Problème du second degré

Bonjour à vous chèr(e) maître Cuicui, j'ai besoin de vos conseils et de votre aide pour cet exercice

En voici l'énoncé :

"Au fond d'un canyon coule une rivière. Du bord du surplomb rocheux, on laisse tomber une pierre et on chronomètre le temps écoulé entre le lacher de la pierre et l'instant où on entend "plouf" dans la rivière : il s'écoule 4,5 secondes. L'objectif est de déterminer la profondeur p du canyon.
La distance parcourue par la pierre en fonction du temps est d=1/2*g*t² (on prendra g = 10m.s-²)
La distance parcourue par le son en fonction du temps est d=320t.

1) On appelle t1 le temps de la chute de la pierre. Ecrire une relation entre p et t1.
2) On appelle t2 le temps de remontée du son. Ecrire une relation entre p et t2.
3) Le temps total étant de 4,5 secondes, exprimer t2 en fonction de t1
4) Déduire de ces relations que T1 est solution de l'équation 5t²+320t-1440=0
5) Résoudre cette équation. En déduire t1 puis la profondeur p du canyon."


Et pour les relations, j'avoue avoir du mal sur ce coup là
Appart pour la 3), qui me parrait évidente que t2 = 4,5 - t1 mais les autres... J'ai encore du mal ^^"
Si vous pouviez m'éclairer de votre lanterne

Merci beaucoup d'avance

Bonjour,

Cette exercice est intéressant en soi car il fait le lien entre ce que tu vois en physique (la chute d'un corps dans un milieu sans considérer les frottements) ainsi que la partie mathématique. C'est ce qu'on appelle de la modélisation. En effet, on part d'une expérience plutôt simple et grâce au théorème de physique (ici le principe fondamentale de la dynamique) on en déduit des équations qu'on te donne ici. Et à partir de là, il s'agit d'étudier le modèle physique que nous avons sous les yeux pour trouver une solution et vérifier si le modèle est cohérent avec la solution aussi (qu'on ne trouve pa une valeur de la profondeur aberrante par exemple). Je trouve cette démarche très intéressante et cela donne un peu plus de concret (si cher aux élèves ) aux mathématiques. Pourquoi ne faisons-nous pas tout le temps des exercice comme celà? Pour deux raisons en fait:

- Il faut connaître la théorie mathématiques et savoir l'appliquer dans des cas simple avant de pouvoir se lancer dans ce genre d'exercice

- Certains domaines des mathématiques qui ont des applications concrètes demandent énormément de bagage physique ou mathématiques ce qui nous bloque à pouvoir vous les montrer tout simplement.

Sinon, pour en revenir à ton exercice. Je suis d'accord sur la troisième question le temps de chute plus le temps de remonter est bien égale au temps où on arrête le chronomètre c'est à dire 4.5 seconde.

Maintenant, il faudrait pouvoir avoir accès à des expressions de t1 et t2 en fonction de la profondeur p. Car le but est bien entendu de trouver cette profondeur p. C'est d'ailleurs ce que te demande donc les deux premières questions c'est à dire faire le lien entre t1 et p ainsi qu'entre t2 et p.

Cette exercice a une structure très logique en fait car intuitivement et c'est ce que tu as fait, on a d'abord accès à t1+t2=4.5s et ensuite, on se pose la question du lien qu'il peut y avoir entre t1 et p ainsi qu'entre t2 et p. Le but étant d'arriver à une équation en t1, t2 ou en p ou à un système d'équation qu'on va devoir résoudre pour trouver p.

Maintenant, il faut toujours se ramener à une démarche hypothético-déductive. C'est à dire qu'on commence par lister ce que nous donne l'énoncer puis ce qu'on a dans notre cours et enfin là où on souhaite aller.

Ce que nous dit l'énoncer:
- entre le moment où on lâche la pierre et le moment où on entend le "plouf", le temps est de 4.5 secondes
- p est la profondeur du canyon
- d_pierre=(1/2)*g*t² (distance parcourue par la pierre durant sa chute en fonction du temps)
- d_son=320*t (distance parcourue par le son en fonction du temps)


Il ne faut pas hésiter à mettre des indices aux valeurs qu'on manipule (au brouillon ou même sur une copie d'ailleurs) car le but c'est que tu puisse suivre tes idées ainsi que le lecteur qui vous lira puisse te suivre.

Y a-t-il du cours de mis en jeu ici? En fait non aucun cours à mettre en jeu sur ces deux premières questions mis à part:

- Savoir manipuler des expressions algébriques (expression contenant des paramètres et des chiffres)

Maintenant quelle est la première question?

- On note t1 le temps de chute de la pierre. Écrire une relation entre t1 et p.

La toute première question qu'on se pose c'est: Où intervient p dans les équations que nous avons vu que pour le moment p n'intervient nulle part?

Est-ce que la démarche utilisée te semble claire? Sinon, n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Bon courage!

Donc si j'étudie bien l'énoncé, la profondeur p est la distance parcourue par la pierre (à moins qu'elle aille plus bas mais là... ^^)
Or on a la distance que parcours la pierre en fonction du temps : d=1/2*g*t
On sait aussi que t1 est le temps que met la pierre pour arriver au fond de ce même canyon.
Or j'hésites entre deux équations :
- p = 1/2*g*t1²
- d = (1/2*g*t1²)/p

J'aurais plus tendance a pencher pour la première équation que la deuxième, elle me semble plus logique ^^'.

En suivant le même raisonnement, j'obtiendrais que la relation entre p et t2 serait p=320*t2

Suis-je sur la bonne voie ?

La logique est assez juste en effet.

Mais essaie d'utilise l'aspect concret des choses que tu manipules.

En effet, pour ta deuxième question, tu écris: d = (1/2*g*t1²)/p

Or d est un distance en m
Tandis que: 1/2 n'a pas d'unité, g est en m*s^-2 donc (1/2)*g est en m*s^-2. De plus, t1 est en s donc t1² est en s². Donc (1/2)*g*t1² est en m (car s^-2*s²=1). Et p est en m. Donc le membre de droite n'aurait pas d'unité !!!

En physique, lorsque le professeur passe son temps à dire "N'oubliez pas de regarder l'homogénéité de vos calculs" c'est à dire si les unités sont cohérentes. Et bien, il en est de même en mathématiques (et en biologie aussi ainsi qu'en science de l'ingénieur et autre sciences sociales lorsqu'on fait des statistiques ou des probabilités).

Donc ta deuxième formule n'était pas cohérente car non homogène au niveau des unités. Au contraire de ta première formule qui est cohérente dans le sens où la profondeur du canyon est bien égale à la distance parcoure par la pierre dans le temps t1 tout simplement.

La deuxième formule est cohérente quant à elle et tout à fait lorgique car le sens provenant du fond du canyon va bien parcourir la profondeur du canyon avant de te revenir à l'oreille et ceci en un temps t2.

Je te laisse donc continuer la suite de ton problème. D'une manière pratique, il est toujours coneiller au brouillon de répertorier les égalités que nous avons déduites les unes en dessous des autres car celà permet d'avoir une vision globale des éléments que nous avons en notre possession.

Bon courage!

J'avais déjà tout marquer sur un brouillon ^^'.
En revanche je ne comprends pas la question 4). Faut-il juste remplacer t par t1 (étant donné qu'il en est la solution) ou alors faut-t-il former, avec les égalités précedantes, une de la même forme de 5t²+320t-1440 ? Parce que dans ce cas là, je ne vois pas d'où vient le 1440...

Il ne faut jamais se focaliser sur le résultat mais sur la forme de celui-ci.

Ici, nous cherchons quoi exactement? On cherche une équation qu iest vérifié par t1.

Combien de relation avons-nous?
Quelles sont celles utilisant t1?

Avons-nous une équation vérifié par t1 avec les relations que nous connaissons?

A partir de là et seulement à partir de ce moment là, nous regarderons si l'équation que nous trouvons est bien celle qui est demander. En fait, pourquoi l'énoncer donne l'équation?

Seulement pour que celles et ceux qui ne la trouverons pas puissent faire la question d'après en l'utilisant de façon brute. Or le désavantage de donner cette équaion c'est qu'on a tendance à se focaliser sur celle-ci et donc à en oublier que si on utilise simplement un raisonnement logique à partir des données que nous avons, cette équation s'écrira d'elle même sans qu'on ait eu à la lire en fait.

Bon courage!

Nous avons en tout 5 relations
En équation comprenant t1 on en a 2 :
p=1/2*g*t1²
t1 + t2 = 4,5s.

Je viens de m'apercevoir que si p=320*t2, 320*t2=1/2*g*t1 ?? Puisque ces deux équations sont égales au même nombre.

Comme quoi avec une démarche méthodique celà avance toujours mieux et plus vite d'ailleurs .

En effet,nnous avons deux expressions possible pour exprimer p. En conséquence, ces deux expressions sont égales c'est un fait.

Du coup, on se retrouve avec deux expressions faisant intervenir t1 et t2. Et nous cherchons une expression en fonction de t1 seulement, je pense que nous sommes donc sur la bonne voie. Qu'en pnses-tu?

Cela paraît presque facile dès qu'on a trouvé la bonne démarche et c'est pour cela que je m'évertu ici bas et ne vous répondre quasiment que en matière de démarche et de raisonnement car c'est cela qui fera la différence entre la compréhension et la non compréhension des questions ou d'un exercice. C'est aussi grâce à cela que vous pourrez progresser sur le long terme en mathématiques et non avec une vieille idée reçut qui serait d'apprendre par coeurs toutes les méthodes de calculs et toutes les astuces. Il faut les comprendre et non les apprendre, je pense que la différence se fait dans cette état d'esprit là.

Du coup, est-ce que tu arrives à conclure maintenant?

Bon courage!

Possible qu'on soit sur la bonne voix
Seulement je n'arrive pas à me ramener a l'équation donnée dans l'énoncé
Pourriez vous me mettre sur la voie ? Je n'y arrive vraiment pas

Comment es-tu parti à partir du raisonnement que tu avais fait plus haut?

Quelle équation as-tu sous les yeux pour l'instant?

Bon courage!

Pour le moment, étant donné que p= 1/2*g*t1² = 320*t2, j'ai bien additionné les deux :
1/2*10*t1² = 5*t²
5t² + 320t =0

Mais je n'arrive pas à aller plus loin, car d'un côté je me suis dit que 320t est relié à t2 et non à t1. Et de l'autre, je ne trouve toujours pas ce 1 440

Mais c'est là que tu fais une erreur!

En effet, l'addition est égale à 2*p et non pas 0 d'une part. Et d'autre part, tu as laissé de côté les indices pour le temps alors que t1 n'est pas égale à t2 .

D'ailleurs, d'un point de vu purement logique, tu n'as pas encore utiliser une des trois relation ce qui semble donc louche, tu ne crois pas? .

Bon courage!

Pour les 3 relations je l'avoue, cela me parraissait bizarre.

En revanche je me permets de vous interrompre sur votre première phrase que j'ai du mal à comprendre "En effet, l'addition est égale à 2*p et non pas 0 d'une part. Et d'autre part, tu as laissé de côté les indices pour le temps alors que t1 n'est pas égale à t2 ."
Pourriez vous la réexpliquée s'il vous plaît ?

Pas de soucis! Reprenons.

Tu écrivais:

Citation :

Pour le moment, étant donné que p= 1/2*g*t1² = 320*t2, j'ai bien additionné les deux :

Si je fais l'addition de: 1/2*g*t1²=p et de 320*t2=p j'obtiens: 1/2*g*t1² + 320*t2= p + p =2*p

Est-ce que l'erreur est plus visible ainsi?

J'ai volontairement laisser les indices pour que tu puisse constater que les deux termes ne peuvent pas s'additionner de façon brute vu que t1 n'est pas égale à t2 comme nous l'avons vu à la question 3).

Est-ce que tout ceci te semble plus clair?

Je te laisse reprendre le raisonnement. Mais n'hésite pas à poser des questions si ce n'est toujours pas évident ce que je te raconte.

Bon courage!

Alors pour le 2*p, j'avais compris votre raisonnement, et aussi mon erreur.

Mais je peux exprimer t2 en fonction de t1, puisque t2 = 4,5 - t1.
Dans ce cas là, si je remplace t2 par 4,5 - t1, j'ai plus qu'une inconnue, ce qui facilite l'équation non ?

En effet, c'est tout à fait l'idée!

Alors qu'est-ce que cela nous donne en fin de compte?

Bon courage!

Donc on obtiens :
1/2*g*t1² + 320*(4,5-t1) = 2p
5*t1² + 1440 - 320*t1 = 2p
(Oh le voilà le 1440 ) Or je vais prendre 2*(320*(4,5-t1)) pour 2p
5*t1² + 1440 - 320*t1 = 2*(1440 - 320t1)
5*t1² + 1440 - 320*t1 = 2880 - 640t1 --> On met tout du même côté
5*t1² + 320*t1 - 1440 = 0

J'ai mon équation !!

A moins que j'ai mal fonctionner ??

C'est alambiqué car sans t'en apercevoir tu as ajouté quelque chose pour le soustraire ensuite .

Il suffisait simplement de partir de l'équation qu'on avait naturellement: 1/2*g*t1² = 320*t2

Ainsi, on constatait qu'il ne fallait pas additionner mais simplement sousstraire pour avoir l'égalité à 0 directement . Car ce que tu as fait en gros c'est (1/2)*g*t1² + p = 2p

Puis tu as exprimer p=320*t2 dans le premier membre puis dans le deuxième tu as pris aussi 2p=2*(320*t2) et enfin tu as soustrait ce qui revient bien à faire:

(1/2)*g*t1² - p =0 et de prendre p=320*t2

C'est pour la prochaine fois que tu sera face à ce genre de raisonnement que tu ne fasses pas deux fois les calculs ça serait dommage . On aime bien ne mathématiques minimiser les calculs à faire pour éviter d'avoir des erreurs de calculs justement.

En tout cas tu as abouti au bon résutlat sans erreur de clacul. Et par la même occasion, tu as vu apparaître naturellement le 1440 sans pour autnat chercher à l'avoir à tout prix.

Bon courage pour la dernière question!

Merci beaucoup pour cette explication, en effet je n'avais pas penser au fait que je pouvais remplacer p par 320*t2. J'aurais été beaucoup plus vite ^.^
Pour la dernière question, il sagit juste de résoudre une équation du 2nd degré, ce qui ne me présente aucune difficulté particulière.

Encore merci pour vos explications claires, qui m'ont permises de comprendre l'exercice .
Je trouve un temps t1 = 4,22s. Ce qui est cohérent jusque là ^.^
Ensuite je trouve une profondeur du canyon égale à 89m, ce qui me parrait tout à fait possible. Est-ce là les résultats à trouvés ? Ou me suis-je trompé ?

Il va falloir être cohérent sur la précision.

En effet, le chronomètre était précis à la dixième de second près c'est à dire 4.5s. Par conséquent, dans tes calculs tu ne pourras pas être précis à la centième de seconde près. C'est à dire qu'on ne peut pas pour être cohérent avec les données initiales être aussi précis que tu l'e en donnant 2 chiffres après la virgule. En effet, tu sais aussi que la gravitation g n'est pas tout à fait égale à 10m.s^-2, donc l'arrondis finiale au mettre près est quant à lui judicieux. Par contre, je te laisse reprendre un arrondi pmoins précis pour la valeur de t1.

Tu me diras sans doute que je chipote un peu ici. Cependant, notre problème est concret et à cause de cela ou plutôt grâce à cela, nous devons réfléchir un peu plus à ce qu'on manipule comme objet et à la précision des valeurs données part ceux-ci. C'est juste une question de rigueur tout simplement.

Bon courage pour la suite en tout cas!

Non non vous ne chipotez pas
Je suis en 1ère STLC, ce qui implique beaucoup de chimie, et donc beaucoup de vigilance aux chiffres significatifs. Mais en fin de journée, ça fatigue un peu entre les maths, la physique, la chimie... Le travail quoi ^.^
Donc je vais recitifier l'arrondi, aucun soucis. Merci de cette précision