Fonctions exponentielles.

Bonjour!
Je viens de débuter le chapitre des Fonctions exponentielles et j'ai encore un peu de mal avec les applications directes.
Voici un énoncé..

Résoudre dans R les équations suivantes:
a) (e^x)³ = e^(x-1)
b) e^x = [√e^(x-1)]
c) [e^(-x) - 3] / [e^(-x) - 5] = 1/2
d) e^{(2x-1 / x-2)} - e = 0
e) e^6x - 4e^3x + 3 = 0
f) e^x + e^-x = 1
g) e^x + e^1-x = e + 1
h) 3e^-x = 4 - e^x

Et je ne sais pas trop comment m'y prendre pour résoudre tout ça...
Pourriez vous m'expliquez la démarche s'il vous plait ?

Bonsoir,

Nous allons utiliser une propriété simple de la fonction exponentielle et qui est qu'elle admet comme réciproque la fonction logarithme. Alors je ne sais pas si tu as déjà vu cette fonction là car si ce n'est pas le cas, j'aimerai savoir ce qui est considéré comme acquis ou comme démontré sur la fonction exponentielle pour pouvoir t'aider à partir de la base que tu as et non t'imposer une méthode.

D'ailleurs as-tu des idées pour la première équation par exemple? Pourrais-tu écrire cette équation d'une autre manière dans un premier temps c'est à dire en utilisant les propriétés initiales sur l'exponentielle à savoir l'exponentielle d'une addition est égale à la multiplication des exponentielles par exemple.

Bon courage!

Je n'ai pas du tout vu la fonction logarithme.
Ce sont juste de pur exercices d'application directe.
Voici ce que je proposerais, mais je ne suis pas sûr du tout...

a) (e^x)³ = e^(x-1) -> e^(3x) = e^(x-1) -> 3x = x - 1 -> 3x - x = -1 -> 2x = -1 -> x = -1/2.

Mais après pour le reste, je ne vois vraiment pas comment faire..
Le soucis, c'est qu'une fois que j'ai la réponse devant les yeux, je comprend très bien, mais quand il s'agit de chercher la réponse, je ne trouve pas, alors que la réponse après me semble vraiment logique...

Ok! Donc on t'as juste démontrer que lorsqu'il y a égalité entre deux exponentielles, on pouvait conclure qu'il y avais égalité entre les exposants ce qui suffit en effet et cela se démontre seulement en utilisant le fait qu'il existe un unique x tel que e^x=1 et ce x est égal à 0 et l'autre propriété utilisée est le fait que e^(a+b)=e^a*e^b.

Donc la réponse à la première équation est tout à fait juste en effet.

Donc l'idée est à chaque fois de revenir à l'égalité de deux exponentielles autant que faire se peut. Pour la deuxième équation, comme écrirais-tu autrement la racine carrée?

Pour la c) essaie de ne plus avoir de quotient car on n'aime pas de trop avoir des équations sur deux étages car c'est plus compliquer à visualiser.

Enfin, pour la d), est-ce que tu ne pourrais pas te ramener à l'égalité de deux exponentielles en te rappelant l'autre écriture de "e" qu'on connaît et qui pourrais nous aider ici.

Pour l'équation suivante c'est à dire la e), on change de méthode de résolution et on va aller vers un changemetn de variable pour résoudre l'équation. Nous verrons donc cela plus tard.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

Franchement, je suis persuadée que c'est très simple, mais malgré votre réponse, je n'arrive toujours pas à résoudre ces inégalités.

Pourtant, je sais très bien que:
aⁿ * a^m = a^n+m
(aⁿ)^m = a^n*m
aⁿ/a^m = a^n*m
aⁿ * bⁿ = (ab)ⁿ
a⁰ = 1
a¹ = a
1/aⁿ = a^-n
aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ

Bon tu connais toutes la théorie c'est bien mais à un moment il faut passer au concret et confronter celle-ci à des exercices pour les manipuler.

Ici, comment écrirais-tu autrement √a à l'aide d'une puissance vu que c'est la seule chose qu'on manipule bien avec les exponentielles.

Bon courage!

√a pourrait s'écrire (√a)² ?

(√a)² =a ce qui n'est pas égale à √a sauf si a=1 ou 0.

En fait, prendre la racine carrée d'un nombre cela rien aussi à prendre la puissance d'un nombre. Et cette puissance n'est pas un entier en l'occurrence.

Tu n'as jamais vu écrit quelque chose du genre: √a = a^alpha avec alpha ce que je cherche à te faire écrire en fait?

Sinon, tu peux faire plus simple après tout mais il serait tout de même intéressant de connaître la correspondance entre la racine carrée et les puissance car ça te sera utile. En effet, on sait que si deux réels positifs sont égaux alors leurs carrés sont égaux.

Bon courage!

Non, Je ne vois pas du tout à quoi pourrait correspondre alpha, je n'ai en faite jamais vu ceci..

Ok! Nous pouvons passer au carrée alors car l'exponentielle est toujours positive et donc il y a bien égalité de deux nombre positif. Nous pouvons donc regarder l'égalité entre leur carré.

Sinon, pour information du coup, la racine carrée d'un nombre est en fait égale à ça puissance 1/2. CEla est en fait assez cohérent avec la propriété d'élévation à la puissance 2 qui redonne le nombre initial c'est à dire la puissance 1 en quelque sorte.

Bon courage!

Pour la b), on peut transformer e^x = [√e^(x-1)] en e^x = (e^(x-1))^1/2
Mais, je ne trouve pas car les x s'annulent lors du calcul..
Et pour le reste, je ne trouve rien..

Bonsoir,

Alors en effet, on peut l'écrire comme une puissance 1/2. Mais je te rappelle qu'on ne peut rien déduire tant qu'on a pas l'égalité de deux exponentielle ce qui n'est pas encore le cas dans ton exemple. En effet, la partie de droite est encore une puissance d'exponentielle et non une exponentielle. Mais nous avons les moyens d'améliorer les choses car tu écrivais quelque chose d'intéressant plus haut comme par exemple ceci:

(aⁿ)^m = a^n*m

Pour la suite effectue le changement de variable suivant: X=e^-x pour te ramener à une équation en X que tu sais résoudre. Ensuite, il ne restera plus qu'à conclure en résolvant X=e^-x à l'aide des valeurs de X que tu auras trouvés.

Bon courage et n(h"dite pas à poser tes questions en tout cas!

Donc pour le b),
e^x = (e^x-1)^1/2 soit e^x = e^(x-1)/2 donc x - (x-1)/2 = (2x - x + 1)/2 = (x+1)/2 = x/2 + 1/2 soit -2/2 = -1

Pour la c),
[e^-x - 3] / [e^-x - 5] = 1/2 mais e^-x-5 différent de 0 soit e^-x différent de 5.
2(e^-x-3) = e^-x-5
2e^-x-6 = e^-x-5
2e^-x-6-e^-x+5 = 0
e^-x-1 = 0
e^-x = 1 mais je reste bloquée là..

Pour la d),
e^{[(2x-1)/[x-2)]} - e = 0 -> e^{[(2x-1)/[x-2)]} = e
Mais je reste aussi bloquée là...

Bonjour,

Je ne comprend pas le passage suivant:

Citation :

x/2 + 1/2 soit -2/2 = -1

Qu'est-ce qui est égal à -1 en fin de compte?

Pour la c), le raisonnement est tout à fait juste et la mise en place est bien effectuée. Ton soucis réside dans un non problème. En effet, tu arrives à résoudre l'équation suivante: e^-x = 1.

Que sais-tu de la fonction exponentielle à la base? Comment t'a-t-on défini l'exponentielle?

Pour la d), comment pourrais-tu écrire autrement le nombre e à l'aide d'une puissance?

Bon courage!