généralités sur les fonctions

soit f l'application définie sur [0,1] vérifiant les propriétés suivantes :
*f(1)=1
**f(x)>=0 pour tout x de [0,1]
***pour tout x1,x2,x3 .... xn avec n appartient à N* et xn de [0,1]
tel que x1+x2+x3+...+xn=<1 on a f(x1+x2+x3+...+xn)>=f(x1)+f(x2)+..+f(xn)
1)montrer que f(0)=0
2)montrer que pour tout [1/2,1] f(x)=<2
3) on suppose que pour tout x de ]0;1/2[ il existe un entier naturel n tel que 1/2n =<x=<1/n
montrer que f(x)=<2
4) déduire que f est borné sur [0,1]

1) on a d'après *** f(0+0)>=f(0)+f(0)
f(0+0)>=2f(0)
or f(0+0)=f(0)
donc f(0)>=2f(0)
par suite f(0)=<0
or f(x)>=0 donc f(0)>=0
conclusion f(0)=0
2) soit x un réel de [1/2,1] on a f(1)=1 alors f(1-x+x)=1
or d'après *** f((1-x)+x)>=f(1-x)+f(x) alors 1>=f(1-x)+f(x)
et f(1-x)>=0 d'après **
alors 1>=f(x)
puisque 1/2=<x=<1 alors 1=<2x=<2
cad
f(x)=<2x=<2
3) j'ai pas trouvé la solution :/
4) c'est simple
aidez moi SVP

Bonsoir,

Les premières questions me paraissent justes après une relecture.

J'avoue avoir pas mal séché sur la question 3) mais peut-être une idée pour débloquer le problème:

F(n)=F(1+1+...+1)>=f(1)+f(1)+..+f(1)=n

Donc F(n)>=n

Mais je ne sais pas conclure pour l'instant.

Je continue de chercher mais si cela débloque des idées n'hésite pas.

tiens !
en écrivant f(nX)>=nf(x)
1/2n =<x=<1/n ==> alors 1/2=<nx=<1
d'après 2) est ce qu'on obtient nf(x)=<f(nX)=<2 ?
si oui
nf(x)=<2
alors f(x)=<2/n=<2

Excellent boulot !!

Je n'arrivais pas à me servir de la généralisation de ma formule car j'avais pas pensé à changer l'inégalité sur les x.

Comme quoi, je commence à rouiller sur les astuces de calculs à force de ne plus les pratiquer régulièrement (le soucis d'enseigner en collège en quelque sorte).

Bonne continuation!

merci un autre problème
soit g(x)=x^3/x²-1
a et b étant deux réels de ]-1,1[ comparer g(a) et g(b) tel que a<b
j'ai beau essayer de déterminer le signe de leur différence , mais ca va pas marcher
merci d'avance et bonne soirée

Bonjour,

Peut-être tenter de chercher vers le quotient. En effet, il y a deux moyens de comparer des quantités:

- Soit en cherchant le signe de la différence
- Soit en cherchant le signe du quotient avec 1.

D'après la notion de dérivation, ce que je peux dire pour le moment pour orienter les recherches est que la fonction est décroissante sur l'intervalle.

on a pas encore étudier la notion de dérivation :/