Équation du troisième degré

Bonjour à tous !

Alors j'ai très bien compris les méthodes pour résoudre les équations du deuxième, troisième voire quatrième degré (et même cinquième ^^) mais j'ai trouvé une équation du troisième degré que je n'ai pas réussi à résoudre alors que j'ai essayé pleins de méthodes différentes : factorisation, changement de variable (il n'y en a pas), etc. J'ai réussi à démontrer grâce à la dérivée que l'équation admet une seule solution sur R et que cette solution est comprise dans [1;2].

Voici l'équation en question : 2x^3 - 3x^2 - 1 = 0

Elle m'a paru banale comme équation au début mais pourtant...

Merci d'avance !

Bonsoir et bienvenue parm i nous Natty !

Alors le 5ème degré n'est pas résolvable par radicaux comme l'ai le 2nd, le 3ème et le 4ème. Il n'y a donc pas de méthode prédéfinie pour résoudre directement une équation du 5ème degré à partir des coefficients de l'équation.

Mais en effet, il y a bien des méthodes de résolution par radicaux pour le 3ème et le 4ème degré. Je tiens à préciser d'ailleurs que seul la résolution d'équation du second degré en utilisant le discriminant est à savoir au programme de 1ère S.

Mais puisque la résolution d'équation du 3ème degré t'intéresse nous allons pouvoir aller un peu plus loin si tu veux.

Que savons-nous concrètement à partir du programme de 1ère?

Une équation de degré 3 admet au maximum 3 solutions réels.

Ici ta méthode a été d'effectuer la dérivation de notre polynôme et tu as trouvé à juste titre que d'après le tableau de variation de notre fonction celle-ci s'annulait seulement sur l'intervalle [1;+Infini[

Mais en procédant par une méthode dite de dichotomie, on arrive à raffiner ceci. En effet Si j'appelle notre polynôme P(x), on à P(1)<0 et P(2)>0, on peut donc conclure d'après le théorème des valeurs intermédiaire que notre fonction s'annule entre 1 et 2 comme tu l'as dit.

On pourrait encore raffiner en disant que P(3/2)=-1<0 et par conséquent la solution est entre 3/2 et 2.

Donc avec cette méthode, on sait d'une part qu'une solution réelle existe et qu'elle est unique t de plus, on est capable au fur et à mesure de l'approcher avec la précision qu'on veut.

Maintenant ta question serait: est-il possible d'avoir la solution exacte de cette équation?

La réponse serait oui en effet mais il va falloir travailler un peu plus pour se ramener au chose qu'on va savoir faire.

Déjà si je prendre deux x et y deux réels non nul tel que:

x+y=2 et xy=5

J'affirme que x et y sont solutions d'une équation du second degré. Connais-tu la méthode pour retrouver cette équation?

Nous avancerons petit à petit dans la résolution de notre équation du troisième degré à partir de plusieurs considérations de ce type là. Je tiens à redire que nous sommes totalement hors programme et que la question de la résolution ne vous sera jamais poser telle quelle sans question intermédiaire et ce sont les questions intermédiaires que nous allons reconstruire au fur et à mesure ici.

Bon courage!

Merci beaucoup pour ta réponse !

Tout d'abord, pour le degré 5 c'est solvable à notre niveau si par exemple on met x en facteur et la deuxième parenthèse est une équation bicarrée (avec changement de variable). Pareil pour le degré 3 ^^.
Et tu as dit que seule la résolution d'équations du second degré n'est à savoir en 1èreS mais notre prof nous as déjà donné du degré 3 et 4

Bon sinon pour l'équation que j'aimerais bien résoudre je sais qu'on nous la demandera pas mais c'est juste de la curiosité En fait elle était dans un exercice de dérivée et on devait juste prouver l'existence d'une solution unique mais j'ai voulu aller plus loin.

Donc pour revenir à ta question pour y aller étape par étape :

oui je sais retrouver l'équation. Puisque x et y sont solutions d'une équation du second degré (que l'on peut écrire ax² + bx +c), la somme x+y est égale au quotient -b/a et le produit xy est égal au quotient c/a.
Notons S la somme x+y et P le produit xy.

Donc x et y étant les solutions de l'équation, elle peut s'écrire x² - Sx + P=0

Soit : x² - 2x + 5 = 0

J'ai hâte d'attaquer la suite ^^ Merci d'avance.

Voilà quelqu'un qui a de la réserve sous le coude et une soif d'apprendre et de savoir. Ce sont des qualité très appréciable et un état d'esprit très apprécié dans le supérieur sache-le .

Alors pour en revenir au 3ème, 4ème et 5ème degré, puisqu'on va aller un peu plus loin que la normal, je vais me permettre d'aller au font des chose et si tu vois que je vais trop loin ou que tu décroche, tu m'arrêtes sans problème et j'expliciterai mes dires avec tes propres bases qui à première vue m'ont l'air solide sur e sujet donc autant en profiter.

Donc en effet les équation de degré supérieur à 2 sont tout à fait résolvable à partir du moment où on arrive à mettre en évidence une racine du polynôme considéré par exemple une équation de degré 6:

x⁶ + 2x³ + 1 =0 est tout à fait résolvable en 1ère car il s'agit en fait d'une équation du second degré en X=x³ (le procédé de changement de variable).

Tout comme x⁵+x²-x-1=0 où on constate rapidement que -1 et 1 sont solution et par conséquent, on peut factoriser sous la forme (x-1)(x+1)*Q(x)=0 avec Q(x) un polynôme de degré 3 par exemple.

Donc en fait, en première, on a le droit de vous faire résoudre des équation de degré supérieur à 2 à partir du moment où cela est faisable avec les moyen du bord c'est à dire mise en évidence de solution évidente ou changement de variable. Après, on est en droit de vous demander aussi l'unicité et l'existence d'une solution et un encadrement de celle-ci.

Mais au delà, ce n'est plus du ressort de la 1ère et aussi bizarre que cela puisse paraître ni de la Terminale S. En effet, en terminale, tu va voir que des équation qui n'admettaient pas de solution dans l'ensemble des réels va en admettre dans un ensemble plus gros qu'on appelle l'ensemble des complexes (noté C).


Alors après lorsqu'on parle de résolution par radicaux, on entend qu'on prend une équation avec des coefficient quelconque et à partir de là on va travailler sans connaître les solutions à l'avance. C'est à dire qu'on va travailler avec des équation du type ax³+bx²+cx+d=0 par exemple et une équation brut comme celle-ci n'est pas exigible à votre niveau même si avec un peu de volonté et de théorie cela est possible de vous la faire résoudre (ce qu'on va tenter de faire d'ailleurs ).

Le but d'une résolution par radicaux c'est de mettre en évidence une méthode pour trouver les solutions de façon systématique en utilisant les opérations de bases et les fonctions de bases. Et en fait, on apprend si on fait quelque recherche que les équation du 5ème degré ne sont pas résolvable de cette manière là. Il existe des résolutions de ces équations de façon elliptique si mes souvenirs sont bons mais pas de résolutions par radicaux. Et on démontre même que toutes les équations de degré supérieur ou égale à 5 ne sont pas résolvables par radicaux.

Nous pouvons donc résoudre par radicaux de manière assez travail les équations du premier degré, puis les équations du second degré en travaillant un peu plus et encore les équations du troisième degré si on a un peu de motivation et enfin les équation du quatrième degré et là, le travail est encore plus conséquent même si les démarche se ressemble un peu le bagage théorique s'alourdi au fur et à mesure qu'on avance.


Après ce "bref" discours sur les équations revenons à ta curiosité qui va être de résoudre une équation du troisième degré. Nous n'allons pas faire le cas générale car il te manquerait une partie théorique sur les complexes et encore ici j'espère ne pas tomber sur cette partie lors de notre résolutions sinon cela risque de compliquer notre tâche.

Alors déjà, tu connais donc la relation qu'il y a entre l'addition et la multiplication de racine et l'équation du second degré qui leur est associée ce qui va nous permettre d'avancer dans notre labeur. Mais avant cela, il va falloir nous mettre dans les conditions de l'utilisation de ceci. Alors nous avons sous les yeux l'équation suivante:

2*x³ - 3*x² - 1 = 0


La première chose qu'on va faire c'est de se ramener à la forme X³ + p*X + q=0.

Pour cela, tu connais le procédé de l 'expression canonique pour le second degré et bien ici c'est la même chose sauf qu'on va l'utiliser au degré 3. On va donc diviser tout par 2 pour avoir un polynôme à coefficient dominant égale à 1 (qu'on appelle aussi un polynôme unitaire) puis on va considéré le début de notre polynôme comme le début d'un cube et faire un changement de variable pour se ramener à ce qu'on veut.

Je te laisse réfléchir d'abord sur ceci et on verra comment on avancera par la suite en lien avec ma question de tout à l'heure bien entendu .

Bon courage!

Tout d'abord merci pour toutes ces explications ^^

Ensuite pour la fameuse équation, en divisant tout par 2 on obtient :

x^3 - 3/2*x² - 1/2 = 0

Je vois exactement où tu veux en venir et ce que tu veux que l'on fasse.
Donc l'expression générale d'un cube est-ce bien : (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a²b + 3ab² ?
Et si on se ramène à (x + a)^3 on a : x^3 + 3ax² + 3a²x + a^3

Donc ici on a, par identification, et comme début d'expression : 3a = -3/2 donc a = -1/2

On peut donc considérer l'expression cube : (x - 1/2)^3. Mais cela crée des coefficients qu'il faut enlever à savoir : 3/4x et -1/8

Donc l'équation 2x^3 - 3x² - 1 = 0 peut s'écrire :

(x - 1/2)^3 - 3/4x + 1/8 - 1/2 = 0

Donc : (x - 1/2)^3 - 3/4x - 3/8 = 0

Voila.

Donc, pour se ramener à une expression de la forme X3 + p*X + q=0 on remarque que X = x-1/2
Donc pour X = x - 1/2, il faut que aX = -3/4x + 3/8 donc a = - 3/4

On a donc X^3 - 3/4*X - 3/4 = 0 (avec X = x - 1/2)

Nickel !

On voit qu'à partir de là, nous sommes coincé car on ne sait pas à priori résoudre ce genre d'équation. Et bien, on va forcer la main du destin et disant la chose suivante:

On va supposer qu'il existe deux nombres (qui peuvent être complexe mais nous verrons à la fin si nous avons besoin de les considérer complexes ou seulement réels) u et v tel que z=u+v soit solution de notre équation réduite sous certaines conditions sur u et v:

Quelle relation doit-on avoir entre u³+v³ et q et entre u*v et p pour que z=u+v soit bel et bien solution de notre équation.

Indication: Trouver une équation tel que (u+v)³ + a*(u+v) + b=0 (avec a et b qui dépendent de u et v) et procéder par identification des termes avec l'équation réduite que nous avons.

Bon courage!

Lorsque que tu dis que z est la solution de l'équation réduite, c'est bien la solution de X^3 - 3/4*X - 3/4 = 0 (avec X = x - 1/2) ?? Donc en gros x - 1/2 = z = u + v ?

Alors c'est ça en effet mais on va essayer de faire les choses par étape.

C'est à dire qu'on va essayer de trouver une solution à l'équation X^3 - 3/4*X - 3/4 = 0 et après on reviendra à x par l'intermédiaire du changement de variable X=x-1/2.

Donc ici, l'idée c'est de se dire que sous certaine condition, on peut connaître une solution de cette équation sous la forme (u+v) avec u et v deux nombres complexes ou réels c'est pour cela que je rebatise l'équation en z au cas où la solution ne serait pas réelle mais bon ici elle va être réelle donc cela ne va pas poser de problème et on va même voir dans quelle cas tu va pouvoir avec ton bagage de 1ère S résoudre se genre d'équation pour le plaisir des yeux et ton plaisir personnel aussi bien entendu mais commençons déjà sur notre exemple.

à quoi est égale (u+v)³? Peut-être réécrire cette égalité sous la forme d'une équation du troisième degré en u+v à coefficient dépendant de u et v?

Ok donc :

(u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv*(u + v)

Donc pour la relation entre u^3+v^3 et q : u^3 + v^3 = 3/4
et pour la relation entre u*v et p : 3u*v = 3/4 donc u*v = 1/4

Donc on a l'équation : (u+v)^3 - 3/4(u + v) - 3/4 = 0

Donc a = -3/4 = - 3u*v
et b = -3/4 = - (u^3 + v^3)

Donc l'équation est : (u+v)^3 - 3u*v(u + v) - (u^3 + v^3) = 0

Je vois que la curiosité a été plus forte que l'attente .

Alors, attention aux erreurs de signes. (tu as corrigé celles-ci )

En effet, lorsqu'on passe tout à gauche, il y a des changement de signe qui se font et par conséquent, on se retrouve avec pour condition:

u³+v³=3/4
u*v=1/4


Donc pour le moment, on constate qu'on avance car on a presque une relation du type x+y=a et x*y=b et par conséquent nous sommes presque dans les conditions pour arriver à une équation du second degré.

Alors, on sait que notre addition de cube, on ne va pas pouvoir la changer. Donc le but est de se dire que u³ et v³ sont solutions d'une équation du second degré. Mais laquelle?

Effectivement la curiosité est trop forte ^^ j'ai préféré continuer
Et pour les erreurs de signe je les ai corrigé, comme tu l'a remarqué, avant que tu ne postes

Par contre, pour u3 et v3 solutions d'une équation du second degré je ne vois pas trop. Un indice ?

On a l'addition de u³ et v³.

Conclusion, pour avoir une équation du second degré où ils sont solutions, il nous manque la multiplication des deux et nous l'avons presque, non ?

Ho je suis bête !

donc u^3 + v^3 = 3/4
et u*v = 1/4 donc u3*v3 = 1/64

Donc l'équation est x² - 3/4x + 1/64 = 0

C'est exacte!!!!

Et maintenant, il nous reste à dérouler le tapis rouge .

En effet, nous avons une équation du second degré que nous savons résoudre et dont les solutions que nous allons trouver sont égales à u³ pour l'une et à v³ pour l'autre par construction même.

Et on pourra donc en déduire u et v (en prenant la racine cubique de nos deux solutions) puis z=u+v c'est à dire la solution de notre équation du 3ème degré réduite et enfin la solution finale grâce au changement de variable.

Puissante méthode et nous avons la chance que le discriminant de notre équation du second degré soit positif et la question que tu pourras te poser après avoir fini la résolution c'est:

Mais vu que tout est lié, a-t-il un moyen de savoir si nous allons trouver une solution réel à notre équation à partir des coefficients de l'équation réduite du troisième degré? Une sorte de discriminant pour le troisième degré en fait (c'est même plus qu'une sorte vu que ça s'appelle pareil en fait ).

Bon courage pour la finalisation déjà!

Héhé ! j'ai pas attendu que tu réponde pour le faire !

Sans réécrire tout ce que j'ai fait au brouillon, je trouve comme solution de 2x^3 - 3x² - 1 = 0 :

x = (racine cubique(3 + 2racine carré de 2) + racine cubique(3 - 2racine carré de 2) + 1) / 2

J'ai vérifié avec ma calculatrice et c'est bien cela !! Yess. C'est magnifique ^^

C'est tout à fait juste!

Et la solution est bien entre 3/2 et 2 comme nous pouvions le prévoir plus facilement que la solution exacte d'ailleurs.

Joli travail en tout cas.

Alors notre résolution est dite de Cardan même si il est loin d'être évident que ce soit lui qui l'est réellement découvert mais c'est son nom qui est tout de même resté avec le temps.

On constate qu'elle repose sur la possibilité que notre discriminant de notre équation du degré deux soit positif où nul. ET on peut mettre en évidence quand ça sera le cas en fonction de p et q ce qui permet de savoir avant même de commencé si nous allons pouvoir appliquer cette technique de résolution ou non.

Après il existe une autre technique lorsque notre équation du second degré n'admet pas de solution et cette fois la résolution on la doit à Bombelli mais ceci est nue autre histoire car la notion de complexe même si elle est assez intuitive ne doit pas être abordée par les équation du troisième degré mais par les équation du second degré ce qui a plus de sens tout de même.

En tout cas, ta persévérance est belle à voir et j'espère que tout ceci t'as plu car le principale est de se faire plaisir un minimum en mathématique .

Bon courage pour la suite!

Un énorme merci ! Oui je me suis fait plaisir. C'est beau à voir et à faire.

Je chercherai demain pour la "sorte de discriminant du troisième degré".

As-tu des liens à me filer où je puisse exploiter la technique que l'on vient d'utiliser pour généraliser tout cela ?

Merci encore !

Une recherche sur la méthode de Cardan te mènera vers ce que tu cherches en fait mais il y a un moyen de l'écrire toi même en laissant p et q au lieu des chiffres qu'on trouvait au fur et à mesure.

Voici un lien vers un pdf intéressant si tu veux creuser un peu plus mais attention la fin parle de la méthode de Bombelli qui n'est pas forcément a aborder comme cela mais après c'est toi qui verra. Si tu veux creuser au niveau de la résolution d'équation, regarde la résolution d'équation du second degré lorsque le discriminant est négatif, tu verras une approche plus sympathique des complexes sans trop t'en demander au niveau de la théorie.

http://www.mathforu.com/pdf/equations-troisieme-degre.pdf

Le lien n'est pas garanti sans faute bien entendu mais cela te redonnera la trame de résolution d'une équation du troisième degré. D'ailleurs, il te donnera les noms des deux autres personnes à qui ont attribue la mise en évidence de cette méthode de façon plus légitime que celle de Cardan mais bon les débat au sein des mathématiques pour savoir qui fait quoi lorsqu'on remonte dans les temps ancien sont toujours compliquer (lorsqu'on sait que Pythagore n'a rien écrit de sa vie, on voit le léger soucis ).

N'hésite pas à laisser un message sur le livre d'or, ça fait toujours plaisir après tout .

Bonne continuation et continue à prendre du plaisir à faire des mathématiques c'est quelque chose de non négligeable au niveau de leur compréhension et de leur apprentissage .

Merci encore en tout cas ! Tu as vraiment été génial !