Exercice sur les dérivées.

Bonjour à tous

L'énoncé de l'exercice est le suivant : " La fonction carrée est-elle dérivable en 0? Interpretez graphiquement le résultat"

N'ayant pas trop compris le cours sur les dérivées , j'aimerai savoir si vous pourriez m'aider à commencer cette exercice.

Merci d'avance .

Bonjour et bienvenu parmi nous Pinguu,

La définition de la dérivation est la suivante:

Une fonction F est dérivable en a si et seulement si:

Lim_x->a [F(x)- F(a)]/ (x-a) existe et est finie. On appelle cette limite le nombre dérivée de la fonction F au point d'abscisse a et on le note F'(a).


Ici, le but est de savoir si la fonction racine carrée est dérivable en 0. Celà revient donc à chercher la limite lorsque x tend vers 0 de [√x - √0]/ (x-0)

c'est à dire qu'il faut calculer: Lim_x-->0 [√x - √0]/ (x-0)


Si la limite est finie alors la fonction sera dérivable en 0 et si elle n'est pas finie (ou si elle n'existe pas) alors elle ne sera pas dérivable en 0.

Est-ce que l'exercice est plus clair ainsi? As-tu des idées pour calculer cette limite?


Bon courage et n'hésite pas si quelque chose n'est pas claire à poser des questions!

Merci d'avoir répondu rapidemment

Citation :

Ici, le but est de savoir si la fonction racine carrée est dérivable en 0. Celà revient donc à chercher la limite lorsque x tend vers 0 de [√x - √0]/ (x-0)

c'est à dire qu'il faut calculer: Limx-->0 [√x - √0]/ (x-0)

Pour Lim x-->x0 [1]/[2√x0] Donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0

Dois-je dire autre chose pour résoudre ce problème?

Et comment pourrais-je interpreter géométriquement ce résultat ?

Bonjour,

1/(2*√x) c'est la dérivée de la fonction racine carrée sur l'ensemble ]0,+Infini[. Nous ne pouvons donc pas utiliser cette formule là pour résoudre notre problème de dérivation en 0 vu que cette fonction dérivée n'est pas définie en 0.

Pour ce genre de question, il faut absolument revenir à la définition de la dérivation via le taux d'accroissement.

Vu que ici la question se situe au niveau de la dérivabilité en 0. Il faut donc calculer la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction (√x)/x

Pour calculer cette limite, il faut multiplier ton expression par √x en haut et en bas (ce qui revient à multiplier par 1= (√x)/(√x) ).


En faisant ainsi, tu vas pouvoir savoir si l'expression admet une limite lorsque x tend vers 0. Et si la limite n'existe pas celà voudra dire que ta fonction n'est pas dérivable en 0, tout simplement.


Ensuite pour l'interprétation géométrique, que savons-nous du nombre dérivée en a d'une fonction?

C'est égale au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a.

En conclusion, si tu trouves une limite égale à l'infini celà signifiera que la tangente au point 0 aurait un coefficient directeur infini c'est à dire que la pente de ta droite serait verticale. Par conséquent celà, te dit que la tengante à l'origine est verticale pour la fonction racine carrée.

Est-ce que tu suis le raisonnement ou celà reste encore flou?

Lim (x-->x0) 1 / [2V(x0)]

Lim (x-->0) 1/ [2V0] = 1/0 = + l’infini

Donc la fonction carrée n’est pas dérivable en 0

Pour le graphique on met la fonction carrée , et la tangente est confondue avec l’axe des ordonnées

Est-ce sa? ^^" (merci encore de m'avoir aidé)

La fin est juste pour l'interprétation graphique.

Cependant la limite est toujours incohérente:

Citation :

Lim (x-->x0) 1 / [2V(x0)]

D'où sort le 1/(2√(x₀))? Sachant que cette expression de dépend pas de x, comment arrives-tu à faire tendre x vers x0?


Il faut faire attention à la cohérence de ce que tu écris dans un devoir. Car si on te demande: "Est-ce que la fonction F est dérivable en un point a", tu n'a pas le droit d'utiliser des formules toutes faites apprise par coeur (sauf si tu veux écrire quelque chose qui sera considéré comme faux ).

En effet, cette question implique, le raisonnement suivant:


lim_x-->a [F(x) - F(a)] / (x-a) existe-t-elle? C'est à dire que nous cherchons à savoir si cette limite est finie.


Donc ici que fais-tu pour résoudre la première partie de ton problème?

Bonjour , j'ai été intrigué par le sujet et j'aimerais essayer de le résoudre . Pouvez-vous me dire si c'est bon? ^^

limx-->a [F(x) - F(a)] / (x-a)

Donc rac(x) - rac(0) / x - 0 = rac(x) / x = 1 / rac(x)


Donc si on tend vers 0 , cela fait bien 1/0 et l'on obtient bien +infini .



Mon raisonnement est correcte? ^^

Bonsoir,

Le raisonnement est tout à fait correct et même très juste je dirai .

Et quelle est l'interprétation en terme de dérivation en 0 et en terme graphique pour la courbe? (Puisque tu as commencé autant aller jusqu'au bout du raisonnement après tout ).