que f'(x) - f(x) sera décroissante?

Citation :

Pour l'interprétation, on sait qu'on calcul la distance entre la courbe de G et la courbe de F d'après notre calcul, tu es d'accord là-dessus? Maintenant, on sait l'une est toujours en-dessous de l'autre mais que la limite de cette distance est nulle. Conclusion pour la rédaction?

Les deux courbes auront la même limite?




9. Graphique

10. Prouver que pour tout réels a et b :
f(a+b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

Il suffit juste de prendre des valeurs de a et b et non pas calculer en cas général?

On ne parle pas de limite d'une courbe en fait mais plutôt d'asymptote à une courbe et pour une fois il s'agit d'une croube asymptote à une autre au lieu que ça soit une droite comme d'habitude.

Mais ce qu'on attend ici je pense c'est de dire qu'on calcul la distance entre els deux courbe et que celle-ci tend vers 0 tout simplement mais tu peux parler d'asymptote cela ne gênera pas à la rigueur et ton prof en profitera peut-être pour expliquer ce point là aux autres car pour le programme de terminale normalement on ne parle pas de courbe asymptote entre-elle on se limite à ce qu'on appelle une asymptote "oblique" et tu comprend peut-être mieux pourquoi on parle d'asymptote oblique et d'asymptote verticale car il y a un troisième type d'asymptote qui sont les courbe tout simplement. Mais dire déjà qu'il s'agit d'une distance (encore une ) qui tend vers 0 ou que les deux courbes se rapprochent à l'infini sachnt que l'une reste toujours en-dessous de l'autre, cela sera déjà très bien je pense.

Enfin pour la dernière question au risque de te décevoir et celà n'est vraiment pas pour t'embêter mais il faut faire un calculs théorique en effet en gardant les a et la b c'est justement tout le but de la manoeuvre. On cherche à évaluer si tu connais les propriétés de la fonction exponentielle dans un cadre totalement générale (en gros on cherche à savoir si tu sais appliquer ton cours tout simplment en fait). Donc il va falloir faire le calcul dans le cadre indiqué c'est à dire pour tout a et b et à moins de montrer l'égalité avec tous les réel (et tu n'auras jamais fini xD) il ne reste qu'une solution: faire le calcul .

Bon courage pour la fin de cette exercice!

1. f(x) = (1/2)(e^x-e^-x)

On a l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

Je dois calculer f(-x) :
f(-x) = (1/2)(e^-x - e^x) = (1/2)e^-x - (1/2)e^x)
f(-x) = (1/2)*(1/e^x) - (1/2)*(1/e^-x) = 1/(2e^x) - 1/(2e^-x)

ET

-f(x) = -1 * [(1/2)(e^x - e^-x)]
-f(x) = -1 * [(1/2)e^x - (1/2)e^-x)]
-f(x) = -(1/2)e^x + (1/2)e^-x
-f(x) = -(1/2) * (1/e^-x) + (1/2) * (1/e^x)
-f(x) = (-1/(2e^-x)) + (1/(2e^x)

On a donc : f(-x) = -f(x) donc, la fonction f est bel et bien impaire!


2. Je dois calculer f'(x) :
f'(x) = (1/2)(e^x - (-1) e^-x)
f'(x) = (1/2)(e^x + e^-x)

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



avec (e^x + e^-x) positif car la fonction exponentielle est positive sur l'ensemble R.

On a donc le tableau de signes suivant :



--> f est donc croissante sur l'ensemble R.
------> f(0) = 0
--------> lim(x tend vers - Infini) = - Infini
--------> lim(x tend vers + Infini) = + Infini
(Je n'ai pas à justifier ses limites, non?)


Signe de f(x) :
f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.


3. Déterminer la tangente :
y = f'(a)(x-a) + f(a)

avec : a = 0 donc :
f(a) = f(0) = (1/2)(e⁰-e⁰)
f(a) = 0

et

f'(a) = f'(0) = (1/2)(e⁰ + e⁰)
f'(a) = (1/2)*2 = 1

DONC :

y = 1(x-0) + 0
y = x

La tangente T à la courbe de f au point d'abscisse a = 0 aura pour équation : y = x.

4. d(x) = f(x) - x
Que signifie interpréter géométriquement avec un petit dessin?
On sait que f(x) est croissante est négative sur ]-Infini ; 0[ et donc positive sur ]0 ; +Infini[ et on sait que la tangente en 0 : point de changement donc est de y = x

DONC : d(x) = f(x) - (x) revient à faire f(x) - sa tangente et, y = f(x) représente l'équation de la courbe C. Je dois donc regarder la distance entre la courbe C et sa tangente en 0. Pour les 2 courbes, quand x=0, y=0 MAIS, pour C, à x_c=1 on a y_c= 1.175 tandis que pour sa tangente, on a x=1 et y=1.
Je fais y_c - y = 1.175 - 1 = 0.175 de différence entre C et sa tangente! Et pour le petit dessin :

Que je ferais à main levée ou vite fait
C'est bien cela?



d(x) = f(x) - (x)
d(x) = (1/2)(e^x - e^-x) - x

DONC : d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²
Je ne dois rien mettre d'autre? Je pars directement de la ligne suivante?
--> d'(x) = 1/(2e^x) * [e^2x - e^x - e^x + 1]
--> d'(x) = 1/(2e^x * (e^2x - 2e^x + 1)
--> d'(x) = [e^2x/(2e^x)] - [(2e^x)/(2e^x)] + (1/(2e^x)
--> d'(x) = [(e^x (e^x)]/[e^x*2] - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 -1 + (1/(1/(2e^-x)))
--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²=d'(x)

--> d'(x) = (e^x/2) - 1 + (e^-x/2)
--> d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

En déduire les variations de d :



--> or :
1/(2e^x) positif car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

ET
(e^x-1)² positif car un carré est toujours positif.


Je dresse donc le tableau de signes suivant :



On a donc le tableau de variations suivant :



avec d(0) = f(0) - 0 = 0 - 0 = 0

--> Signe de d(x) : Tout comme f(x), d(x) est croissante sur l'ensemble R et avec d(0) = 0, on a donc d(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positive sur ]0 ; + Infini[ tout comme f(x).


5. Dédire du tableau précédent la position de la courbe f par rapport à T.
Que dire à part que sur l'intervalle ]-Infini ; 0[ f(x) sera en dessous de T et que sur l'intervalle ]0 ; +Infini[ f(x) sera au dessus de T?
En quoi le tableau précédent nous aide à dire ceci?

Citation :

C'est la courbe représentative de y=F(x) qui est en-dessous de T ou plus simplement, C est en dessous de T

6. On remarque que g(x) = f'(x) si je ne me trompe pas.

Citation :

Une fonction est paire si : f(x) = f(-x)

Avec l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x)
g(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x

ET

g(-x) = (1/2)(e^-x + e^x)
g(-x) = (1/2)e^-x + (1/2)e^x

Donc :

g(x) = g(-x) donc la fonction g(x) est bel et bien paire.

Interprétation :
g(x) étant égale à f'(x) et avec f(x) impaire, g(x) sera donc forcément paire.
(Ya pas une propriété genre : si une fonction est impaire alors sa dérivée est paire et inversement?)
g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec l'origine du repère pour centre de symétrie. g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.


7. Montrer que g'(x) = f(x) sur l'ensemble R

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x
--> g'(x) = (1/2)(e^x + (-1) * e^-x)
DONC : g'(x) = (1/2)(e^x - e^-x )

ET [sb] f(x) = (1/2)(e^x - e^-x )[/b] (voir énoncé)



--> Etablir le tableau de variations de g sur l'ensemble R en utilisant la question 2 :

f(x) étant croissante sur R (question 2), f'(x) était donc positive sur cet ensemble et comme g'(x) = f(x) alors, g'(x) sera positive sur l'ensemble R donc, j'en déduis le tableau de variation suivant :
La fonction g(x) sera donc croissante sur l'ensemble R.

Citation :

f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.

--> (question 2) DONC : g'(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[.
J'en déduis donc le tableau de variations suivant :

8. La courbe de f sera située sous celle de g.

g(x) - f(x) = [(1/2)(e^x + e^-x)] - [(1/2)(e^x - e^-x)]
g(x) - f(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x - (1/2)e^x + (1/2)e^-x
g(x) - f(x) = e^-x
Avec : e^-x est positive sur R

--> Lim(x tend vers +Infini) de g(x)-f(x) = lim(x tend vers +Infini) de e^-x = 0
Car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

Citation :

En effet, on sait que e-x=1/ex

Or on connais la llimite en + l'infini de la fonction exponentielle, donc on en déduit la limite de 1/ex.

Interprétation :
g(x) - f(x) revient à faire f'(x) - f(x)...
Cela signifie que f'(x) - f(x) sera décroissante?

Citation :

Pour l'interprétation, on sait qu'on calcul la distance entre la courbe de G et la courbe de F d'après notre calcul, tu es d'accord là-dessus? Maintenant, on sait l'une est toujours en-dessous de l'autre mais que la limite de cette distance est nulle. Conclusion pour la rédaction?

Les deux courbes auront la même limite?
On a g(0) = 1 et f(0) = 0 : on a donc une différence de 1 en ordonnée entre les 2 courbes. On peut donc en déduire que cette distance tend vers 0 donc, les 2 courbes se rapprochent peu à peu avec g(x) toujours au dessus de f(x).



9. Graphique

10. Prouver que pour tout réels a et b :
f(a+b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

Avec :

ET :



ET :




f(a+b) = (1/2)(e^a-e^-a) * (1/2)(e^b+e^-b) + (1/2)(e^b-e^-b) * (1/2)(e^a + e^-a)
f(a+b) = [(1/2)e^a -(1/2)e^-a] * [(1/2)e^b + (1/2)e^-b] + [(1/2)e^b - (1/2)e^-b] * [(1/2)e^a + (1/2)e^-a]
f(a+b) = [(1/4)e^a+b + (1/4)e^a-b - (1/4)e^-a+b - (1/4)e^-a-b] + [(1/4)e^a+b + (1/4)e^-a+b - (1/4)e^a-b - (1/4)e^-a-b]
f(a+b) = (1/2)e^a+b + 0 + 0 + (1/2)e^-a-b
f(a+b) = (1/2)e^a+b + (1/2)e^-a-b
f(a+b) = (1/2)e^a+b + (1/2) * e^-a * e^-b
f(a+b) = (1/2)e^a+b + (1/2)e^-a * (1/e^b)
f(a+b) = (1/2)e^a+b + (1/2)(e^-a/e^b)
f(a+b) = (1/2)(e^a+b + (e^-a/e^b)
f(a+b) = (1/2)(e^a+b + 1/e^a * 1/e^b)
f(a+b) = (1/2)(e^a+b + (1/e^a+b)
f(a+b) = (1/2)(e^a+b + e^-a+b)

Un plus qui devrait être un moins...

Citation :

f(a+b) = [(1/4)e^a+b + (1/4)e^a-b - (1/4)e^-a+b - (1/4)e^-a-b] + [(1/4)e^a+b + (1/4)e^-a+b - (1/4)e^a-b - (1/4)e^-a-b]
f(a+b) = (1/2)e^a+b + 0 + 0 + (1/2)e^-a-b

Attention, on écrit pas le résultat qu'on cherche au début !!!! Il n'y a pas de f(a+b) à gauche car pour le moment tu ne sais pas qu'il y a égalité vu que c'est ce que tu cherches à trouver.

Ce qui est mis ne rouge c'est le soucis que tu as eu dans ton calcul . Sinon, à la ligne suivante factorise par (1/2) et tu vas retrouver F(a+b) directement en fait.


En tout cas attention à ne pas mettre une égalité qu'on cherche au départ sinon, il y a une erreur grave de logique . C'est la même erreur de rédaction qu'il y avait avec le calcul de la forme factoriser de d'(x).

Bon courage pour la fin de cette exercice!

1. f(x) = (1/2)(e^x-e^-x)

On a l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

Je dois calculer f(-x) :
f(-x) = (1/2)(e^-x - e^x) = (1/2)e^-x - (1/2)e^x)
f(-x) = (1/2)*(1/e^x) - (1/2)*(1/e^-x) = 1/(2e^x) - 1/(2e^-x)

ET

-f(x) = -1 * [(1/2)(e^x - e^-x)]
-f(x) = -1 * [(1/2)e^x - (1/2)e^-x)]
-f(x) = -(1/2)e^x + (1/2)e^-x
-f(x) = -(1/2) * (1/e^-x) + (1/2) * (1/e^x)
-f(x) = (-1/(2e^-x)) + (1/(2e^x)

On a donc : f(-x) = -f(x) donc, la fonction f est bel et bien impaire!


2. Je dois calculer f'(x) :
f'(x) = (1/2)(e^x - (-1) e^-x)
f'(x) = (1/2)(e^x + e^-x)

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



avec (e^x + e^-x) positif car la fonction exponentielle est positive sur l'ensemble R.

On a donc le tableau de signes suivant :



--> f est donc croissante sur l'ensemble R.
------> f(0) = 0
--------> lim(x tend vers - Infini) = - Infini
--------> lim(x tend vers + Infini) = + Infini
(Je n'ai pas à justifier ses limites, non?)


Signe de f(x) :
f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.


3. Déterminer la tangente :
y = f'(a)(x-a) + f(a)

avec : a = 0 donc :
f(a) = f(0) = (1/2)(e⁰-e⁰)
f(a) = 0

et

f'(a) = f'(0) = (1/2)(e⁰ + e⁰)
f'(a) = (1/2)*2 = 1

DONC :

y = 1(x-0) + 0
y = x

La tangente T à la courbe de f au point d'abscisse a = 0 aura pour équation : y = x.

4. d(x) = f(x) - x
Que signifie interpréter géométriquement avec un petit dessin?
On sait que f(x) est croissante est négative sur ]-Infini ; 0[ et donc positive sur ]0 ; +Infini[ et on sait que la tangente en 0 : point de changement donc est de y = x

DONC : d(x) = f(x) - (x) revient à faire f(x) - sa tangente et, y = f(x) représente l'équation de la courbe C. Je dois donc regarder la distance entre la courbe C et sa tangente en 0. Pour les 2 courbes, quand x=0, y=0 MAIS, pour C, à x_c=1 on a y_c= 1.175 tandis que pour sa tangente, on a x=1 et y=1.
Je fais y_c - y = 1.175 - 1 = 0.175 de différence entre C et sa tangente! Et pour le petit dessin :

Que je ferais à main levée ou vite fait
C'est bien cela?



d(x) = f(x) - (x)
d(x) = (1/2)(e^x - e^-x) - x

DONC : d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²
Je ne dois rien mettre d'autre? Je pars directement de la ligne suivante?
--> d'(x) = 1/(2e^x) * [e^2x - e^x - e^x + 1]
--> d'(x) = 1/(2e^x * (e^2x - 2e^x + 1)
--> d'(x) = [e^2x/(2e^x)] - [(2e^x)/(2e^x)] + (1/(2e^x)
--> d'(x) = [(e^x (e^x)]/[e^x*2] - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 - 1 + 1/(2e^x)
--> d'(x) = e^x/2 -1 + (1/(1/(2e^-x)))
--> d'(x) = (1/(2e^x))(e^x - 1)²=d'(x)

--> d'(x) = (e^x/2) - 1 + (e^-x/2)
--> d'(x) = (1/2)(e^x + e^-x) -1

En déduire les variations de d :



--> or :
1/(2e^x) positif car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

ET
(e^x-1)² positif car un carré est toujours positif.


Je dresse donc le tableau de signes suivant :



On a donc le tableau de variations suivant :



avec d(0) = f(0) - 0 = 0 - 0 = 0

--> Signe de d(x) : Tout comme f(x), d(x) est croissante sur l'ensemble R et avec d(0) = 0, on a donc d(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positive sur ]0 ; + Infini[ tout comme f(x).


5. Dédire du tableau précédent la position de la courbe f par rapport à T.
Que dire à part que sur l'intervalle ]-Infini ; 0[ f(x) sera en dessous de T et que sur l'intervalle ]0 ; +Infini[ f(x) sera au dessus de T?
En quoi le tableau précédent nous aide à dire ceci?

Citation :

C'est la courbe représentative de y=F(x) qui est en-dessous de T ou plus simplement, C est en dessous de T

6. On remarque que g(x) = f'(x) si je ne me trompe pas.

Citation :

Une fonction est paire si : f(x) = f(-x)

Avec l'ensemble de définition de F qui est symétrique par rapport à 0 ce qui assure bel et bien l'existence d'un "-x" pour tout x de l'ensemble.

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x)
g(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x

ET

g(-x) = (1/2)(e^-x + e^x)
g(-x) = (1/2)e^-x + (1/2)e^x

Donc :

g(x) = g(-x) donc la fonction g(x) est bel et bien paire.

Interprétation :
g(x) étant égale à f'(x) et avec f(x) impaire, g(x) sera donc forcément paire.
(Ya pas une propriété genre : si une fonction est impaire alors sa dérivée est paire et inversement?)
g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec l'origine du repère pour centre de symétrie. g est paire donc, cela signifie en terme de symétrie que, la partie de g sur ]-Infini ; 0[ sera symétrique à la partie de g sur ]0 ; +Infini[ avec pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.


7. Montrer que g'(x) = f(x) sur l'ensemble R

g(x) = (1/2)(e^x + e^-x
--> g'(x) = (1/2)(e^x + (-1) * e^-x)
DONC : g'(x) = (1/2)(e^x - e^-x )

ET [sb] f(x) = (1/2)(e^x - e^-x )[/b] (voir énoncé)



--> Etablir le tableau de variations de g sur l'ensemble R en utilisant la question 2 :

f(x) étant croissante sur R (question 2), f'(x) était donc positive sur cet ensemble et comme g'(x) = f(x) alors, g'(x) sera positive sur l'ensemble R donc, j'en déduis le tableau de variation suivant :
La fonction g(x) sera donc croissante sur l'ensemble R.

Citation :

f(x) sera négatif sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[ car f(0) = 0 et que, la fonction f(x) est croissante sur R.

--> (question 2) DONC : g'(x) négative sur ]-Infini ; 0[ et positif sur ]0 ; + Infini[.
J'en déduis donc le tableau de variations suivant :

8. La courbe de f sera située sous celle de g.

g(x) - f(x) = [(1/2)(e^x + e^-x)] - [(1/2)(e^x - e^-x)]
g(x) - f(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x - (1/2)e^x + (1/2)e^-x
g(x) - f(x) = e^-x
Avec : e^-x est positive sur R

--> Lim(x tend vers +Infini) de g(x)-f(x) = lim(x tend vers +Infini) de e^-x = 0
Car la fonction exponentielle est toujours positive sur l'ensemble R.

Citation :

En effet, on sait que e-x=1/ex

Or on connais la llimite en + l'infini de la fonction exponentielle, donc on en déduit la limite de 1/ex.

Interprétation :
g(x) - f(x) revient à faire f'(x) - f(x)...
Cela signifie que f'(x) - f(x) sera décroissante?

Citation :

Pour l'interprétation, on sait qu'on calcul la distance entre la courbe de G et la courbe de F d'après notre calcul, tu es d'accord là-dessus? Maintenant, on sait l'une est toujours en-dessous de l'autre mais que la limite de cette distance est nulle. Conclusion pour la rédaction?

Les deux courbes auront la même limite?
On a g(0) = 1 et f(0) = 0 : on a donc une différence de 1 en ordonnée entre les 2 courbes. On peut donc en déduire que cette distance tend vers 0 donc, les 2 courbes se rapprochent peu à peu avec g(x) toujours au dessus de f(x).



9. Graphique

10. Prouver que pour tout réels a et b :
f(a+b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

Avec :

ET :




f(a+b) = (1/2)(e^a-e^-a) * (1/2)(e^b+e^-b) + (1/2)(e^b-e^-b) * (1/2)(e^a + e^-a)
f(a+b) = [(1/2)e^a -(1/2)e^-a] * [(1/2)e^b + (1/2)e^-b] + [(1/2)e^b - (1/2)e^-b] * [(1/2)e^a + (1/2)e^-a]
f(a+b) = [(1/4)e^a+b + (1/4)e^a-b - (1/4)e^-a+b - (1/4)e^-a-b] + [(1/4)e^a+b + (1/4)e^-a+b - (1/4)e^a-b - (1/4)e^-a-b]
f(a+b) = (1/2)e^a+b + 0 + 0 - (1/2)e^-a-b
f(a+b) = (1/2)e^a+b - (1/2)e^-a-b
f(a+b) = (1/2)e^a+b (1/2) * e^-a * e^-b
f(a+b) = (1/2)e^a+b - (1/2)e^-a * (1/e^b)
f(a+b) = (1/2)e^a+b - (1/2)(e^-a/e^b)
f(a+b) = (1/2)(e^a+b - (e^-a/e^b)
f(a+b) = (1/2)(e^a+b - 1/e^a * 1/e^b)
f(a+b) = (1/2)(e^a+b - (1/e^a+b)
f(a+b) = (1/2)(e^a+b - e^-a+b)

Je ne peux pas directement facotriser vu que j'ai e^-a-b au lieu de e^-a+b
ET :


L'égalité est donc vérifiée!

Il reste encore l'erreur de rédaction avec le "F(a+b)=" (je te conseille d'ailleurs de bien relire tout ce que tu vas écrire sur ta feuille au niveau de la rédaction car je pense qu'il doit rester quelque petit problème de rédaction par-ci par-là). Si dès fois tu as encore des doute de rédaction ou que tu ne comprend pas ton erruer pour la factorisation de d'(x) ou ici pour F(a+b) au niveau de la rédaction, n'hésite pas.

(1/2)*x - (1/2)*y= (1/2)*[x-y]

Depuis quand on ne peut pas factoriser par un facteur commun à deux expressions ?

En tout cas cette exercice t'offre un magnifique panel de révision pour la fonction exponentielle et pour l'étude de fonction.

A titre anecdotique, la fonction F s'apelle le sinus hyperbolique noté "sh" et la fonction G s'appelle le cosinus hyperbolique noté "ch" et on a la relation fondamentale suviante:

[ch(x)]² - [sh(x)]² = 1

Et on a ch'=sh

Ce sont duex fonction qui te servirons si tu continues à faire un peu de mathématique après le bac. C'était juste à titre culturel

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

10. Prouver que pour tout réels a et b :
f(a+b) = f(a)g(b) + f(b)g(a)

Avec :

ET :



(1/2)(e^a-e^-a) * (1/2)(e^b+e^-b) + (1/2)(e^b-e^-b) * (1/2)(e^a + e^-a)
= [(1/2)e^a -(1/2)e^-a] * [(1/2)e^b + (1/2)e^-b] + [(1/2)e^b - (1/2)e^-b] * [(1/2)e^a + (1/2)e^-a]
= [(1/4)e^a+b + (1/4)e^a-b - (1/4)e^-a+b - (1/4)e^-a-b] + [(1/4)e^a+b + (1/4)e^-a+b - (1/4)e^a-b - (1/4)e^-a-b]
= (1/2)e^a+b + 0 + 0 - (1/2)e^-a-b
= (1/2)e^a+b - (1/2)e^-a-b
f(a+b) = (1/2)(e^a+b - e^-a+b)

ET :


L'égalité est donc vérifiée!

Voilà normalement c'est bon maintenant


EDIT : Ben ça marche pas vu que j'ai -a-b au lieu de -a+b ?

C'est bon en fait car tu as juste faire une erreur de recopie:

Citation :

= (1/2)e^a+b - (1/2)e^-a-b
f(a+b) = (1/2)(e^a+b - e^-a+b)

Sinon, il n'y a plus rien à dire en effet .

Bon courage pour la suitre!

Merci pour le coup de main et pour les précisions finales