Dérivées

Bonjour, je suis bloqué à cet exercice, j'aimerais savoir si quelqu'un pouvait m'aider. J'ai réussi à calculer la dérivée mais je ne suis même pas sûre que cela correct.

L'inégalité de Bernoulli s'énonce ainsi : "Pour
tout x>0 et tout n appartient N, (1+x)^n > 1+nx "
Cette inégalité est évidente pour n=0 et pour n=1.
On peut la démontrer en étudiant, pour n>1, la
fonction fn definie sur l'intervalle [0;+l'infini]
par fn(x)=(1+x)^n - 1 - nx
1.Calculer la dérivée de fn et déterminer le signe
de fn'(x) sur l'intervalle [0;+l'infini]
2.Faire le tableau des variations de fn
3.En déduire l'inégalité de Bernoulli

Merci de votre aide.

Bonsoir et bienvenue parmi nous !

Ton exercice a le guide suivant:

1) la fonction est composée de la différence de deux quantités qui sont respectivement à gauche et à droite de l'inégalité qu'on cherche à démontrer. Calculer la dérivée de cette fonction, nous permettra donc d'avoir accès aux variations de cette fonction.

2) Le tableau de variation de la fonction permettra de visualiser les variations, les limites mais aussi le signe de la fonction étudiée.

3) Connaissance le signe de la fonction, nous connaîtrons donc le signe de la différence de nos deux quantités initiales et nous pourrons donc finir la démonstration.

Est-ce que tu comprends mieux la démarche de l'exercice ?
Pourrais-tu donner ta dérivée pour démarrer l'exercice et le début de ta réflexion pour trouver les variations de cette fonction ?

Bon courage et n'hésite pas poser tes questions!

Merci beaucoup pour l'aide. Oui je comprend beaucoup mieux la dernière question.
J'ai trouvé comme dérivée : fn'(x)=n*(1+x)^n-1 - n
Elle est surement toujours positive puisque l'énoncé nous dis x>0 et n appartient N. Donc la fonction fn est croissante. C'est bien ça ? Ses limites par contre je ne sais pas.
Encore merci.

Bonjour,

Ta dérivée est juste malgré tes doutes initiaux. Ensuite, pour le signe de la dérivée, nous aimerions bien qu'elle soit strictement positive en effet au vu de ce qu'on cherche à démontrer. Le fait que x>0 va nous permettre de le démontrer correctement en utilisant ce qu'on connaît de la puissance.

En effet, si x>0, que peut-on dire de x+1 ?
Puis de (x+1)^(n-1) ?
Et enfin de Fn(x) vu que n est positif ou nul et qu'ajouter ou soustraire un nombre ne change pas le signe d'une inégalité.

Lorsqu'on cherche à trouver une inégalité ou le signe d'une fonction, il faut le plus souvent démarrer du coeur de la fonction puis ensuite d'appliquer les procédés connus sur les inégalité (croissance d'une fonction donc non changement de sens de l'inégalité, décroissance d'une fonction, multiplication par un nombre positif ou négatif, ajout ou soustraction d'un nombre).

Bon courage!

Merci beaucoup pour votre aide. J'ai bien compris grâce a vos explications.
Merci encore!