Exercice Maths Spé sur nombres premiers

C'est tout à fait ca!

Donc en conclusion il faut maintenant reprendre toute notre démarche pour cette dernière question et conclure que 1+x²ⁿ⁺¹ est premier si et seulement si x=1 sinon il n'est pas premier car 1+x²ⁿ⁺¹=S*(x+1) avec S un entier naturel non nul et différent de 1 et (x+1) aussi.


Est-ce que tu as compris la démarche ou ce n'est vraiment pas clair ?

Je pense avoir saisi mais, je me demande comment rédiger cela

Pour la rédaction, relis la démarche qu'on a eu (surtout les dernier messages) et essaie de proposer quelque chose de clair et de cohérent surtout.

1. Cette suite est une suite géométrique de raison q = -x

2. Somme suite géométrique :

S = u₀ * [(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)]
avec x différent de 1

avec u₀ = 1 et q = -x

S = 1 * [(1-(-x)²ⁿ⁺¹)/(1-(-x)] = (1-[(-1)²ⁿ⁺¹]*x²ⁿ⁺¹)/(1+x)= (1- (-1)*x²ⁿ⁺¹)/(1+x) = (1+x²ⁿ⁺¹)/(1+x)



3.

Citation :

S=(1+x2n+1)/(1+x) et ceci pour tout x

Donc 1+x2n+1 = S*(1+x)

Nous savons aussi que S est une somme d'entier relatif (dû au changement de signe), donc S est un entier relatif. Mais nous savons aussi que pour tout entier naturel x non nul, S=(1+x2n+1)/(1+x) >0.

S est un entier relatif et S>0 => S est un entier naturel non nul

Et enfin, on sait aussi que (x+1) est un entier naturel et (x+1)>1 car x est non nul


La conclusion actuelle est donc que 1+x2n+1 est égale à un produit d'entier non nul S et (x+1) et que (x+1) ne peut pas être égale à 1.

Maintenant, si on montre que 1+x n'est pas égale à 1+x2n+1, on aura bien montrer que (1+x2n+1)= p*q avec p et q des entier non nul et différent de 1.

Je pense qu'il faut que je cite ça mais, je ne sais pas sous quelle forme...

Citation :

S = u0 * [(1-q²ⁿ⁺¹)/(1-q)]
avec x q différent de 1

J'ai corrigé déjà ce passage là.

Sinon, ce que tu cites contient en effet tout ce qu'il faut dire en gros même si on peut faire mieux que ça niveau rédaction en donnant les cas générale où notre nombre n'est pas premier par exemple en justifiant les cas où c'est bien le cas. Et ensuite voir les cas particulier où il pourrait y avoir un doute par exemple.

Je te laisse me faire une première rédaction et je t'en proposerait une par la suite car le but reste que tu puisse rédiger cela toi-même dans un premier temps même si tu as des doutes, c'est pas grave, on corrigera la rédaction après. Mais déjà une rédaction comme tu le vois toi te permettra de voir là où le raisonnement bloque par exemple et donc d'affiner les explications.

Bon courage!

Où est ce passage?

3. Nous avons :

S=(1+x²ⁿ⁺¹)/(1+x) quelque soit x ( un entier naturel non nul).

Donc 1+x²ⁿ⁺¹ = S*(1+x)

On a calculé la somme S de la suite géométrique vue à la question 1 avec S un entier relatif (car il s'agit d'une somme d'entiers relatifs). Or, pour tout x entier naturel non nul :



Dernier point :
Nous savons aussi que (x+1) est un entier naturel avec (x+1)>1 car x est non nul.

Donc 1+x²ⁿ⁺¹ est égal à un produit d'entiers (naturels) non nul:
S et (x+1)
AVEC : (x+1) différent de 1.

Il suffit enfin de montrer que x + 1 différent de 1 + x²ⁿ⁺¹ pour montrer
que (1+x²ⁿ+1)= p*q avec p et q des entiers non nuls et différents de 1.

1 + x²ⁿ⁺¹= x+1
<=> x*(x²ⁿ -1) = 0
<=> x = 0 ou x²ⁿ = 1

Si x = 0 ou x = ?

Or x est non nul

Donc x²ⁿ = 1
xⁿ * xⁿ = 1

Or x est un entier naturel
Donc x=1 .

--> On a donc 1 + x²ⁿ⁺¹ premier si et seulement si x = 1 sinon, il ne l'est pas car on aurait :
1+x²ⁿ⁺¹=S*(x+1) avec S un entier naturel non nul et différent de 1 et également de (x+1) .

J'ai corrigé et amélioré en vert sur ton post.

Il n'y avais pas grand chose à dire en fait. Tu peux ajouter à la fin ne remarque que pour x=1, 1+1²ⁿ⁺¹=2 qui est bien premier .

Ceci conclut pour moi cette exercice à moins que tu es d'autres questions.

Merci pour ta patience!!