SECOND DEGRE

bonjour a tous
voila vendredi j'ai un controle de maths sur le second degre est il possible de m'expliquer le principe du second degre notamment les multiplication de signe merci

Bonsoir,

Alors qu'entends-tu par "multiplication de signe" et "second degré"? Tu parles des polynôme du second degré et de commetn déterminer son signe en fonctino de ses racines?

voila mon cours porte sur le second degre avec les polynome et les paraboles
il y'a un truck important c'est les multiplication de signe par exemple -7(-7)=63

Il fait peut-être un rappel sur les puissance en même temps genre:

(-a)² = [(-1)²]*(a²)=1*a²=a²

ce qui est différent de:

-a²=(-1)*a² par exemple.


Sinon, je vais rédiger quelque rappel sur les polynôme et leur courbe représentatrice dans la soirée, il n'y a pas de soucis.

Enfin, dans ton exemple (-7)*(-7)= (-1)*7*(-1)*7=[(-1)²]*7²=1*49=49

Rappels sur les polynôme du second degré

I) Dans un premier temps, il serait bon de rappeler ce qu'on appelle une fonction polynôme du second degré:

Soit 3 réels a,b et c tels que a soit non nul.

On appelle un polynôme du second degré, P, une fonction définie de R à valeur dans R par:

P(x)= a*x² + b*x + c

On l'appelle aussi "Trinôme du second degré" cela vient du fait qu'un polynôme du second degré est complètement déterminé après avoir fixé les trois constante a, b et c tout simplement.


II) L'expression canonique d'un polynôme du second degré:

Le mot expression canonique est un mot assez barbare pour cité la forme d'un polynôme à partir de laquelle, nous allons pouvoir déterminer si celui-ci admet des réels x tel que P(x)=0 ou pas.

Nous sommes toujours dans les mêmes conditions où a,b et c sont des réels et où a est supposé non nul.

A partir de là, nous allons essayer de factoriser P(x)= ax² + bx + c au maximum.

P(x)= a*[ x² + (b/a)x + c/a ] (j'ai le droit de factoriser par a car a est non nul par hypothèse)

On constate que x² + (b/a)*x est presque le développement de [x + b/(2a)]²= x² + 2*b/(2a)*x + b²/(4a²)

Donc si on veut factoriser un peu plus notre polynôme, il faudrait que j'ajoute b²/(4a²) mais je n'ai pas le droit de changer mon égalité pour autant. Nous allons donc ajouter 0= b²/(4a²) - b²/(4a²). Du coup, on a:

P(x)= a*[ x² + 2*b/(2a)*x + ( b²/(4a²) - b²/(4a²) ) + c/a] (j'ai ajouté 0 ce qui n'est pas interdit après tout ).

Donc P(x)= a*[ [x + b/(2a)]² - b²/(4a²) + c/a ]

Or - b²/(4a²) + c/a= -b²/(4a²) + (c*4a)/(4a²) Donc - b²/(4a²) + c/a= -[b² -4ac]/(4a²)

On en conclut donc que:



Et c'est cette expression qu'on appelle l'expression canonique du polynôme du second degré P.


On note Δ=b² -4ac et on l'appelle le discriminant du polynôme P.

Exemple:

P(x)= 2x² - 3x + 1 (on a ici a=2, b=-3 et c=1)

P(x)= 2*[ x² - (3/2)*x + 1/2 ]
P(x)= 2*[ x² - 2*(3/4)*x + ( (3/4)² - (3/4)² ) + 1/2 ]
P(x)= 2*[ (x - 3/4)² - 9/16 + 1/2]
P(x)= 2*[ (x - 3/4)² - (9 - 8)/16]

Donc P(x)= 2*[ (x - 3/4)² - 1/16)
On a donc ici Δ=1


Depuis déjà quelques années ce que tu sais factoriser ce sont les identités remarquables:

Citation :

a² + 2ab + b² = (a+b)²
a² - 2ab + b² = (a-b)²
a² - b² = (a-b)*(a+b)

Ici, on constate que notre polynôme est sous la forme: P(x)=a*[ A² - B ] avec A=x + b/(2a) et B= Δ/[(2a)²]
Donc si Δ est positif ou nul, on pourra dire que Δ= (√Δ)² et du coup: B sera égale à (√Δ/2a)² et on aura bien une différence de 2 carrées comme dans la troisième identité remarquable.

C'est pour celà qu'on cherche toujours le signe de Δ=b²-4ac lorsqu'on cherche à savoir si nous allons pouvoir factoriser P(x) en produit de deux facteurs. Si il est positif ou nul et bien c'est bon et sinon, il ne se factorisera pas.


Retour sur l'exemple:

P(x)= 2*[ (x - 3/4)² - 1/16)
On a donc ici Δ=1

On constate ici que Δ>0 et Δ=1=(√1)²

Donc P(x)= 2*[ (x - 3/4)² - (1/4)² )

On a donc une différence de deux carré, P(x)= 2*[ A² - C² ] avec A=x - 3/4 et C=1/4

Donc P(x)= 2*(A+C)*(A-C)

D'où P(x)= 2*[(x - 3/4) + 1/4]*[(x - 3/4) - 1/4]
Donc P(x)= 2*(x-1/2)*(x-1)


III) Racine(s) d'une polynôme du second degré et interprétation graphique

Nous avons donc défini le discriminant Δ d'un polynôme et nous avons vu que son signe jouait un rôle important dans la factorisation de celui-ci.

1) Quel est l'intérêt de factoriser P(x)?

a) Nous savons que si nous arrivons à écrire P(x)=C*D et bien nous saurons que P(x)=0 si et seulement si C=0 ou D=0 c'est donc tout l'intérêt de pouvoir factoriser le polynôme.

Les solutions de l'équation P(x)=0 s'appelle aussi les racines du polynôme P

b) Et graphiquement à quoi correspondent les solutions de l'équation P(x)=0 si elle existe?

Résoudre l'équation P(x)=0 revient en fait à chercher l'abscisse des points d'intersection de la courbe représentative de P et l'axe des abscisses. Cela permet donc de mieux situer la courbe représentative de P dans un repère orthonormé si nous voulons la tracer.


c) Calculons les solutions de cette équation P(x)=0 si elles existes:

On a vu que P(x) s'écrivait sous la forme P(x)=a*[ [x + b/(2a)]² - Δ/(4a²)] avec Δ=b²-4ac

Si Δ>0, alors on peut écrire Δ=(√Δ)² et il y a donc deux solutions à l'équation P(x)=0 qui sont:

x₁ = (-b -√Δ)/(2a) et x₂= (-b + √Δ)/(2a)

Si Δ=0, alors il y a une seule solution à l'équation P(x)=0 qu'on appelle racine double de P qui est:

x = -b/(2a)

Si Δ<0, alors on constate que P(x) est l'addition de deux nombre strictement positif ou strictement négatif (en fonction du signe de a).

Il n'y a donc pas de solution à l'équation P(x)=0

Retour sur l'exemple:

On constate que dans l'exemple que nous avons fait plus haut, nous avons deux solutions à l'équation P(x)=0 qui sont 1/2 et 1 vu qu'on avait P(x)=2*(x-1/2)*(x-1)

Maintenant que nous avons vu les points d'intersection de la courbe représentative de P avec l'axe des abscisses, avant de passer au tracer de cette courbe, il faudrait savoir si P admet un minimum ou un maximum ce qui nous permettrait de mettre un point remarquable en plus avant de tracer notre courbe.


b) P admet-il un minmum ou un maximum sur R?


La réponse est oui! En effet, d'après la forme canonique de P(x)= a*[ [x+b/(2a)]² - Δ/(4a²) ] que:

a et Δ/(4a²) ne dépendent que des paramètres de la définition de la fonction par conséquent P admet un minimum ou un maximum si et seulement si:

(x+ b/(2a))²=0 c'est à dire:

P admet un minimum ou un maximum si et seulement si x=-b/(2a)

Plus précisément:




Retour sur notre exemple:

P(x)= 2x² - 3x + 1

Donc a=2>0 et -b/(2a)= -(-3)/(2*2)=3/4

D'où P admet un minimum en x=3/4



2) Représentation graphique de P dans un repère orthonormé (O; i,j)

Maintenant que nous avons vu que P admettait un minimum ou un maximum et que nous savons aussi calculer les racines de P si elles existent, nous allons pouvoir parler concrètement de la courbe représentative de P.

a)Dans un premier temps, il faut savoir que la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré s'appelle une parabole. De plus, son minimum ou son maximum s'appelle le sommet de la parabole.

D'après ce qu'on a vu, on peut dire tout de suite que les coordonnées de S dans le repère orthonormé sont x_s=-b/(2a) et y_s= P[-b/(2a)] c'est à dire y_s=Δ/(4a).

Nous savons aussi que si a>0, alors S est le minimum de la parabole et si a<0, S est le maximum de la parabole


b) A partir de là, nous pouvons en déduire les propriétés suivantes:


Propriété sur les variations de la fonction P:

Citation :

Si a>0,

Alors P est décroissante sur ]-∞;-b/(2a)] et croissante sur [-b/(2a); +∞[

Citation :

Si a<0,

Alors P est croissante sur ]-∞;-b/(2a)] et décroissante sur [-b/(2a); +∞[

Propriété pour déterminer le signe de P(x):

Citation :

Si Δ<0,

Alors P(x) est du même signe que a c'est à dire que:

Si a>0, alors la parabole est totalement au-dessus de l'axe des abscisses ( c'est à dire P(x)>0 pour tout x)
Si a<0, alors la parabole est totalement en-dessous de l'axe des abscisses ( c'est à dire P(x)<0 pour tout x)

Citation :

Si Δ=0,

Alors P(x) est du même signe que a pour tout x sauf pour x_s=-b/(2a) car P(x_s)=0 c'est à dire que:

Si a>0, alors la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses et admet un unique point d'intersection avec cet axe au point S ( c'est à dire P(x)>0 pour tout x différent de x_s)
Si a<0, alors la parabole est en-dessous de l'axe des abscisses et admet un unique point d'intersection avec cet axe au point S ( c'est à dire P(x)<0 pour tout x différent de x_s)

Citation :

Si Δ>0 c'est à dire que P admet deux racine x₁ et x₂ avec x₁<x₂,

Alors P(x) est du même signe que a pour tout x à l'extérieur des deux racines et du signe de -a pour x à l'intérieur des deux racines c'est à dire que:

Si a>0, P(x)>0 pour tout xЄ]-∞;x₁[È]x₂;+∞[ et P(x)<0 pour tout xЄ]x₁;x₂[
et c'est l'opposé si a<0

[b]Retour à l'exemple:

P(x)= 2x² - 3x + 1

Nous avons a=2>0
De plus, On a vu que Δ>0 et que P admettait deux racine x₁=1/2 et x₂=1

Donc P(x)>0 est positif pour tout xЄ]-∞;1/2[È]1;+∞[ et P(x)<0 pour tout xЄ]1/2;1[


Nous avons ici quasiment tout ce qu'il faut savoir sur les fonction polynôme du second degré (il ne manque que les dessins des paraboles dans chacuns des cas à la rigueur).

Maintenant, voyons si tu as compris:

Exercice:

Soit une fonction polynôme définie sur R par P(x)= 3x² - 3x + 6

1) Donner l'expression canonique de P
2) P admet-il des racines?
3) On considère un repère orthonormé (O;i,j), calculer les coordonnées du sommes S de la parabole représentative de P.
4) Résoudre sur R, P(x)>0

En espérant que ce cours est à la hauteur de tes espérances et qu'il répond à la plupart de tes interrogations actuelles. Si ce n'est pas le cas, nous verrons sur l'exercice ce qui pèche encore sur cette notion.

Bon courage!