exercice sur les exponentielles

Soit f la fonction définie par f(x)= x/exp(x)-x . On note C sa courbe représentatrice dans un repère orthonormé du plan.
1/ soit Ø la fonction définie sur R par Ø(x)=exp(x) -x-1.
a)justifiez que Ø est dérivable sur R et calculer sa ddérivée.
b) étudiez les variations de Ø sur R.
c) déterminez le minimun de Ø sur R et en déduire l'ensemble de définition de f.

2/
a) vérifiez que , f(x)= 1/ ((exp(x)/x)-1) pour tout réel x non nul puis déterminez la limite de f en - l'infini .
b) déterminez la limite de f en + l'infini.

3/ étudiez les variations de f puis dressez son tableau de variation .

4/
a) déterminez l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.
b) étudiez la position relative de C et T.

Mes réponses:
1/
a) La dérivée de Ø(x) est Ø'(x)=exp(x)-1 . Ø est dérivable sur R car la fonction exponentielle est dérivable sur R ainsi que f(x)=-x-1 .
c) le minimum de Ø sur R est 0. L'ensemble de définition de f est R soit ]- infini; +infini[.
2/
a) je suis partie de f(x) de l'énoncé pour remonter à f(x)= 1/((exp(x)/x)-1) .
f(x)= x/exp(x)-1 <=> f(x)= (x/x)/((exp(x)/x)-(x/x))<=> f(x)= 1/((exp(x)/x)-1)
donc f(x)= x/exp(x)-x =1/(exp(x)/x)-1

Bonsoir,

Je suis tout à fait d'accord avec la première question même s'il serait plus logique de dire poruoi elle est dérivable avant de calculer la dérivée. D'ailleurs, toujours pour la rigueur, la fonction F est déjà définie par l'énoncé, tu ne peux pas utiliser ce nom avec une autre fonction.

Sinon, il manque la question b).

Pour la question c), pour la fonction F, y a-t-il des parenthèses quelque part où c'est juste l'exponentielle qui est au dénominateur? J'ai un doute car vu l'étude que nous venons de faire, j'imagine que le minimum de la fonction auxiliaire à un rôle à jouer dans l'ensemble de définition de la fonction F.

Merci pour la précision non négligeable pour la question é).

Bon courage!

Pour la question c c'est f(x)=x/(exp(x)-x).
la question b je l'ai fait mais je pense avoir faux

Bonjour,

En fait, il est plutôt assez difficile de faire la c) sans avoir la question b) vu que le minimum de la fonction se lit dans le tableau de variation ne l'occurrence. Mais vu le début de la question c) que tu proposes, je pense que ton étude doit être bonne vu que le minimum est bien atteint pour x=0 et vaut 0.

Donc avec les parenthèse, l'ensemble de définition de la fonction F dépend donc des points d'annulation du dénominateur qui est définie par exp(x)-x. Or, nous venons de montrer que la fonction Phi était toujours positive ou nulle ce qui implique quoi pour le dénominateur du coup?

La conclusion de l'ensemble de définition de F est bien R mais il faut le justifier correctement via les questions précédente.

Pour la 2)a) c'est exact. Les deux moyens sont corrects en fait (on peut partir de là partie de droite puis mettre au même dénominateur et retrouver F(x) à la fin sans problème aussi).

Maintenant, grâce à cette nouvelle forme pour F(x), serais-tu calculer les limites de la fonction F en +Infini?

Bon courage!