Généralités sur l'étude de fonctions

Salut!
Me voici sur un autre sujet pour demander un autre coup de main ainsi qu'une vérification sur un exercice assez complet sur l'étude de fonction.


Soit f la fonction définie par f(x) = Racine[(x-1)(x+2)]

1. Démontrer que f est définie sur ]-Inf. ; -2] U[1 ; +Inf.[
2. Etudier les variations de la fonction f sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[ (pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
3. Etudier la dérivabilité de f en +1.
4. Même question en -2 (attention, avec -2 +h, h est négatif)
5. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définitions (4 limites).
6. Pour un nombre h supérieur à 3/2, f (-1/2 +h) = f (-1/2 -h). En déduire que a courbe de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x = -1/2.
7. Montrer que la droite d'équation y = x+ 1/2 est asymptote à la courbe en + Inf.
(Calculer la différence entre f(x) et (x + 1/2), quantité conjuguée, réduction et factorisation par x).
8. Déterminer une droite asymptote à la courbe en -Inf.
9. Faire un graphique précis avec des unités adaptées.


Voici mes réponses :

1) Racine(x) est toujours positive donc x toujours positif.
--> Ici, le résultat dans les parenthèses doit au pire aire 0 ou, le produit des 2 parenthèses doit donner un nombre positif donc soit les 2 parenthèses sont positives ou négatives.

x - 1 ≥ 0
x ≥ 1

----

x + 2 ≥ 0
x ≥ -2

--> Si x compris sur ]-2 ; 1[, une seule parenthèse sera négative donc, le produit des 2 sera négatif donc, sachant qu'un nombre négatif n'a pas de racine carrée, f(x) ne sera pas définie! Tous les nombres fonctionnent donc comme valeur de x sauf ceux situés sur l'intervalle ]-2 ; 1[.
Donc, l'ensemble de définitions de f(x) sera :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :

-->
avec :
DONC :
u'(x) = v'(x)w(x) + v(x)w'(x)
avec :
-->

[On aurait aussi pu développer (x-1)(x+2) ce qui donne x² + x -2 dont la dérivée est bel et bien 2x+1 --> Nous retombons donc sur nos pattes]

DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts? Car s'ils ne l'étaient pas, f(x) aurait pour valeur 0 entre -2 et 1 ce qui serait faux : entre -2 et 1 exclus, il n'y a pas de courbe.


3) Dérivabilité en 1 :


->Lim_h-->0 [f(1 + h) - f(1)] / h
= Lim_h-->0 [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
= Lim_h-->0 [Racine(3h)]/h
= Lim_h-->0 Racine(3h)

Après, je ne sais pas ce qu'il faut faire pour prouver la dérivabilité...


4) Dérivabilité en -2 :

->Lim_h-->0 [f(-2+h) - f(-2)] / h
= Lim_h-->0 [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine(0 - 3h + 0 + h²) - Racine(0)]
= Lim_h-->0 [hRacine(-3h) -0] / h
= Lim_h-->0 [hRacine(-3h)] / h
= Lim_h-->0 Racine(-3h)
avec h négatif!

Même chose qu'à la question précédente...


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = -Inf.
Donc : Lim_x-->-Inf. Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = 0
[Pas cohérent avec la courbe...]


Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0


6) Ici, f (-1/2 + h) et, f (-1/2 + h) sont sous la forme : f(x+h) ou f(x-h)
ET :
f (-1/2 + 3/2) = f(2/2) = f(1) = 0
f (-1/2 - 3/2) = f(-4/2) = f(-2) = 0

--> Les formes f(x+h) et f(x-h) font penser à une fonction paire et f(-1/2 + 3/2) et f(-1/2 - 3/2) le prouvent donc, qui dit paire dit symétrie axiale par rapport à un axe vertical.
----> Reste à trouver la position de l'axe sur l'intervalle [-2 ; 1] : il suffit de prendre le centre de cet intervalle soit :
(-2 + 1) / 2 = -1/2
--------> Donc f(x) est symétrique par rapport à la droite d'équation x = -1/2

7. Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= Racine[(x-1)(x+2)] - x - 1/2

Or, on me dit de d'abord faire la différence ci-dessus avant la quantité conjuguée mais, comment faire?


Voilà donc pour cet exercice!
Merci d'avance!

Bonsoir!

Exercice intéressant pour faire un petit bilan sur les études de fonction en effet.

Alors la règle d'or c'est : "tout ce qui est simple s'énonce clairement". A partir de là, la rédaction de ta première question est juste mais beaucoup trop fouilli. On comprend très bien que tu as bien compris le problème et ce qu'il fallait faire mais il faut en venir à l'essentielle du problème et de façon clair avec une phrase simple:

"La fonction racine carrée est définie sur R₊".

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul. (Le problème est donc une résolution d'une inéquation tout simplement).

Et ici pour trouver le signe, il y a un moyen classique qui réside dans un tableau de signe tout simplement. Mais n'oublie pas ton programme de 1ère S sur les polynôme du second degré et ici c'est vraiment pratique! Un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur de ses racines et sachant que les racines de celui-ci sont -2 et 1, la réponse est donc rapide et vraiment très claire.

Il faut savoir un truc simple au niveau de la correction d'une copie que ce soit pour un devoir ou pour le bac, le correcteur se fera une opinion de toi sur les 2-3 premières questions. Car elles sont le plus souvent "facile" ou plutôt "aplication de cours direct" donc il faut vraiment être précis pour ce genre de question et sortir les arguments du cours précis pour éviter de ce noyer dans des explications qui ne sont pas attendu et surtout qui entraîne plus de confusion qu'autre chose.


Pour la question 2), je te conseille de répondre directement entre parenthèse pour éviter et celà montrera que tu as compris ton cours aussi. On c'est que la fonctino racine carrée est u'/racine(u) comme tu l'a si bien dit. Mais poru écrire celà, il faut ABSOLUMENT que u(x) soit différent de 0 !!! En effet diviser par 0 c'est vraiment pas top .

Ce qui est explique qu'on ne doit pas prendre en compte les point d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts. (ce qui répond à la question entre parenthèse et te permet aussi en 2 ligne d'avoir montrer que tu n'effectuais pas des calculs sans les comprendre en passant).

Après, la dérivée est juste et la façon de la trouver aussi. Pour le tableau de signe, tu devrais dire que la racine est positive avant et comme celà tu pourrais directement dire que "F'(x) est du même signe que 2x-1" ce qui donne le tableau de signe qui suit. Ensuite le tableau de variation de F est juste aussi.


Alors opur le moment, on savait d'après la théorie que F était forméent dérivable sur les intervalles ouverts. Mais la question qu'on va se poser est de savoir si notre fonctino est dérivable en 1 puis en -2. Ce qui nous permettrait de conclure que notre fonction est bien dérivable sur les intervalles fermés.

Bon maintenant, qu'on sait ce qu'on veut comment y arriver? ET bien ta démarche est tout à fait juste! On calcule le taux d'accroissement en 1. Par contre je ne te conseille pas du tout d'écrire ça:

Limh-->0 [f(x+h) - f(x)] / h = f'(x)

Car ça c'est vraiment si et seulement si la limite du taux d'accroissement existe ce qui est loin d'être toujours le cas! Donc t'écrit juste::

f(1+h) - f(1)] / h = ... et tu commence tes calculs. Dans le but d'en prendre la limite quand h tend vers 0 mais seulement à la fin. Il faut éviter d'écrire lim=...=lim=lim=... car si la limite n'existe pas et bien tu écris quelque chose de faux sur 5-6 lignes, cela fait mauvaise impression. Et en écrivant la limite, tu aurais tendance à croire que cette limite existe mais si c'est pas le cas à la fin et bien tu ne seras pas conclure ce qui est gênant.


Après au niveau des calculs:

Citation :

=Racine(3h + h²) / h]
=Racine(3h)]/h

Attention à l'erruer classique Racine(a+b) N'est PAS égale à Racine(a) + Racine(b). Le passage entre les deux ligne n'existe pas. Ici, c'est une forme indéterminée "0/0", il faut levé l'indétermination pour pouvoir trouver la limité.

Même remarque pour la question suivante.


Question 5)

Citation :

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = -Inf.
Donc : Lim_x-->-Inf. Racine(x) = 0

Alors deux lignes deux erreurs là. Je vais te préparer un cours sur les limites car il y a un problème de compréhension j'ai l'impression.

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

La fonction racine carrée n'est pas définie sur les réels négatifs, comment veux-tu qu'il y avait une limite en -Inf? Il faut être cohérent au niveau des réponses tout de même surtout lorsque tu as donnée la propriété de la positivité de la racine carrée en première ligne de ton devoir.

Les trois limites suivante sont bonnes par contre. C'était pour tester mes nerfs la première c'est ça? .

Citation :

6. Pour un nombre h supérieur à 3/2, f (-1/2 +h) = f (-1/2 -h). En déduire que a courbe de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x = -1/2.

Pour celle-ci ton raisonnement se tient mais essayons "d'être sur" à la place d'avoir "des ressemblence avec" et poru se faire on va même avoir l'axe de symétrie directement.

Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.


Ici l'astuce est de construire cette fameuse fonction paire pour appliquer directement le théorème sur les fonction paire.


Pourl a question suivante, tu as déjà calculer les différence en fait, il faut appliquer la quantité conjugué maintenant. L'indication n'est pas clair mais elle permet à certain élève de poser la différence entre les deux ce qui n'est pas forcméent évident pour beaucoup (pour qui la notion d'asymptote est jsute une notion pour embêter les élèves ).


Beau travail comme d'habitude, je chipote toujours autant sur la rédaction car je suis ne objectif bac ce qu iest normal et ce qui estp référalbe pour toi (autant prendre les bonne habitude dès le départ ).

Bon courage!

J'avoue que pour la réponse de la 1) : je me suis un peu emmêlé les pinceaux. Voici donc mes réponses :

1)

Citation :

La fonction racine carrée est définie sur R₊.

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.

Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.

Donc, la fonction f(x) sera définie sur :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.


3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
Ici, comme j'ai "quelquechose" sur h, je ne peux pas employer la technique de la quantité conjuguée... Je n'ai pas le droit de faire sortir le h² de la racine ce qui ferait h et de simplier ainsi au numérateur et au dénominateur par h?


4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
--> Même chose que ci-dessus...


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = +Inf.
J'ai du mal avec cette limite.....


Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0


6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.


7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= Racine[(x-1)(x+2)] - x - 1/2

J'applique la technique de la quantité conjuguée sur toute l'expression?

Merci pour ta réponse en tout cas

Bonsoir,

Citation :

Je n'ai pas le droit de faire sortir le h² de la racine ce qui ferait h et de simplier ainsi au numérateur et au dénominateur par h?

Tout l'idée réside là en effet !!! En mettant h² en facteur dans la racine, on peut sortir un h ce qui va nous permettre de lever l'indétermination.

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Comment s'en souvenir ou le retrouver si on s'en souvient plus? Et bien c'est simple, c'est une indétermination du type "Inf-Inf" et on lève l'indétermination ne mettant le terme de plus haut degré en facteur et ainsi qu'on retrouve notre propriété sur les fonction polynôme citée ci-dessus.

Citation :

= Racine[(x-1)(x+2)] - x - 1/2

J'applique la technique de la quantité conjuguée sur toute l'expression?

A ta place je laisserai l'expression: Racine[(x-1)(x+2)] - (x+1/2) car ainsi écrit tu vois tout de suite la forme A-B et donc la quantité conjuguée est visible tu premier coup d'oeil.

Bon courage pour la suite!

J'avoue que pour la réponse de la 1) : je me suis un peu emmêlé les pinceaux. Voici donc mes réponses :

1)

Citation :

La fonction racine carrée est définie sur R₊.

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.

Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.

Donc, la fonction f(x) sera définie sur :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.


3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= hRacine(3h) / h
= Lim_h-->0 Racine(3h) = 0
Je dois conclure?


4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= hRacine(-3h) / h
= Lim_h-->0 Racine(-3h) = 0
Même question que ci-dessus...


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = +Inf.



Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0

6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.


7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= [[Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (x + 1/2)²
= (x-1)(x+2) - (x+1/2)(x+1/2)
= x² + x -2 - [ x² + x + 1/4]
= x² + x - 2 -x² - x - 1/4
= -2 -1/4
= -8/4 - 1/4
= -7/4

[Ca semble foireux on me demande une factorisation par x...]

Bonjour,

Citation :

= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= hRacine(3h) / h

Attention!! Factoriser par h² sous la racine revient à factoriser 3h+h² par h². Et ce n'est pas ce que tu as fait.


Même remarque pour la suivante.


Pour la question avec la quantité conjugué, n'oublie pas d'écrire le dénominateur . Pour ta remarque sur la factorisation par x, en effet, on trouve le résultat sans cette factorisation ce qui n'est pas plus mal après tout. Ce n'est pas parce que la méthode employé n'est peut-être pas la même que celle que prévoyait l'énoncer que celle-ci est fausse après tout car le but est d'arriver au résultat par un raisonnement logique cohérent ce qui est le cas après tout.

Bon courage pour la finalisation de ces 3 questions.

J'avoue que pour la réponse de la 1) : je me suis un peu emmêlé les pinceaux. Voici donc mes réponses :

1)

Citation :

La fonction racine carrée est définie sur R₊.

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.

Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.

Donc, la fonction f(x) sera définie sur :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.


3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 + 3h/h²)] / h
= Racine(1+(3h/h²))
Et là, je cherche la limite en 0?


4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 - 3h/h²)] / h
= Racine(1-(3h/h²))
Même remarque que c--dessus.


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = +Inf.



Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0

6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.


7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= [[Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (x + 1/2)² / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= (x-1)(x+2) - (x+1/2)(x+1/2) / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [x² + x -2 - [ x² + x + 1/4]] / / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= x² + x - 2 -x² - x - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -2 -1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -8/4 - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -7/4/ [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]

C'est bon?

Citation :

= Racine(1+(3h/h²))
Et là, je cherche la limite en 0?

C'est tout à fait ça! Et même chose pour la limite suivante.


Sinon,

Citation :

-7/4/ [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]

Ceci est bien juste, il ne reste plus qu'à cacluler la limite de cette expression là en espérant trouver 0 pour conclure que notre droite est bien asymptote à la courbe.

Bon courage!

1)

Citation :

La fonction racine carrée est définie sur R₊.

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.

Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.

Donc, la fonction f(x) sera définie sur :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.


3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 + 3h/h²)] / h
= Racine(1+(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1+(3h/h²)) = +Infini

4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 - 3h/h²)] / h
= Racine(1-(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1-(3h/h²)) = 0


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = +Inf.



Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0

6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.


7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= [[Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (x + 1/2)² / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= (x-1)(x+2) - (x+1/2)(x+1/2) / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [x² + x -2 - [ x² + x + 1/4]] / / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= x² + x - 2 -x² - x - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -2 -1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -8/4 - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -7/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
Je dois chercher la limite en +Infini de l'expression trouvée :

Lim_x-->+Inf. -7/4 = +Inf.

Bonsoir,

Citation :

lim_x-->0 Racine(1+(3h/h²)) = +Infini

C'est ok. On trouve donc quel e taux d'accroissement en 1 à pour limite l'infini, qu'en déduit-on sur la dérivabilité de la fonction f en 1 ?

Citation :

lim_x-->0 Racine(1-(3h/h²)) = 0

Ici, on tend vers 0 par valeur négative (h est négatif te précise ton énoncer). Il y a donc une erreur dans ta limite.

Lorsque tu auras rectifié cette erreur, il faudra déduire si la fonction est dérivable en -2 ou non.

Citation :

Lim_x-->+Inf. -7/4 = +Inf.

Cette limite est fausse car la limite d'une constante est égale à la constante. Mais ici ce n'est pas le limite de -7/4 qui nous intéresse. En effet, nous voulons calculer les limites à l'infini de f(x) - (x + 1/2) qui est égale à:

= -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] (c'est -9/4 car -8-1=-9, légère erreur sans conséquence sur la limite)


Bon courage!

1)

Citation :

La fonction racine carrée est définie sur R₊.

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.

Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.

Donc, la fonction f(x) sera définie sur :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.


3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 + 3h/h²)] / h
= Racine(1+(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1+(3h/h²)) = +Infini

Citation :

qu'en déduit-on sur la dérivabilité de la fonction f en 1 ?

Euh... f est bien dérivable en 1??? Là,je ne sais pas...

4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 - 3h/h²)] / h
= Racine(1-(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1-(3h/h²)) = -Infini


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = +Inf.



Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0

6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.


7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= [[Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (x + 1/2)² / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= (x-1)(x+2) - (x+1/2)(x+1/2) / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [x² + x -2 - [ x² + x + 1/4]] / / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= x² + x - 2 -x² - x - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -2 -1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -8/4 - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
Je dois chercher la limite en +Infini de l'expression trouvée :

Lim_x-->+Inf. -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] = 0 [car type "1/Infini"]
Désolé, je voulais écrire toute l'expression....

Citation :

Euh... f est bien dérivable en 1??? Là,je ne sais pas...

Rappel:
Une fonction est dérivable en a si et seulement si le taux d'accroissement en a admet une limite finie

Conclusion?

Citation :

lim_x-->0 Racine(1-(3h/h²)) = -Infini

Incohérence du résultat! En effet, une racine carrée n'est jamais négative, comment admettrait-elle une limite de -Infini?

Ici h tend vers 0^- de -3h/h²=-3/h tend vers? Donc notre limite est de ? Conclusion notre fonction est-elle dérivable en -2?

Citation :

Lim_x-->+Inf. -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] = 0 [car type "1/Infini"]

La limite est juste, conclusion la droite d'équation y=x+1/2 est?


Pour la question suivante, il va falloir utilise le fait que notre fonction admette un axe de symétrie pour trouver l'équation de l'asymptote en moins l'infini.

1)

Citation :

La fonction racine carrée est définie sur R₊.

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.

Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.

Donc, la fonction f(x) sera définie sur :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.


3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 + 3h/h²)] / h
= Racine(1+(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1+(3h/h²)) = +Infini
La fonction n'est donc pas dérivable en 1 car elle n'admet pas de limite finie en 1.

4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 - 3h/h²)] / h
= Racine(1-(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1-(3h/h²)) = +Infini
La fonction n'est donc pas dérivable en -2 car elle n'admet pas de limite finie en -2.


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = +Inf.



Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0

6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.



7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= [[Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (x + 1/2)² / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= (x-1)(x+2) - (x+1/2)(x+1/2) / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [x² + x -2 - [ x² + x + 1/4]] / / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= x² + x - 2 -x² - x - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -2 -1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -8/4 - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
Je dois chercher la limite en +Infini de l'expression trouvée :

Lim_x-->+Inf. -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] = 0 [car type "1/Infini"]
Donc, la droite d'équation y= x + 1/2 est bel et bien asymptote à la courbe de f en + Infini.

8) On a vu à la question 6 que la courbe de f était symétrique par rapport à la droite d'équation x = -1/2
ET
On vient de prouver que y = x + 1/2 était asymptote à la courbe en + Infini
DONC :
Logiquement, la droite d'équation y = -x - 1/2 est asymptote à la courbe de f en -Infini.
C'est bon comme ça où alors je dois reprendre la même démarche qu'à la question précédente?

Bonjour,

Les limites de tes taux d'accroissement sont justes et la conclusion est bonne. (Rq: ne pas oublier le lien entre dérivabilité et taux d'accroissement)

Pour la question 8),

Citation :

Logiquement, la droite d'équation y = -x - 1/2 est asymptote à la courbe de f en -Infini.
C'est bon comme ça où alors je dois reprendre la même démarche qu'à la question précédente?

La réponse est juste!! Par contre, il va falloir refaire le calcul pour bien montrer que la différence entre F(x) et l'équation que tu mets en évidence tend bien vers 0 lorsque x tend vers -Inf. Il s'agit exactement de la même méthode sauf que certain signe vont changer ce que va te permettre de conclure.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

1)

Citation :

La fonction racine carrée est définie sur R₊.

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.

Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.

Donc, la fonction f(x) sera définie sur :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.


3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 + 3h/h²)] / h
= Racine(1+(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1+(3h/h²)) = +Infini
La fonction n'est donc pas dérivable en 1 car elle n'admet pas de limite finie en 1.

4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 - 3h/h²)] / h
= Racine(1-(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1-(3h/h²)) = +Infini
La fonction n'est donc pas dérivable en -2 car elle n'admet pas de limite finie en -2.


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = +Inf.



Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0

6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.



7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= [[Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (x + 1/2)² / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= (x-1)(x+2) - (x+1/2)(x+1/2) / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [x² + x -2 - [ x² + x + 1/4]] / / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= x² + x - 2 -x² - x - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -2 -1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -8/4 - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
Je dois chercher la limite en +Infini de l'expression trouvée :

Lim_x-->+Inf. -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] = 0 [car type "1/Infini"]
Donc, la droite d'équation y= x + 1/2 est bel et bien asymptote à la courbe de f en + Infini.

8) On a vu à la question 6 que la courbe de f était symétrique par rapport à la droite d'équation x = -1/2
ET
On vient de prouver que y = x + 1/2 était asymptote à la courbe en + Infini
DONC :
Logiquement, la droite d'équation y = -x - 1/2 est asymptote à la courbe de f en -Infini.
Je vais tout de même le démontrer :

Je dois calculer f(x) - (-x -1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (-x -1/2)
= [Racine[(x-1)(x+2)] - (-x -1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]] / [1 * Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (-x - 1/2)²] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [(x-1)(x+2) - [(-x - 1/2)(-x - 1/2)]] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [x² + 2x - x -2 - (x² + 1/2x + 1/2x + 1/4)] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [x² + 2x - x - 2 - x² -x -1/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
=[-8/4 - 1/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
=[-9/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]

[On trouve le même numérateur??]

Je dois ici chercher la limite en -Infini de l'expression trouvée :
lim_x-->-Inf. [Racine[(x-1)(x+2)] = 0
lim_x-->-Inf. (-x -1/2) = -Inf.
DONC :
lim_x-->-Inf. [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)] = -Inf.
DONC :
lim_x-->-Inf. [-9/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)] = 0 car ici aussi on a une expression de type "1/Inf."

On trouve en effet le même dénominateur.

Par contre:

Citation :

Je dois ici chercher la limite en -Infini de l'expression trouvée :
lim_x-->-Inf. [Racine[(x-1)(x+2)] = 0
lim_x-->-Inf. (-x -1/2) = -Inf.
DONC :
lim_x-->-Inf. [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)] = -Inf.

Deux calculs de limites et deux erreurs! Vitesse et précipitation ne font pas bon ménage est justesse et efficacité.

- La première limite est la limite d'une fonction composée sachant que la limite d'un polynôme est égale à la limite du terme de plus haut degré

- La deuxième limite est une limite d'un polynôme, donc c'est égale à la limite de sont terme de plus haut degré qui est "-x" ici.

NE PAS oublier qu'on prend la limite quand x tend vers moins l'infinie ici!

1)

Citation :

La fonction racine carrée est définie sur R₊.

Donc F est définie sur l'ensemble sur lequel (x-1)(x+2) est positif ou nul.

Or, (x+1)(x+2) est la forme factorisée d'un trinôme du second degré dont les racines se déduisent facilement : Ici, -1 et -2 sont racines de ce polynôme.

Donc, la fonction f(x) sera définie sur :



2) Variations sur ]-Inf. ; -2[ U ]1 ; +Inf.[ :
Je dois calculer la dérivée de f(x) :
f' = u' / 2Racine(u) ---> Avec u(x) différent de 0!
avec :
u(x) = (x-1)(x+2) = x² + x -2
Donc : u'(x) = 2x + 1
DONC :


Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) sur ]-Inf. ; -2[U]1 ; +Inf.[



car Racine[(x-1)(x+2)] positive donc 2Racine[(x-1)(x+2)] positif!

Je dresse donc le tableau de variations de f(x) :



--> f(x) est donc décroissante sur ]-Inf. ; -2[ et croissante sur ] 1 ; +Inf.[

Pourquoi les crochets sont-ils ouverts?
Car, la dérivée de f(x) s'écrit sous la forme u' / Racine(u) mais, il faut absolument que u soit différent de 0 car, il est impossible de diviser par 0!
Ceci explique donc qu'on ne doit pas prendre en compte les points d'annulation de la fonction F qui sont -2 et 1. Donc pour appliquer la dérivation de la racine, il faut considérer les intervalles ouverts.


3)
->[f(1 + h) - f(1)] / h
= [Racine[(1+h-1)(1+h+2)] - Racine[(1-1)(1+2)]] / h
= [Racine[(0+h)(3+h)] - Racine[0 *3]] / h
= [Racine[0 + 0 + 3h + h²] - 0] / h
= Lim_h-->0 [Racine(3h + h²) / h]
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 + 3h/h²)] / h
= Racine(1+(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1+(3h/h²)) = +Infini
La fonction n'est donc pas dérivable en 1 car elle n'admet pas de limite finie en 1.

4) Dérivabilité en -2 :
->[f(-2+h) - f(-2)] / h
= [Racine[(-2 + h - 1)(-2 + h + 2)] - Racine[(-2-1)(-2+2)]] / h
= [Racine[(-3 + h)(0 + h)] - Racine[-3 * 0]] / h
= [Racine[0 -3h + 0 +h²] - Racine[0]] / h
= Lim_h-->0 [Racine[h² - 3h]] / h
On a ici une indétermination de type"0/0" --> Je dois donc lever cette indétermination!
= Racine[h²(1 - 3h/h²)] / h
= Racine(1-(3h/h²))
Là, je cherche la limite en 0 de l'expression ci-dessus :
lim_x-->0 Racine(1-(3h/h²)) = +Infini
La fonction n'est donc pas dérivable en -2 car elle n'admet pas de limite finie en -2.


5) F(x) = Racine[(x-1)(x+2)] = Racine(x² + x -2)
Il n'y a pas l'air d'y avoir d'indétermination donc, j'emploie la limite d'une fonction composée :

Citation :

La limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus au degré.

Lim_x-->-Inf. x² + x - 2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->-Inf. f(x) = +Inf.



Lim_x-->+Inf. x² + x -2 = +Inf.
Donc : Lim_x-->+Inf. Racine(x) = +Inf.
DONC : Lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf.


Lim_x-->-2 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->-2 f(x) = 0


Lim_x-->1 x² + x - 2 = 0
Donc : Lim_x-->0 Racine(x) = 0
DONC : Lim_x-->1 f(x) = 0

6) Je me permet ici de reprendre ta démarche qui est c'est vrai plus précise que la mienne :
Je définis pour tout x dans ]-Inf, -3/2]U[3/2, +Inf[, la fonction G(x)=F(-1/2 +x), G est bien définie car -1/2+h>-1/2+3/2>1 et F est défini sur l'intervalle [1, +Inf[ et de même, -1/2+h<-1/2-3/2=-2 et F est définie sur ]-Inf, -2].

L'union des deux intervalle est bien symétrique par rapport à 0. (1ère condition pour savoir si une fonction est paire ou impaire)
Ensuite, l'énnoncer précise que pour tout h<3/2, F(-1/2+h)=F(-1/2-h) c'est à dire qu'on a pour tout h>3/2, G(x)=G(-x)

Donc G est paire et donc la courbe de G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (X=0). Or G(x)=F(-1/2+x) <=> G(x+1/2)=F(-1/2+x+1/2)=F(x)

Donc la courbe de la fonction F admet un axe de symétrie pour x+1/2=0 => x=-1/2.



7)Je dois calculer f(x) - (x + 1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)
= [[Racine[(x-1)(x+2)] - (x + 1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (x + 1/2)² / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= (x-1)(x+2) - (x+1/2)(x+1/2) / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= [x² + x -2 - [ x² + x + 1/4]] / / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= x² + x - 2 -x² - x - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -2 -1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -8/4 - 1/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
= -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]]
Je dois chercher la limite en +Infini de l'expression trouvée :

Lim_x-->+Inf. -9/4 / [1 * [Racine[(x-1)(x+2)] + (x + 1/2)]] = 0 [car type "1/Infini"]
Donc, la droite d'équation y= x + 1/2 est bel et bien asymptote à la courbe de f en + Infini.

8) On a vu à la question 6 que la courbe de f était symétrique par rapport à la droite d'équation x = -1/2
ET
On vient de prouver que y = x + 1/2 était asymptote à la courbe en + Infini
DONC :
Logiquement, la droite d'équation y = -x - 1/2 est asymptote à la courbe de f en -Infini.
Je vais tout de même le démontrer :

Je dois calculer f(x) - (-x -1/2) :
->Racine[(x-1)(x+2)] - (-x -1/2)
= [Racine[(x-1)(x+2)] - (-x -1/2)] * [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]] / [1 * Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [Racine[(x-1)(x+2)]]² - (-x - 1/2)²] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [(x-1)(x+2) - [(-x - 1/2)(-x - 1/2)]] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [x² + 2x - x -2 - (x² + 1/2x + 1/2x + 1/4)] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
= [x² + 2x - x - 2 - x² -x -1/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
=[-8/4 - 1/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]
=[-9/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)]

Je dois chercher la limite en -Infini de cette expression :

Lim_x-->-Inf.x² + x - 2 = +Infini
Lim_x-->+Inf. Racine(X) = +Infini
Jusque là normalement limite de fonction composée c'est ok.
Lim_{x--> - Inf} (-x -1/2) = +Infini

DONC :
Lim_x-->-Inf.[-9/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)] = 0
--> Type "1/Inf."

Citation :

Lim_x-->-Inf.x² + x - 2 = +Infini
Lim_x-->+Inf. Racine(X) = +Infini
Jusque là normalement limite de fonction composée c'est ok.
Lim_{x--> - Inf} (-x -1/2) = +Infini

DONC :
Lim_x-->-Inf.[-9/4] / [Racine[(x-1)(x+2)] + (-x -1/2)] = 0
--> Type "1/Inf."

Nickel chrome! Tu vois quand tu veux prendre le temps de poser les choses tranquillement ça passe mieux .

Cette exercice est donc terminé normalement.

Bon courage pour la suite!

Ah!
Ca m'a semblé moins laborieux que les précédents en tout cas .
Encore merci pour ton aide et tes remarques toujours aussi utiles!