Les dérivées.

Bonjour !
J'ai un exercice qui me pose un peu problème, j'ai besoin de votre aide.

Soit la fonction f définie par f(x) = (2x² - 3x + 2) / (x-1)

a) Quel est son ensemble de définition Df ?
b) Déterminer son sens de variation et dresser son tableau de variation.
c) Quelles sont les limites de la fonction aux bornes de Df ?
d) Déterminer 2 réels a, b et c tels que l'on ait f(x) = ax + b + c / (x-1).
e) Déterminer la position de la courbe Cf par rapport à la droite D d'équation y = 2x-1. Etudier la différence f(x)-y (avec la réponse de la quetion d)
f) Déterminer l'équation de la tangente Ta à la courbe au point A d'abscisse 2.
g) Y a t-il une autre tangente à la courbe parallèle à Ta ? Si oui, déterminer en quel point de la courbe et donner l'équation de cette nouvelle tangente.
h) Tracer la courbe et les tangentes dans un repère orthonormé (O, i, j).


Réponses :

a) L'ensemble de définition de Df est ] -infi ; 0 [ U ] 0 ; +infi [.
b) f'(x) = [ (2x - 3) (x-1) - 1 (2x² - 3x + 2) ] / (x-1)²
f'(x) = [ 2x² - 2x - 3x + 3 - 2x² - 3x + 2 ] / (x-1)²
f'(x) = (-8x + 5) / (x-1)²
Ensuite je sais qu'il faut calculer Delta (b² - 4ac) mais le résultat que j'ai trouvé est une fraction et je ne sais pas comment faire pour appliquer la formule de Delta afin de trouver les solutions et ensuite dresser le tableau de variation..
c) C'est une toute nouvelle leçon qu'on a commencé, et je ne sais pas trop comment m'y prendre..
d) Je ne sais pas du tout comment m'y prendre..
e) Je n'ai pas la réponse de la question d) pour répondre..
f) Si ma réponse à la question b) est bonne, ça devrait donner :
L'équation de Ta est y = f'(2) (x - 2) + f(2)
f(2) = [ 2 * (2)² - 3 * 2 + 2 ] / (2-1)
f(2) = 4
f'(2) = [ -8 * 2 + 5 ] / (2-1)²
f'(2) = -11
D'où y = -11 (x-2) + 4
y = -11x + 26.
Puis pour la question g) et h) j'ai d'abord besoin de savoir si mes résultats sont correcte avant de me lancer.


Merci d'avance, Emeline!

Bonjour,

La première question commence mal en fait. En effet, j'ai la vague impression, mais dis moi si je me trompe, que la fonction est définie en 0, non? Il s'agit peut-être d'une erreur de frappe .

Sinon, d'un point de vu générale, l'exercice s'avère être basé sur l'étude d'une fonction dans ses moindres détails. Par conséquent, les outils que nous allons utiliser sont les suivants:

- Dérivation
- Tableau de signe (pour déduire le sens de variation)
- Calcul de limite (connaître les limites de référence)

Et avec tout celà, tu peux dresser un tableau de variation complet. Ensuite qu'est-ce qu'il est intéressant de connaître sur une fonction? Et bien son comportement à l'infini, par exemple. En effet, c'est bien beau de savoir les limites mais c'est plus intéressant de savoir de quelle manière on tend vers cette limite et c'est la notion d'asymptote qui fait son apparition du coup et elle est liée à peu de chose:

- Définition d' "être asymptote"
- Calcul de limite

Et ensuite, nous pouvons aller plus loin en regardant localement comment se comporte la courbe représentant notre fonction. Et cette aspect locale est donnée par sa position par rapport aux asymptotes par exemple (local à l'infini) mais surtout par rapport au tangente à la courbe et pour se faire les notions abordées sont les suivantes:

- Connaître l'équation d'une tangente à une courbe
- Savoir résoudre des inégalités

Et dans notre cas précis, l'exercice va un peu plus loin en voulant tester tes connaissance sur la caractérisation des droites parallèles dans un repère.


Un sacré chantier mais en fait c'est toujours la même trame et la même démarche pour faire tout ça (il y a des avantage à bien avoir compris le raisonnement mathématique qu'il y a derrière ). Alors comment démarrer?

Et bien dans un premier temps avant même d'avoir fait quoi que se soit sur la fonction, il faut savoir sur quel domaine, nous allons travailler durant tout l'exercice. Et c'est pour celà qu'on commence par regarder l'ensemble de définition de la fonction ainsi que son ensemble de dérivation d'ailleurs (si celui-ci s'avère différent ce qui est rare sauf pour la fonction racine carrée par exemple).

Ensuite, comment aboutir au tableau de variation? Et bien, on se rappelle des définitions qu'on vu en second dans un premier temps (avant même de parler de dérivation, il faut mieux se remettre dans le contexte).

Citation :

Une fonction est croissante sur un intervalle I si pour tout a,b dans I tel que a≥b, on ait: F(a)≥F(b) (et inversement pour décroissante)

Mais on se souvient de l'année dernière, c'était une vraie galère, il fallait trouver des fonction de référence dont on connaissait déjà les variations puis les appliquer aux inégalités et ainsi de suite pour montrer la croissance ou la décroissance d'une fonction. Alors, on a eu marre et cette année, on a mis en place la dérivation de fonction.

Mais c'est quoi la dérivation? Et bien c'est la limite d'un taux d'accroissement. Heu, c'est bien beau tout ça mais le rapport avec les variation????? Aucun?? Non!!! Au contraire, un énorme rapport existe!!

En effet, qu'est-ce qu'un taux de variation? Et bien c'est simplement une fraction qui compare l'accroissement des images par rapport à l'accroissement des antécédent c'est à dire:

Je prend deux point dans I que j'appelle x et y par exemple, et j'appelle taux de variation l'objet suivant: [F(y)-F(x)]/[y-x] pour y différent de x.

Ce qui est bien le quotient de l'accroissement des ordonnées (images des points x et y) par l'accroissement des abscisses (la différence entre y et x).

Mais le rapport avec les variation alors??? Ok! Ça vient restons calme car c'est là que tout se joue. En effet, supposons que la fonction est croissante par exemple. Alors les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents c'est à dite que si j'ai y≥x alors j'aurai F(y)≥F(x). Mais du coup, j'observe que dans mon cas le quotient que j'ai mis en évidence est donc toujours positif!! C'est à dire:

[F(y)-F(x)]/[y-x]≥0 pour tout x,y si F est croissante.

donc en passant à la limite (je fais tendre y vers x) j'obtiens bien que Si F est croissante sur I alors F' est positive sur I.

Tu vas me dire que ce que tu utilises c'est en fait la réciproque c'est à dire qu'on cherche à déterminer le signe de F' sur un intervalle et on en déduit la croissance de F.

Bon pour démontrer celà, ce n'est p lus très compliqué lorsqu'on a compris le truc. En effet, suppose que F' est positive sur I et essayons de montrer que F est croissance sur I. Alors, nous avons par hypothèse:

Pour tout x dans I, Lim_y->x [F(y)-F(x)]/[y-x] ≥ 0

Et là par contre, je suis obligé de ne pas être rigoureux mais intuitivement, je pense que tu peux comprendre que si je prend une valeur de y assez proche de x et bien ma quantité va rester positive même si je ne suis pas à la limite. En quelque sorte je peux considérer une bande autour de x tel que [F(y)-F(x)]/[y-x] reste bien positive du moment que y est très proche de x et ceci pour tout x dans I.

Ainsi on a: Pour tout x dans I et y dans I tel que y proche de x, [F(y)-F(x)]/[y-x] ≥ 0 et ça c'est vraie si et seulement si le numérateur et le dénominateur ont le même signe. En effet, s'ils étaient de signe différent alors le quotient serait négatif ce qui est exclus ici vu qu'il est positif. Ainsi, on retrouve bien le fait que notre fonction est croissante sur la dérivée est positive.

En conclusion, tout ça pour dire que pour étudier les variation de notre fonction F il faut et il suffit d'étudier le signe de sa fonction dérivée F'. C'est pour celà qu'on calcule donc la dérivée ce que tu as très bien fait d'ailleurs.

Mais ensuite, on cherche le signe de la dérivée F' sur l'intervalle de dérivation qui est le même ici que l'ensemble de définition de F. On cherche donc l e signe de la fonction F' définie par F'(x) = (-8x + 5) / (x-1)²

Et quelle est le signe de cette quantité sur l'intervalle de définition? Il faut faire simple ici, le signe d'une fraction s'étudie en regardant le signe du numérateur et du dénominateur puis en faisant un tableau de signe si nécessaire.

nous verrons les limites par la suite alors mais essayons déjà de bien comprendre le début de l'étude d'une fonction c'est à dire: ensemble de définition, ensemble de dérivation, fonction dérivée puis signe de la dérivée et enfin tableau de variation sans les limites aux bornes de l'intervalle. Nous verrons les limites par la suite car c'est une autre histoire même si la notion de dérivation n'est pas autre chose qu'une notion de limite en fait.

J'espère que ceci sera plus clair ainsi mais n'hésite pas si tu as des questions sur les points abordés en tout cas.

Bon courage!

Excusez mes erreurs très stupides!
Je me corrige..

a) L'ensemble de définition de Df est R-{1}

b) f'(x) = [ (4x-3)(x-1)-(2x²-3x+2) ] / (x-1)²
f'(x)=(2x²-4x+1) / (x-1)²
Mais ensuite, Je ne sais pas ni comment calculer le discriminant avec une fraction ni comment trouver les racines pour ensuite dresser le tableau de signe et de variation..

c) Pour cette question, les limites c'est tout nouveau pour moi, et je ne sais vraiment pas comment m'y prendre, comment commencer, comment rédiger, ...



Merci de votre aide, Emeline!

.

Bonjour,

C'est excellent pour les deux premières questions!! En effet, le polynôme est du signe contraire du coefficient dominant, ici 2, entre les deux racines. Ceci nous permet donc de bien conclure vu que le dénominateur est positif sans aucun problème.

Maintenant passons aux limites au niveau des bornes de l'ensemble de définition. Commençons par exemple par les limites à l'infinie (et nous ferons le cas 1 après).

A partir de là, il faut connaître simplement deux choses:

Lim_x-->+∞ x^a=+∞ si a>0 (il s'agit de puissance positive de x donc le comportement à l'infini de la fonction x|-->x par exemple, on constate qu'on part bien que les ordonnées sont de plus en plus grande lorsqu'on prend des abscisses de plus en plus grande).

Lim_x-->+∞ x^a=0 si a<0 (pour la forme la plus connu c'est pour a=-1 c'est à dire: Lim_x-->+∞ 1/x=0, on constate bien que plus l'abscisse sera grande et plus l'ordonnée se rapprochera de 0 c'est ça la notion de limite à l'infini, il faut regarder le comportement des ordonnées pour des abscisses grandes)

De même, Lim_x-->-∞ x^a=+∞ si a<0

Et avec quelques fonction de référence, on arrive à faire un travaille plutôt correct. A la rigueur, il nous manque cette limite là:

Lim_x-->-∞ x^a=+∞ si a est pair (en effet, on le constate sur la fonction carrée par exemple, lorsque les abscisses tendent vers moins l 'infini, les ordonnées vont vers plus l'infini) ou Lim_x-->-∞ x^a=-∞ si a est impair (on le constate sur la fonction cube par exemple où plus les abscisses sont négatives et plus les ordonnées descendent dans les négatifs aussi).

A partir de là, le but est de toujours se ramener à ce qu'on sait calculer. En conséquence, on a des petit soucis pour calculer des limites dans certaines condition qu'on appelle "forme indéterminée". Il n'y en a pas beaucoup à connaître, les voici:

- On ne sait pas conclure si on a l'addition de deux limites infini opposée, c'est la forme: "∞-∞" (en effet si l'un devient très grand et l'autre très petit, pour l'addition, on ne peut pas savoir si ça sera 0 ou très grand ou très petit ou tout autre chose)
- On ne sait pas conclure si on a une fraction dont le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers l'infini, c'est la forme indéterminée: "∞/∞"
- On ne sait pas conclure lorsqu'on a une multiplication de deux membre dont l'un tend vers 0 et l'autre tend vers l'infini, c'est la forme: "0*∞"

Il y a encore un autre cas dont on ne peut rien dire mais tu ne le rencontrera pas encore, c'est la forme: 1^∞ (lorsqu'on a une puissance qui tend vers l'infini et l'objet sous la puissance tend vers 1 et bien on ne peut pas conclure non plus mais cette année, je ne pourrai pas te donner d'exemple que le sujet).

Et avec celà, on peut tout faire! Pourquoi? Car dans tous les autres cas les fonctions s'avère continue donc prendre la limite en un point fini s'avère simplement prendre l'imagine du point en question. Par exemple:

Soit G(x)=x²+1
Lim_x-->3 G(x)=G(3)=10 et cela est du au fait que la fonction G est continue au point 3.

Est-ce que c'est plus claire maintenant?

Donc comment calculer la limite d'une fonction en règle générale? Il faut savoir en fait qu'il y a plusieurs technique pour calculer les limites mais avant cela, il faut déjà connaître les règles de calcul de base sur les limites.

Le cas classique: (l'addition ou la soustraction, cela ne change rien)
Soit a et b, c trois réels quelconques,
On suppose que Lim_x-->a F(x)=b ; Lim_x-->a G(x)=c
Alors Lim_x-->a [ F(x)+G(x) ]=b+c (ceci est vrai car b et c sont supposés non égale à l'infini)

Le cas classique avec l'infini: (l'addition ou la soustraction cela ne change rien)
Soit a et b deux réels quelconques,
On suppose que Lim_x-->a F(x)=+∞ ; Lim_x-->a G(x)=b
Alors Lim_x-->a [ F(x)+G(x) ]=+∞ (="+∞+b") (ceci est vrai car b sont supposés non égale à moins l'infini)

La multiplication:
Soit a et b, c trois réels quelconques,
On suppose que Lim_x-->a F(x)=b ; Lim_x-->a G(x)=c
Alors Lim_x-->a [ F(x)*G(x) ]=b*c (ceci est vrai car b et c sont supposés non égale à l'infini)

La division:
Soit a et b, c trois réels quelconques, et on suppose c non nul et la fonction G ne s'annule par sur un intervalle autour de a (c'est à dire que pour tout x autour de a, G(x) est non nul sinon le quotient n'aurait pas de sens tout simplement).
On suppose que Lim_x-->a F(x)=b ; Lim_x-->a G(x)=c
Alors Lim_x-->a [ F(x)/G(x) ]=b/c (ceci est vrai car b et c sont supposés non égaux tous les deux à l'infini)

Et là tu as sensiblement tout les cas possibles. Est-ce que jusque là ça va?

Par conséquent, commençons ne douceur et quelle est donc la limite du numérateur en plus l'infini? Puis du dénominateur. Pouvons-nous conclure?

As-tu des idées pour débloquer la situation?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

.

C'est excellent !!

Tu me fais faire des rappels de cours pour le plaisir de me lire .

Sinon, une question peut-être, pourquoi lim_x-->+∞ F(x)= lim_x-->+∞ (2x²)/x ???

C'est en effet le cas mais est-ce que u sais le redémontrer si on te le demande. C'est une question qui est exigible en tout cas donc autant savoir comment faire au cas où et ne pas appliquer les choses totalement en routine. Le but étant de toujours comprendre ce qu'on fait pour éviter de le subir et donc de ne pas savoir l'appliquer dans des cas plus complexe.

Bon courage!

A présent, j'aurais besoin d'aide pour la d).

Comment m'y prendre ?

Mettre f(x) sous la forme ax + b + c / (x-1) ??
Ou alors par identification ?

Je sais pas du tout..

Citation :

Je sais pas du tout..

C'est pour la question que je te posais ou pour la question d)? .

Pour la question d), le plus simple reste l'identification bien entendu et en plus c'est la démarche la plus intuitive dans le sens où tu l'apliques de façon logique en remettant au même dénominateur tout simplement. Ensutie, il y a plus qu'à regarder l'égalité avec F(x) pour conclure. Derrière, il y a une propriété de la famille (1,x,x²) qui est utilisée, il faut ne avoir conscience car on travaille sur les coefficients devant chacun des termes de cette famille (le 1 étant les coefficients constants tout simplement) mais bon, expliquer à quoi cela correspond est bien trop complexe, donc o dit juste "par identification" pour justifier le passage ce qui est presque correct théoriquement parlant en fait .

Bon courage!

f(x) = [ (ax+b) (x-1) + c ] / (x-1)
f(x) = [ ax² - ax + bx - b + c ] / (x-1)

Par identification avec 2x² - 3x + 2, on trouve :

a=2 ; b=-1 et c=1.


??

C'est tout à fait exact.

Par contre, pour bien justifier les choses, il faut poser le système lorsqu'on résoud une identification. Le but étant de toujours bien montrer qu'on a compris les choses (et non recopier sur le voisin par exemple car un alignement d'égalité ainsi écrit fait cet effet là au correcteur même si la réponse est juste).

Bon courage pour la suite!

.

Bonsoir,

Les deux questions sont tout à fait exacte!

Alors en fait qu'est-ce qu'on a voulu te montrer à la question e)? Je vais faire une intrusion dans la fin des études de fonctions avec une notion que tu as peut-être pas encore vue et qui est la notion d'asymptote. En fait une asymptote à une courbe est une droite tout simplement. Et quelle est sa particularité à cette droite? Et bien les ordonnées se rapproche de plus en plus de celles de la courbes lorsque les abscisses se rapproche d'un réel a ou de l'infini. Comme tu le constates, il y a une notion de limite dans cette histoire.

Et la définition exacte est la suivante:

(D) d'équation y=ax+b est asymptote à la courbe (C) d'équation y=F(x) en +∞ si: Lim_x-->+∞ [ F(x)-(ax+b) ]=0

(Et la définition reste la même si à la place de +∞, je mets -∞ ou encore un réel a qui n'appartient pas à l'ensemble de définition de F)

Et on constate ici que la droite (D) est en fait asymptote à la courbe en +∞ et en -∞ vu que Lim_x-->+∞ 1/(x-1)=0 et Lim_x-->-∞ 1/(x-1)=0 tout simplement.

L'intérêt de connaître les asymptotes à l'infini? Et bien tout simplement pouvoir tracer la courbe (C) de façon plus précise car on sait qu'on se rapproche de plus en plus de cette droite et en plus on peut même déduire sa position relative. L'objectif qu'il faut avoir en tête c'est de pouvoir tracer l'allure de la courbe de façon la plus précise possible et pour cela nous disposons d'outils qui sont le tableau de variations ainsi que les limites et si on souhaite être encore plus précis et bien on donnera les asymptote et la position relative par rapport aux asymptotes.

C'est une notion qui ne sera pas abordée tout de suite mais après tout, tant qu'on y ait autant que tu en profites pour voir la notion car elle est facile à comprendre je pense et elle est liée à la notion de limite que tu commences à manipuler donc autant ne profiter .

Bon courage pour les dernières questions!

Pouviez vous m'aider pour la g) s'il vous plait ?
Je ne sais ni comment démarer, ni comment m'y prendre..

La première question qu'il faut se poser est la suivante:

- Qu'est-ce qui caractérise le parallélisme entre deux droites dans un repère orthonormé?

En effet, nous connaissons l'équation de la tangente en A c'est à dire qu'on connaît son coefficient directeur ainsi que l'ordonnée à l'origine de cette droite. donc si nous arrivons à connaître le lien qui existerait entre cette équation là et une droite qui serait parallèle, nous aurons déjà bien avancé.

Connais-tu justement ce qui permet juste en regardant deux équation de droite si elles sont parallèles ou pas?

Bon courage!

Et je trouve bien que la seconde tangente a pour équation y = x-2.

Merci beaucoup, j'essai de faire la dernière question et reviens vous voir en cas de problème ou pour vérifier..



Encore merci !!

Bonjour,

trois de tes messages a été effacé, est-ce une erreur de manipulation?. Je réécris donc l'équation de la tangente en A d'abscisse 2:

Ta: y=x+2

Et nous cherchions donc s'il existait une autre tangente à la courbe représentant la fonction F et étant parallèle à Ta.

Et tu proposes la droite d'équation y=x-2. La réponse est exacte mais écrite ici, tu ne risque pas d'avoir beaucoup de points vu qu'il n'y a aucune justifications pouvant permettre de savoir comment tu as trouver cette équation.

Alors pourquoi est-elle parallèle à Ta? Et ensuite pourquoi, il s'agit d'une tangente à la courbe représentant F (en quel point est-elle tangente)?

Bon courage!

J'ai fais tout ça sur mon brouillon:

Comme l'autre tangente est // à (Ta), elle a le même coefficient directeur; c'est à dire 1.
Or f'(x) = 1.
Je trouve alors que x=2 ou x=0.
Ensuite, j'ai calculé l'équation de la seconde tangente, qui est f'(0) (x-0) + f(0) ou encore x-2.

Voilà!



Voici mon nouveau problème: Pour la question h) : Je ne sais pas comment tracer une courbe sans l'aide de ma calculatrice graphique. Or pour cette courbe, c'est très compliqué avec la calculatrice. Pourriez vous m'expliquez comment faire à partir de la fonction ? Pareil pour les tangentes, je ne sais pas les tracer.



Pour la courbe, on connait sa variation grace au tableau de variation de la question b).





Merci d'avance..

Excellent pour la deuxième tangente !!

Pour la h), tu peux utiliser un tableau de valeur tout simplement (via ta calculatrice d'ailleurs) mais en fait tout l'exercice avait pour but de pouvoir connaître l'allure de cette courbe justement sans utiliser la calculatrice. Alors essayons de comprendre comment faire cela.

Dans un premier temps, on connaît l'ensemble de définition de la fonction. Ainsi, en 1, il y a ce qu'on appelle une asymptote verticale d'équation x=1 car de chaque côté de cette droite la fonction tend vers l'infini (plus ou moins l'infini pour être exact). donc dans un premier temps on peut tracer cette droite là ce qui nous permet de fixer les idées.

Ensuite, nous connaissons les variations de la fonction grâce à son tableau de variation en effet. Mais dans ce tableau ce qui est important c'est aussi et surtout les points où il y a changement de variations justement. Il faut donc commencer par placer ces points là pour pouvoir connaître en gros où va passer la courbe lorsqu'il va y avoir un changement de variation.

De plus, nous connaissons la position de la courbe par rapport à la droite d'équation y=2x-1. Nous pouvons donc tracer cette droite là et ainsi avec tout ses renseignement nous savons exactement où vont se situer les deux parties de notre courbe.

Enfin, nous connaissons deux tangentes particulières, celle en 2 et celle en 0. Nous pouvons donc tracer ses deux droite aussi car on sait que la courbe doit être tangente à ces deux droites et donc n'avoir quel e point de tangence en commun avec elles.

Et avec tout celà, nous pouvons tracer la courbe représentant notre fonction à main levée sans aucun problème. On ne te demande pas forcément d'être ultra précise mais l'exercice a été construit justement pour te donner toutes les informations nécessaires pour pouvoir avoir une allure de courbe plutôt correct même si ce n'est pas précis qu'une calculatrice, cela le sera assez pour montrer que tu as compris la démarche de l 'exercice et l'intérêt de chaque question surtout.

Est-ce que tu comprends mieux la démarche de l'exercice?

Bon courage!

ps: sans déconner c'est assez frustrant ces trois messages qui ont disparu car ils était excellent pour une partie à chaque fois et du coup, c'est dommage car nous perdons une information sur l'exercice et la démarche que tu as utilisé par rapport à ce que je te proposais.

Voici ce que ça me donne en vrai :

http://www.weplug.com/images_1/4e3b51c44283354031b30a1f31ae1f9820100218220726.jpg

C'est pas mal du tout ça .

Il manque juste la droite d'équatino y-2x-1 tout de même vu qu'on avait regardé la position de la courbe par rapport à cette droite. Par conséquent, il faut mieux la faire apparaître pour montrer justement la cohérence de ta réponse avecl e dessin justement.

C'est nickel en tout cas! N'hésite pas si tu souhaites revenir sur des parties qui poseraient problème pour la démarche ou le raisonnement utilisé.

Bon courage pour la suite!

Merci énormément pour votre aide tout au long de cet exercice !