Second exercice sur les exponentielles

Me revoici avec la suite du post précédent :



f est la fonction définie sur l'ensemble R par :
f(x) = x + 1 - [2e^x/(e^x+1)]. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.

1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f(-x) = f(x).
Que peut-on dire de la courbe C?

2.a) Démontrer que pour tout réel x,

f(x) = x + 1 - [2 / (1+e^-x)]

2.b) En déduire la limite de f en +Infini.

3.a) Démontrer que pour tout réel x,

f(x) - (x-1) = [2/(e^x + 1)]

3.b) En déduire que la droite Delta d'équation y = x - 1 est asymptote en +Infini.
3.c) Préciser la position de C par rapport à Delta.

4. Etudier les variations de f sur [0 ; +Infini[

5. Tracer la courbe C, la tangente à C au point O et les asymptotes Delta et (Delta)' (on remarquera que C admet une asymptote (Delta)' en -Infini)



1.
-f(x) = (x+1 - [(2e^x) / (e^x +1)]) * (-1)
-f(x) = -x -1 + [(2e^x)/(e^x+1)]
-f(x) = [-xe^x -x -e^x -1 + 2e^x] / (e^x +1)
-f(x) = [e^x - xe^x - x - 1] / (e^x +1)
-f(x) = [e^x (1-x -(x/e^x) - (1/e^x)] / (e^x (1 + 1/e^x)


f(-x) = -x +1 - [(2e^-x)/(e^-x +1)
f(-x) = -x + 1 - [(2*(1/e^x) / (1/e^x + 1)]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) / (1 + (1/e^x)]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) / [(1+e^x) / (e^x)]]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) * (e^x/(1+e^x))
f(-x) = -x + 1 - [2e^x / (e^x + e^2x)
f(-x) = [-x (e^x + e^2x) + e^x + e^2x - 2e^x]
f(-x) = [-xe^x - xe^2x + e^x + e^2x - 2e^x] / (e^x + e^2x)
f(-x) = [e^x (-1 +e^x - xe^x - x)] / [e^x(1+e^x)
f(-x) = [ 1 + e^x - xe^x - x] / (1 + e^x)
-f(x) = [e^x (1-x -(x/e^x) - (1/e^x)] / (e^x (1 + 1/e^x)

DONC :

C sera donc symétrique avec O pour centre de symétrie ( origine du repère = centre de symétrie)


2.a)
f(x) = x + 1 - [2e^x / (e^x+1)]
f(x) = x + 1 - [(e^x(2)) / (e^x(1+(1/e^x))]
f(x) = x + 1 - [2/(1 + (1/e^x))]

2.b) lim (x->+Inf.) f(x) = + Inf.
CAR :

* lim(x->+Inf.) (x+1) = +Inf.
* lim(x->+Inf.) -2 = -2
ET
lim(x->+Inf.) e^-x = 0 DONC : lim(x->+Inf.) 1+ e^-x = 1


3.a) f(x) - (x-1) = 2/(e^x +1) ???
x+1 - [(2e^x) / (e^x+1)] - x + 1
2 - [(2e^x)/(e^x+1)] = [(2e^x +2 -2e^x) / (e^x+1)] = 2 / (e^x +1)

L'égalité est vérifiée!

3.b) Asymptote oblique : y = mx + p
On a f(x) - (x-1) = 2 / (e^x +1)
--> (x - 1) asymptote oblique à C en +Infini.

3.c) C sera au dessus de Delta.

4. Je calcule la dérivée de f(x) :

f(x) = x + 1 - [(2e^x) / (e^x +1)]
--> f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)]'

z(x) = -2e^x / (e^x+1) = u(x) / v(x)

avec u'(x) = 2e^x
et v'(x) = e^x

z'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / (v(x))²
z'(x) = (2e^x(e^x + 1) - (2e^x * e^x)
z'(x) = [2e^2x + 2e^x - 2e^2x] / (e^x +1)²
z'(x) = (2e^x) / (e^x+1)²


DONC :
f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)²

PROBLEME :
Lorsque je dresse mon tableau de signes, je trouve f'(x) négatif car :
sur [0 ; +Inf.[, [(-2e^x) / (e^x + 1)²] est négatif alors que sur la calculatrice, f(x) est croissante sur ce même intervalle...
J'ai recalculé 2 fois la dérivée ça semble pas venir de là...

Citation :

f(-x) = [e^x (-1 +e^x - xe^x - x)] / [ex(1+ex)
f(-x) = [ 1 + e^x - xe^x - x] / (1 + e^x)

le -1 qui se transforme en +1, ce n'est pas malin ça . Sinon la dernière ligne bonne.

D'ailleurs, dans tes deux calculs tu pourrais t'arrêter une ligne plus tôt car on aime pas les fraction en maths donc on préfaire ne pas factoriser lorsque cela en ajoute dans l'expression.

Citation :

On a f(x) - (x-1) = 2 / (e^x +1)
--> (x - 1) asymptote oblique à C en +Infini.

Faudrait peut-être dire que la limite de l'expression de droite est égale à 0 pour montrer que c'est une asymptote oblique .

Citation :

3.c) C sera au dessus de Delta.

N'oublie pas de justifier tes affirmation car là c'est est peu un résultat tombé du ciel .

Citation :

--> f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)]'

Tu écris ça au brouillon mais jamais sur une copie car ça n'a pas trop de sens. On calcule les dérivée à part d'abord et on donne l'égalité à la fin, cela fait un peu plus sérieux.

Citation :

u'(x) = 2e^x

Alors soit tu prend en comptel e "-" dans l'expression de z(x) ou soit tu le laisse à part. Car là tu écrit z(x) avec le "-" devant mais dans ta calcul il disparait puis réaparait à la fin, c'estp as très logique .

Donc enlève le - dans l'expression de z(x) comem ça tout est bon.

Citation :

sur [0 ; +Inf.[, [(-2e^x) / (e^x + 1)²] est négatif

Ta dérivée n'est pas égale à cette expression le fait que cela soit négatif ne te donne rien vu qu'on ajoute 1 pour avoir l'expression de F'(x). Du coup, il faut que tuaille plus loin dans ton calcul de la dérivée comme mettre au même dénominateur pour ainsi pouvoir faire un tableau de signe par exemple.

Bon courage pour corriger les petites erreurs qui se sont glissées ça et là.

1.
-f(x) = (x+1 - [(2e^x) / (e^x +1)]) * (-1)
-f(x) = -x -1 + [(2e^x)/(e^x+1)]
-f(x) = [-xe^x -x -e^x -1 + 2e^x] / (e^x +1)
-f(x) = [e^x - xe^x - x - 1] / (e^x +1)
-f(x) = [e^x (1-x -(x/e^x) - (1/e^x)] / (e^x (1 + 1/e^x)


f(-x) = -x +1 - [(2e^-x)/(e^-x +1)
f(-x) = -x + 1 - [(2*(1/e^x) / (1/e^x + 1)]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) / (1 + (1/e^x)]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) / [(1+e^x) / (e^x)]]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) * (e^x/(1+e^x))
f(-x) = -x + 1 - [2e^x / (e^x + e^2x)
f(-x) = [-x (e^x + e^2x) + e^x + e^2x - 2e^x]
f(-x) = [-xe^x - xe^2x + e^x + e^2x - 2e^x] / (e^x + e^2x)
f(-x) = [e^x (-1 +e^x - xe^x - x)] / [e^x(1+e^x)
f(-x) = [ -1 + e^x - xe^x - x] / (1 + e^x)
-f(x) = [e^x (1-x -(x/e^x) - (1/e^x)] / (e^x (1 + 1/e^x)

DONC :

C sera donc symétrique avec O pour centre de symétrie ( origine du repère = centre de symétrie)
[ERREUR de recopie désolé sinon, c'est bon les lignes que j'ai barrées?]

2.a)
f(x) = x + 1 - [2e^x / (e^x+1)]
f(x) = x + 1 - [(e^x(2)) / (e^x(1+(1/e^x))]
f(x) = x + 1 - [2/(1 + (1/e^x))]

2.b) lim (x->+Inf.) f(x) = + Inf.
CAR :

* lim(x->+Inf.) (x+1) = +Inf.
* lim(x->+Inf.) -2 = -2
ET
lim(x->+Inf.) e^-x = 0 DONC : lim(x->+Inf.) 1+ e^-x = 1


3.a) f(x) - (x-1) = 2/(e^x +1) ???
x+1 - [(2e^x) / (e^x+1)] - x + 1
2 - [(2e^x)/(e^x+1)] = [(2e^x +2 -2e^x) / (e^x+1)] = 2 / (e^x +1)

L'égalité est vérifiée!

3.b) Asymptote oblique : y = mx + p
On a f(x) - (x-1) = 2 / (e^x +1)
--> (x - 1) asymptote oblique à C en +Infini.

Citation :

Faudrait peut-être dire que la limite de l'expression de droite est égale à 0 pour montrer que c'est une asymptote oblique

Je dis ça comment? Il y a une notation particulière?

3.c) C sera au dessus de Delta.
Au point d'abscisse 0, g(x) = 0 +1 - [(2e⁰) / (e⁰ +1)]
g(x) = 0
ET
y = x - 1 avec x = 0 --> y = 0-1 = -1

C sera donc au dessus de Delta

4. Je calcule la dérivée de f(x) :

f(x) = x + 1 - [(2e^x) / (e^x +1)]
--> f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)]'

z(x) = 2e^x / (e^x+1) = u(x) / v(x)

avec u'(x) = 2e^x
et v'(x) = e^x

z'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / (v(x))²
z'(x) = (2e^x(e^x + 1) - (2e^x * e^x)
z'(x) = [2e^2x + 2e^x - 2e^2x] / (e^x +1)²
z'(x) = (2e^x) / (e^x+1)²


DONC :
f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)²]
f'(x) = [(e^x+1)² - 2e^x] / (e^x + 1)²

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



Car un carré est toujours positif.

On a donc le tableau de variations suivant :


avec pour x= 0 , y=0 (désolé j'ai oublié de le mettre dans le tableau)

5. Graphique avec Delta' : y=x+1

Re-bonjour,

La première question est juste et un peu moins illisible je trouve.

Pour la 2 toujours pas de soucis ni pour la 3)a).

Alors pour la 3)b):

Citation :

3.b) Asymptote oblique : y = mx + p
On a f(x) - (x-1) = 2 / (e^x +1)
--> (x - 1) asymptote oblique à C en +Infini.

Citation:
Faudrait peut-être dire que la limite de l'expression de droite est égale à 0 pour montrer que c'est une asymptote oblique

Je dis ça comment? Il y a une notation particulière?

Il faut se souvenir de la définition d'une asymptote.

(D) d'équation y=mx + p est asymptote à C en +l'infinie <=> F(x) - (mx+b)= G(x) avec lim_x->+InfiniG(x)=0

Ici, tu n'as pas mis dans ta rédaction que la fonction 2/(e^x +1) tendait vers 0 en + l'infini et si tu le mets pas tu perds la moitié des point ça serait dommage de perdre des points bêtement dans un devoir .


Ensuite:

Citation :

3.c) C sera au dessus de Delta.
Au point d'abscisse 0, g(x) = 0 +1 - [(2e⁰) / (e⁰ +1)]
g(x) = 0
ET
y = x - 1 avec x = 0 --> y = 0-1 = -1

C sera donc au dessus de Delta

Depuis quand on montre la position entre deux courbes à l'aide d'un exemple? Il faut montrer une position pour tout les x appartenant à l'intervalle où la position que tu avances est juste.

Une remarque général pour tout les exercices. Nous sommes ici dans la question 3) de l'exercice. Cette question 3) est découpée 3 partie a), b) et c). Ce n'est pas fait pour faire joli en fait. La véritable question 3) est:

Donnée l'équation de l'asymptote à C en +l'infinie et sa position relative par rapport à C.

tu avouera que brute de décoffrage comme ça, c'est infaisable et c'est normal. Du coup, ils te guident pour que tu puisse avancer en te mettant des questions intermédiaires. La a) permet de mettre en évidence l'expression qui va te servir pour déduire l'équation de l'asymptote qu'on te demande à la question b) et enfin on déduira la position relative dansl a question c).

Ce que j'essaie de te montrer c'est que revenir à l'expression de F(x) tel qu'on te la donne ua départ dans cette 3ème question est une erreur vu qu'à la question 3)a), on te demande de mettre en évidence une noubvelle expression qui est donc censé servir dans toute la question 3) si l'exercice est bien construit.

Donc déduire la position relative de C et de Delta revient à trouver le signe de la différence F(x) - (x+1) pour tout x et non pour un seul x fixé.


Enfin, pour la question 4) c'est mieux rédigé mais il reste encore une "erreur". En effet, comme on dit souvent ce qui est évident peut être marquer clairement:

Citation :

f'(x) = [(e^x+1)² - 2e^x] / (e^x + 1)²

Pourquoi (e^x+1)² - 2e^x est positif sur [0; +l'Infini] ?

Bon courage!

1.
-f(x) = (x+1 - [(2e^x) / (e^x +1)]) * (-1)
-f(x) = -x -1 + [(2e^x)/(e^x+1)]
-f(x) = [-xe^x -x -e^x -1 + 2e^x] / (e^x +1)
-f(x) = [e^x - xe^x - x - 1] / (e^x +1)
-f(x) = [e^x (1-x -(x/e^x) - (1/e^x)] / (e^x (1 + 1/e^x)


f(-x) = -x +1 - [(2e^-x)/(e^-x +1)
f(-x) = -x + 1 - [(2*(1/e^x) / (1/e^x + 1)]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) / (1 + (1/e^x)]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) / [(1+e^x) / (e^x)]]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) * (e^x/(1+e^x))
f(-x) = -x + 1 - [2e^x / (e^x + e^2x)
f(-x) = [-x (e^x + e^2x) + e^x + e^2x - 2e^x]
f(-x) = [-xe^x - xe^2x + e^x + e^2x - 2e^x] / (e^x + e^2x)
f(-x) = [e^x (-1 +e^x - xe^x - x)] / [e^x(1+e^x)
f(-x) = [ -1 + e^x - xe^x - x] / (1 + e^x)
-f(x) = [e^x (1-x -(x/e^x) - (1/e^x)] / (e^x (1 + 1/e^x)

DONC :

C sera donc symétrique avec O pour centre de symétrie ( origine du repère = centre de symétrie)
[ERREUR de recopie désolé sinon, c'est bon les lignes que j'ai barrées?]

2.a)
f(x) = x + 1 - [2e^x / (e^x+1)]
f(x) = x + 1 - [(e^x(2)) / (e^x(1+(1/e^x))]
f(x) = x + 1 - [2/(1 + (1/e^x))]

2.b) lim (x->+Inf.) f(x) = + Inf.
CAR :

* lim(x->+Inf.) (x+1) = +Inf.
* lim(x->+Inf.) -2 = -2
ET
lim(x->+Inf.) e^-x = 0 DONC : lim(x->+Inf.) 1+ e^-x = 1


3.a) f(x) - (x-1) = 2/(e^x +1) ???
x+1 - [(2e^x) / (e^x+1)] - x + 1
2 - [(2e^x)/(e^x+1)] = [(2e^x +2 -2e^x) / (e^x+1)] = 2 / (e^x +1)

L'égalité est vérifiée!

3.b) Asymptote oblique : y = mx + p
On a f(x) - (x-1) = 2 / (e^x +1)
--> (x - 1) asymptote oblique à C en +Infini.

avec lim(x->+Inf.) 2 / (e^x +1) = +Inf.
Merci pour cette précision.

3.c) C sera au dessus de Delta.
Au point d'abscisse 0, g(x) = 0 +1 - [(2e⁰) / (e⁰ +1)]
g(x) = 0
ET
y = x - 1 avec x = 0 --> y = 0-1 = -1

C sera donc au dessus de Delta

Citation :

Donc déduire la position relative de C et de Delta revient à trouver le signe de la différence F(x) - (x+1) pour tout x et non pour un seul x fixé.

On sait que : f(x) - (x-1) = 2/(e^x +1)
On ne peut pas avoir x = 0 car, cela donnerait un dénominateur négatif --> Impossible.
La fonction exponentielle étant toujours positive, Quelque soit le x choisi sur l'ensemble R, 2/(e^x +1) serait positif donc, la différence f(x) - (x-1) serait positive donc C qui est la courbe de f(x) serait toujours au dessus de Delta = x-1 : asymptote oblique en Inf.


4. Je calcule la dérivée de f(x) :

f(x) = x + 1 - [(2e^x) / (e^x +1)]
--> f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)]'

z(x) = 2e^x / (e^x+1) = u(x) / v(x)

avec u'(x) = 2e^x
et v'(x) = e^x

z'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / (v(x))²
z'(x) = (2e^x(e^x + 1) - (2e^x * e^x)
z'(x) = [2e^2x + 2e^x - 2e^2x] / (e^x +1)²
z'(x) = (2e^x) / (e^x+1)²


DONC :
f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)²]
f'(x) = [(e^x+1)² - 2e^x] / (e^x + 1)²

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



Car un carré est toujours positif.
ET (e^x+1)² - 2e^x positif sur [0 ; +Infini[ car un carré est toujours positif malgré le -2e^x

On a donc le tableau de variations suivant :


avec pour x= 0 , y=0 (désolé j'ai oublié de le mettre dans le tableau)

5. Graphique avec Delta' : y=x+1

Citation :

avec lim(x->+Inf.) 2 / (e^x +1) = +Inf.
Merci pour cette précision.

Petit comique, tu est aussi réveillé que moi hier . La limite c'est 0 bien entendu car e^x+1 tend vers l'infini à l'infini et donc l'inverse tend vers 0 à l'infini.


Ensuite pour la question 3)c), elle est juste mis à part que:

Citation :

On ne peut pas avoir x = 0 car, cela donnerait un dénominateur négatif --> Impossible.

Cette phrase est fausse en plus d'être inutile car pour x=0, c'est bien défini et la différence est positive comme pour le reste. Pourquoi? Par la justification que tu donnes juste après, pardi!


Enfin pour la 4):

Citation :

ET (e^x+1)² - 2ex positif sur [0 ; +Infini[ car un carré est toujours positif malgré le -2e^x

Voyons un peu de sérieux . Je te donne un contre exemple: G(x)=x² - 2 qui n'est pas toujours positif sur [0; +l'Infini[ alors que d'après tes dire cela devrait être le cas .
Donc un peu de rigueur, veux-tu, et fait le calcul pour montrer que c'est belle et bien positif. Lorsque c'est évident, on doit le montrer de façon tout aussi évidente avec des arguments clairs, net et précis sinon c'est que cela n'est pas évident .

Bon courage pour les dernières petites erreurs!

1.
-f(x) = (x+1 - [(2e^x) / (e^x +1)]) * (-1)
-f(x) = -x -1 + [(2e^x)/(e^x+1)]
-f(x) = [-xe^x -x -e^x -1 + 2e^x] / (e^x +1)
-f(x) = [e^x - xe^x - x - 1] / (e^x +1)
-f(x) = [e^x (1-x -(x/e^x) - (1/e^x)] / (e^x (1 + 1/e^x)


f(-x) = -x +1 - [(2e^-x)/(e^-x +1)
f(-x) = -x + 1 - [(2*(1/e^x) / (1/e^x + 1)]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) / (1 + (1/e^x)]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) / [(1+e^x) / (e^x)]]
f(-x) = -x + 1 - [(2/e^x) * (e^x/(1+e^x))
f(-x) = -x + 1 - [2e^x / (e^x + e^2x)
f(-x) = [-x (e^x + e^2x) + e^x + e^2x - 2e^x]
f(-x) = [-xe^x - xe^2x + e^x + e^2x - 2e^x] / (e^x + e^2x)
f(-x) = [e^x (-1 +e^x - xe^x - x)] / [e^x(1+e^x)
f(-x) = [ -1 + e^x - xe^x - x] / (1 + e^x)
-f(x) = [e^x (1-x -(x/e^x) - (1/e^x)] / (e^x (1 + 1/e^x)

DONC :

C sera donc symétrique avec O pour centre de symétrie ( origine du repère = centre de symétrie)
[ERREUR de recopie désolé sinon, c'est bon les lignes que j'ai barrées?]

2.a)
f(x) = x + 1 - [2e^x / (e^x+1)]
f(x) = x + 1 - [(e^x(2)) / (e^x(1+(1/e^x))]
f(x) = x + 1 - [2/(1 + (1/e^x))]

2.b) lim (x->+Inf.) f(x) = + Inf.
CAR :

* lim(x->+Inf.) (x+1) = +Inf.
* lim(x->+Inf.) -2 = -2
ET
lim(x->+Inf.) e^-x = 0 DONC : lim(x->+Inf.) 1+ e^-x = 1


3.a) f(x) - (x-1) = 2/(e^x +1) ???
x+1 - [(2e^x) / (e^x+1)] - x + 1
2 - [(2e^x)/(e^x+1)] = [(2e^x +2 -2e^x) / (e^x+1)] = 2 / (e^x +1)

L'égalité est vérifiée!

3.b) Asymptote oblique : y = mx + p
On a f(x) - (x-1) = 2 / (e^x +1)
--> (x - 1) asymptote oblique à C en +Infini.

avec lim(x->+Inf.) 2 / (e^x +1) = 0
Merci pour cette précision. J'ai même pas fait attention...

3.c) C sera au dessus de Delta.
Au point d'abscisse 0, g(x) = 0 +1 - [(2e⁰) / (e⁰ +1)]
g(x) = 0
ET
y = x - 1 avec x = 0 --> y = 0-1 = -1

C sera donc au dessus de Delta

Citation :

Donc déduire la position relative de C et de Delta revient à trouver le signe de la différence F(x) - (x+1) pour tout x et non pour un seul x fixé.

On sait que : f(x) - (x-1) = 2/(e^x +1)
On ne peut pas avoir x = 0 car, cela donnerait un dénominateur négatif --> Impossible.
La fonction exponentielle étant toujours positive, Quelque soit le x choisi sur l'ensemble R, 2/(e^x +1) serait positif donc, la différence f(x) - (x-1) serait positive donc C qui est la courbe de f(x) serait toujours au dessus de Delta = x-1 : asymptote oblique en Inf.


4. Je calcule la dérivée de f(x) :

f(x) = x + 1 - [(2e^x) / (e^x +1)]
--> f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)]'

z(x) = 2e^x / (e^x+1) = u(x) / v(x)

avec u'(x) = 2e^x
et v'(x) = e^x

z'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / (v(x))²
z'(x) = (2e^x(e^x + 1) - (2e^x * e^x)
z'(x) = [2e^2x + 2e^x - 2e^2x] / (e^x +1)²
z'(x) = (2e^x) / (e^x+1)²


DONC :
f'(x) = 1 - [(2e^x) / (e^x + 1)²]
f'(x) = [(e^x+1)² - 2e^x] / (e^x + 1)²

Je dresse donc le tableau de signes suivant :



Car un carré est toujours positif.
ET (e^x+1)² - 2e^x positif sur [0 ; +Infini[ car un carré est toujours positif malgré le -2e^x Je dois remplacer pour x = 0?
(e^x)² - 2e^x = (e^x+1) - 2e^x
= e^2x + 2e^x - 1 - 2e^x = e^2x -1
--> Exp. toujours positive donc +

On a donc le tableau de variations suivant :


avec pour x= 0 , y=0 (désolé j'ai oublié de le mettre dans le tableau)

5. Graphique avec Delta' : y=x+1

Citation :

Je dois remplacer pour x = 0?

Il faut montrer que c'est positif pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle considéré. On ne remplace x par une valeur que lorsqu'on nous le dmeande ou qu'on cherche un contre exemple le plus souvent.

Ici, il faut faire les calculs comme développer le carré par exemple et effectué les addition/soustraction pour prouver concrètement que c'est bien positif comem tu l'affirmes sans preuve pour le moment .

Sinon, tout le reste est correct maintenant.

[J'ai édité le dernier message]

Citation :

e^2x + 2e^x + 1 - 2e^x = e^2x -1

Il y a une erreur de recopiage de signe car sinon ta justification n'était pas juste. La justification exacte ici, c'est:

L'exponentielle est toujours positive sur R et en ajoutant quelque chose de positif cela ne change pas le signe. Donc e^2x +1>0 pour tout x


Je chipote mais perdre des point bêtement en considérant quelque chose comme évident, c'est dommage surtout que c'est évitable ici, la preuve . Le restant étant juste ceci boucle l'exercice sauf erreur.

Bon courage pour la suite!

Voilà c'est corrigé!
Merci pour ton coup de main!

C'est l'inverse la correction !!

Ton développement de carré est bon c'est bien "+1" et non "-1" comme tu l'as écrit après le signe égale. A vouloir aller vite tu finis par faire des erreur énorme .

Vitesse et précipitation ne font pas bon ménage .

Aller bon courage pour la suite!

Oups! Ah oui! Merci d'avoir précisé... Erreur idiote..