problème équation du second degré

On considère un demi-cercle de diamètre AB et deux points M et N de ce demi-cercle tels que AMNB soit un trapèze. Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB) . on pose AH =h et AB = 2R
1/déterminer h pour que l'ont ait MN=2AM
2/Calculer dans ce cas AM

alors pour la première question : nous savons que AMB est rectangle donc AM²=AH.AB = 2Rh
si on considère H' projeté orthogonal de N sur (AB) alors HMNH' est un rectangle donc MN=HH' = 2R-2h
MN = 2AM eq à 4AM²= MN² eq à 4(R-h)²= 8Rh (R-h)² = 2Rh eq à R² - 4Rh + h² =0
alors ici je pense que cette expression est sous la forme de ax²+bx + c donc je prends x=h alors delta = (4R)²-4R² = 12R² donc
h' = 2R-R*sqrt(3) ou h" = 2R + R*sqrt(3)
or h< 2R alors h" ne convient pas
est ce que je l'ai réussi la première question ? si c'est juste est ce qu'il y a d'autres méthodes pour éviter l'ajout d'un point ?
pour le deuxième question je pense que c'est banal

Bonsoir,

Désolé du décalage dans le temps de la réponse.

Ta méthode m'a l'air tout à fait juste pour ma part. En revanche, j'ai un doute sur la distance HH'. En effet, pourquoi la distance BH'=AH=h ? Rien ne stipule que le trapèze soit isocèle de prime abord. Du coup, de mon point de vue, ça compliquerait légèrement le problème car BH' devra s'exprimé en fonction de AB, MN et AH pour conclure.

Par contre, je n'arrive pas à conclure la même égalité que toi pour AM², En effet, si AM²=AM.AM comment retrouves-tu l'égalité que tu proposes ?

Bon courage!

je pense que pour montrer que AMNB est isocèle on prend le centre du demi-cercle on le note O .. alors OMN est isocèle en O donc OMN = ONM ( angles ) or BON=ONM et OMN = MOA ( angles alternes-internes ) alors BON = MOA .. on montre alors que les triangles ONB et OMN sont isométriques et on conclut que NB = MA donc MNBA est un trapèze isocèle
pour AM ² je pense aussi que étant donnée que AMB et MHA sont des triangles semblables (memes angles ) alors AM/AH = AB/AM donc AM² = AB*AH n'est ce pas ???

Bonsoir,

Décidément, je manque de temps en ce moment.

Alors la démonstration est nickel pour démontrer que le trapèze est bien isocèle ce qui permet de bien conclure pour le calcul de MN.

Pour le calcul de AM², on peut passer par le fait que les triangles sont semblables où par le calcul du cosinus de l'angle MAH et l'angle MAB dans les deux triangles rectangles.

Du coup, la totalité est démontré pour la question 1). La question 2 est trivial normalement.

Dans tous les cas, il ne faut pas oublier d'aller au bout des démonstration lorsqu'on passe à l'écrit car seul ce qui est écrit comptera dans les épreuves.

Bon courage pour la suite!

Merci beaucoup, problème résolu.