Fonction exponentielles

Bonjour,
voila j'ai un DM à faire sur les fonction exponentielles mais je bloque un peu!
pouvez vous m'y aider:

voilà l'excercie:

Exercice 1:
soit la fonction f définie sur l'intervalle [1;10] par f(x)= 5(x-2)e^-0.4x

1) a. Montrer que f'(x)= 5(-0.4x + 1.8)e^-0.4x
b. Etudier le signe de f'(x) et en déduire les varaitions de f.
c. Dresser le tableau de variation de f sur [1;10]

2)a. Résoudre sur [1;10] l'équation f(x)=0
b. Résoudre sur [1;10] l'équation f(x)>0

3)a.Tracer la courbe représentative de f sur l'intervalle [1;10] dans un repère orthonormal.
b. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x)=1
c. à l'aide de la calculatrice donner un encadrement à 0.1 prés des solutions.
d. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≥ 1

4) Une entreprise fabrique un produit chimique dont le résultat d'exploitation pour q tonnes de produits vendu
avec 1 ≤ q ≤ 10 est donné par f(q), où f(q) est exprimer en milliers d'euro.

à l'aide des questions précedentes il faut:

a) Déterminer le seuil de rentabilité de l'entreprise.
b) Pour quelle quantité de produit vendu, le résultat d'exploitation est-il maximal?
c) quelle est la valeur de ce maximum (on donnera une valeur arrondie à la centaine d'euro prés).
d) pour quelles quantités de produit vendu, arrondies à 0.1 tonne prés, l'entreprise réalise-t-elle un résulatt d'explitation supérieur à 1 000euro?

j'ai déjà fait:

1.a) f(x)=5(x-2)e^-0.4x
f'(x)= u'*v + v'*u
dont: u=x-2 u'=1
v= e^−0,4x v'(x)=-0.4e^-0.4x
f'(x)= 5[u'(x)*v(x) + v'(x)*u(x)]
f'(x)=5[1e^-0.4x +(x-2) * (-0.4e^-0.4x)]
f'(x)=5[1e^-0.4x + (-0.4e^-0.4*x)-(-0.4e^-0.4x*2)]
f'(x)=5[1+(-0.4x)+0.8]e^-0.4x
f'(x)=5(-0.4x+1.8)e^-0.4x

b) Etudier le signe de f'(x):
5>0 et e^-0.4x>0
Donc f'(x) est du signe de (-0.4x+1.8)
f'(x)=0
-0.4x+1.8=0
-0.4x=-1.8 x=4.5

f'(x)>0
-0.4x+1.8>0
-0.4>-1.8
x< -1.8/-0.4 x<4.5

f'(x)<0
-0.4x+1.8<0
-0.4x<-1.8
x>-1.8/-0.4 x>4.5

Tableau de variation de f sur [1;10]:

f'(x) positif sur l'intervalle [1;4.5]
f'(x) négatif sur l'intervalle [4.5;10]
f'(x)=0 pour x=4.5

pour la question:
2.a) Sur [1;10]
équation f(x)=0
f(x)=5(x-2)e^-0.4x
f(x) est écrit sous la forme d'un produit de facteurs:
donc 5 et e^-0.4x sont strictement possitifs.

soit: f(x)=0
x-2=0 x=2

b) f(x)>0
x-2>0 x>2

le début de l'excercie est-il correct?


3.a) pour la courbe, j'ai fait: à partir d'un tableau tel que:

x=1 ------- f(x)= -1
x=2 ------- f(x)= 0
x=3 ------- f(x)= 1
x=4 ------- f(x)= 2
x=5 ------- f(x)= 3
x=6 ------- f(x)= 4
x=7 ------- f(x)= 5
x=8 ------- f(x)= 6
x=9 ------- f(x)= 7
x=10 ------ f(x)= 8

b) pour f(x)=1
pour x=3

c) pas trouver de réponse

d) f(x)≥ 1
pour x est sur l'intervalle [3;10]

mes résultats sont-ils bon?

Bonjour et bienvenue parmi nous!

Le but de cet exercice c'est l'étude total d'une fonction d'en un premier temps puis dans un deuxième temps, nous allons utiliser cette fonction lors de la modélisation d'un problème concret.

Le but de l'étude d'une fonction est de pouvoir tracer la courbe représentant la fonction et en déduire le maximum d'information (maximum, minimum, variation, ...). Pour se faire, la démarche mathématiques est toujours la même il s'agit de regarder le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction puis ensuite d'effectuer le tracer. Ensuite seulement, on peut regarder si on ne pourrait pas démontrer quelques propriétés supplémentaire comme la positivité de la fonction, la recherche d'extremum ou encore la comparaison avec une autre fonction.

Donc ici, nous avons sensiblement ce schéma d'étude qui est proposé. La Première question étant de dérivée la fonction f. La dérivée est excellente à la justification près par contre. En effet, tu dit quel a dérivée est de la forme F'(x)=u'*v + u*v' ce qui n'est pas faux en soit mais cela manque un tout petit peu de rigueur.

En effet, F'(x) est un nombre alors que u, v, u' et v' sont des fonctions. Tu as donc écrit qu'un nombre était égale à une fonction ce qui est tout de même rarement le cas. Donc soit tu marque F'=u'*v+u*v' soit tu considères l'image de x pour toutes les fonctions c'est à dire F'(x)=u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x). C'est juste une question de cohérence entre les objets car je pense qu'il ne te viendrait pas à l'idée de comparer des chevaux avec des vaches or ici vulgairement c'est un peu ce que tu avais écrit en quelque sorte.

Sinon, une autre légère erreur c'est la définition de u et v. En effet, tu a donc écrit que F'=u'*v+u*v' c'est à dire que tu considère que F=u*v. Le soucis c'est que dans l'expression de F il y a la constante multiplicative 5 qui apparaît alors que dans l'expression de u(x) et v(x) elle n'apparaît plus. Le truc serait donc de l'écrire dans l'expression la plus simple c'est à dire par exemple de poser u(x)=5*(x-2 et ainsi, on n'en parle plus et elle nous gêne pas dans la dérivation ni dans la cohérence de ce qu'on a écrit.

Pour la question 1)b), la démarche est excellente. En effet, le but est de trouver le signe de la dérivée dans un premier temps puis d'en déduire les variation de la fonction. Donc soit on fait un tableau de signe soit on explicite le signe de chacun des termes séparément comme tu l'as fait.

Par contre, tu as oublié de répondre à la question:

Citation :

et en déduire les variations de f.

En effet, tu as donner le signe de la dérivée mais tu n'as pas écrit le lien avec les variations de F.


Pour la question 2)a), je vais chipoter encore un peut car la démarche est juste mais les rédaction est bancale à un endroit:

Citation :

donc 5 et e-0.4x sont strictement possitifs.

Soit c'est un "Or" soit c'est un "dont" mais le fait que F(x) est un produit de facteur n'entraîne pas que 5 est strictement positif.
Sinon, le produit de facteur nulle entraîne que l'un des facteurs est nul est bon et le résultat est donc excellent.

Pour la question 2)b), un tableau de signe aurait pu synthétiser les choses aussi mais vu que sur les trois facteurs deux sont déjà strictement positif, cela n'est peut-être pas utile en effet. Donc la conclusion est bonne. Par contre, vu qu'on a changé de question, rappelé la strict positivité des deux termes peut être appréciés.

Pour la 3)a) il s'agit donc de représenter la fonction dans un repère orthonormal qui s'appelle aussi un repère orthonormé c'est à dire que les axes sont perpendiculaire et quel 'unité sur les deux axes sont identiques (c'est pour cela que je préfère d'ailleurs le nom "orthonormé" car il y a la notion de norme=distance qui est plus lisible mais bon les deux désignent la même chose, il faut juste le savoir).

Pour la 3)b) vu que tu as le graphique en ta possession, il faudra laisser les tracer qui t'ont permis de conclure. D'ailleurs quelle démarche as-tu utilisée pour trouver la solution? Car je doute fort que la solution soit si exacte que cela tout de même (surtout vu la question d'après). De plus à cette question, on ne te demande pas la valeur de la solution mais combien il y a de solution à l'équation F(x)=1. Donc ici la valeur de x ne nous intéresse pas.

Pour la question 3)c), tu utilises le tableau de valeur de ta calculatrice (dans la partie "table") où tu vas chercher avec une précision de 0.1, les valeurs entre lesquelles il y a passage au-dessus de 1 à au-dessous de 1 de la fonction ce qui veut bien dire qu'on est passé par la valeur 1 entre les deux.

Est-ce que c'est plus claire ainsi? Nous verrons la suite de l'exercice lorsque nous aurons revu un peu tout ça.

Sinon, il ne sert à pas à grand chose de faire des multi messages, tu peux éditer pour compléter ce que tu as fait par exemple. C'est plus simple et ça donne un peu moins l'impression d'urgence par la même occasion .

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas clair ou comprise dans ce que je t'ai dit.

Merci pour votre aide,

bon maintement je bloque totalement sur la question 4)
je vois pas comment je pourrais faire!!

pouvez vous me donner quelque pistes!!!!!
merci d'avance

Jusqu'à la question 3), nous n'avons fait qu'étudier la fonction et utiliser le graphique de celle-ci pour répondre à quelque question ou faire quelques encadrements.

Maintenant, on nous dit que la fonction F va prendre comme élément de départ des tonnes de produit qui vont varier de 1 tonne à 101 tonnes de produit. Et on va symboliser les tonne de produit entre ses deux bornes par la lettre q (q comme quantité de produit ). Et l'image par la fonction F de la quantité q de produit est F(q) (ça c'est la définition de l'image d'un élément) et cette image représente l'exploitation en milliers d'euros. Il faut toujours faire un travail au brouillon pour mettre en évidence l'énoncer de façon mathématique. Par exemple, dansu n exercice de géométrie faire une figure sur le brouillon ou même sur la copie qu'elle soit demandée ou pas aidera à mieux comprendre les choses. Ici, en l'occurrence, on comprend mieux ce que représente F(q) lorsqu'on sait ce que représente q et ce que nous donne F dans le cas concret qu'on considère.

Maintenant, le but va être de comprendre le sens concret des questions et ensuite de mathématiser celles-ci (on parle aussi de modélisation d'une situation concrète ou de la mise en équation d'un problème).

Ici, pour la question a),

i) Qu'est-ce que cela signifie "être rentable" pour une entreprise?
ii) Comment modéliser la rentabilité à l'aide des élements mathématiques que nous avons c'est à dire q et F?
iii) Ensuite comment utiliser toute l'étude faite sur la fonction F pour pouvoir conclure?

C'est l'une des grande difficulté en mathématiques lorsqu'on part d'un problème concret c'est de retrouverl e langage mathématique pour pouvoir travailler dessus comme on en a l'habitude en quelque sorte. Mais avec de la méthode, on fini par avoir une démarche assez logique pour pouvoir palier à cette modélisation du problème.

Bon courage!