Etude fonction avec logarithme

Désolé je dois y aller...
On continuera ça demain!
Bonne soirée!

La strict positivité est bien démontré maintenant .

Il ne te demandait pas plus de chose dans cette question en fait.

Désolé ma présence ce dimanche était assez saccadé ce qui explique que mes réponses n'étaient pas aussi rapide que d'habitude pour un dimanche.

Avec mes excuses donc et on continuera cela demain sans problème, tu avais déjà calculer les limites et fait le tableau de variation donc nous continueront avec la question 5) si je ne me trompe pas car la question 4) c'est le tracer de la courbe.

Pour cette question 5), il faut savoir que notre fonction admet une fonction réciproque G si et seulement si GoF(x)=x et FoG(x)=x et il faut préciser cette fonction G et son ensemble de définition donc.

Bon courage!

Pas de problèmes ne t'inquiètes pas!
Justement, pour trouver g, je ne saisis pas...

Bonsoir,

Voici quelque exemple simple de fonction qui sont réciproques avec leur ensemble de définition:

F(x)=x+1 et G(x)=x-1 sont réciproque sur R. En effet, pour tout x dans R, FoG(x)=F(x-1)=(x-1)+1=x et de même GoF(x)=G(x+1)=(x+1)-1=x

On a donc FoG=GoF=id (id: fonction identité c'est à dire id(x)=x ).


Autre exemple: F (F(x)=e^x) est la fonction réciproque de G ( G(x)=Ln(x)) de R à valeur dans ]0;+Inf[. De même, G est la fonction réciproque de F de ]0;+Inf[ à valeur dans R.

Car pour tout x dans ]0;+Inf[, e^Ln(x)=x et pour tout x dans R, Ln(e^x)=x


Méthode pour trouver des fonctions réciproques:

Trouver la fonction G ainsi que l'ensemble pour lequel, elle est la fonction réciproque de la fonction F définie par F(x)= e^x + 1

Et bien on écrit: pour tout x dans R, y= e^x+1 et le but va être d'écrire x en fonction de y et de trouver pour quelle valeur de y on a l'égalité.

Dans un premier temps on ne regarde pas les ensemble de définition et on se met au brouillon:

On a donc: y=e^x+1

Donc y-1=e^x

D'où Ln(y-1)=x

Il est donc possible d'écrire x=G(y), donc G serait notre fameuse fonction réciproque de notre fonction F. Mais il reste à savoir quand l'égalité est vrai.

On départ F est définie sur R, on sait que e^x est à valeur dans ]0;+Inf[, donc F(x) est à valeur dans ]1;+Inf[.

On regarde maintenant si notre fonction G est bien définie de ]1;+Inf[ à valeur dans R tout entier.

Alors lorsque Y est dans ]1;+Inf[, y-1 est dans ]0;+Inf[ donc notre fonction G est bien défini vu que Ln est définie sur ]0;+Inf[. De plus, lorsque y temps vers +Inf, G(y) tend vers +Inf et lorsque y tend vers 1, G(y) tend vers -Inf (car y-1 tend vers 0 et Ln(X) tend vers -Inf lorsque X tend vers 0). Conclusion, G est bien à valeur dans R tout entier.

On a donc trouvé G tel que pour tout x dans ]1;+Inf[, FoG(x)=F(Ln(x-1))= e^Ln(x-1) + 1= (x-1)+1=x
Et pour tout x dans R, GoF(x)=G(e^x+1)= Ln[(e^x+1) -1)= Ln(e^x)=x


Est-ce que c'est plus clair maintenant cette notion de fonction réciproque avec ces 3 exemples et une étude totale de recherche de fonction réciproque?

Vois-tu comment l'adapter à notre exercice?

Bon courage!

Désolé mais je dois encore m'en aller... Je verrais donc ça demain...
A la prochaine et bonne soirée

Désolé pour le retard mais, j'ai plus trop de temps pour moi...
Enfin bref, voici pour la réponse à la réciproque :

y =(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]
y/(1/2) = ln[(1+x)/(1-x)]
2y = ln[(1+x)/(1-x)]
e^2y = (1+x)/(1-x)
Et après... je bloque...

Bonjour,

Tout est bon pour l'instant. Tu fais comme si y était un paramètre fixé et que tu cherchait à résoudre une équation en x en fait.

C'est à dire qu'il va falloir isolé x totalement et pour cela, il y a un produit en croix à faire là. Cela t'enlèvera toutes les fraction et il ne restera plus qu'à isoler x d'un côté pour conclure.

Bon courage tu n'es plus très loin de la solution!

y =(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]
y/(1/2) = ln[(1+x)/(1-x)]
2y = ln[(1+x)/(1-x)]
e^2y = (1+x)/(1-x)
e^2y(1-x) = 1+x
e^2y -e^2yx = 1+x
e^2y -ee^2y -1 = x

Il y a un soucis dans ta résolution.

En effet, quel est le passage entre ces deux lignes là:

Citation :

e^2y -e^2yx = 1+x
e^2y -ee^2y -1 = x

??

La première ligne est juste mais après, il y a un soucis car tu n'as pas mis tous les x d'un côté pour terminer ta résolution.

Bon courage!

y =(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]
y/(1/2) = ln[(1+x)/(1-x)]
2y = ln[(1+x)/(1-x)]
e^2y = (1+x)/(1-x)
e^2y(1-x) = 1+x
e^2y -e^2yx = 1+x
e^2y -e^2yx -1 = x
e^2y -1 = x -e^2yx
Là, je passe tous les côtés en ln?

Il n'y a plus de Ln à prendre ici.

Tu as tout ce qu'il te faut, les x sont à gauche, il ne reste plus qu'à finir la résolution par une petite factorisation par x par exemple .

C'est un classique de résolution qui te posait déjà problème l'année dernières si mes souvenirs sont bons, ce qui te gêne c'est qu'il y a un paramètre mais mets tout ce qui dépend ici de y n'est autre que des nombres fixé et la seule chose qu'on cherche c'est la valeur de x en fonction de y. Donc on factorise par x et on essaie d'arriver à "x=...".

Il ne te manque quasiment rien pour avoir cette forme là maintenant.

Bon courage!

C'est vrai j'y pense pas toujours...

y =(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]
y/(1/2) = ln[(1+x)/(1-x)]
2y = ln[(1+x)/(1-x)]
e^2y = (1+x)/(1-x)
e^2y(1-x) = 1+x
e^2y -e^2yx = 1+x
e^2y -e^2yx -1 = x
e^2y -1 = x -e^2yx
e^2y -1 = x ( 1 - e^2y)

Alors c'est presque fini mis à part que j'avais pas vu que tu avais fait une légère erreur de signe lorsque tu as passé le -xe^2y à droite. En effet, tu as oublié de changer le signe .

Sinon, on trouvait x=-1 là et c'était très louche .

y =(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]
y/(1/2) = ln[(1+x)/(1-x)]
2y = ln[(1+x)/(1-x)]
e^2y = (1+x)/(1-x)
e^2y(1-x) = 1+x
e^2y -e^2yx = 1+x
e^2y -e^2yx -1 = x
e^2y -1 = x +e^2yx
e^2y -1 = x ( 1 +e^2y)

Bonsoir,

C'est tout à fait ça!

Donc x= ?

[e^2y -1]/( 1 +e^2y) = x

Nickel!

Après relecture de ton exercice on a fait la question 6 ce qui répond à la 5 aussi mais ils attendent un autre moyen de montrer que notre fonction admet une fonction réciproque.

Citation :

Une fonction définie sur I à valeur dans J=f(I) strictement monotone admet une fonction réciproque qui est définie de J dans I.

En effet, la strict monotonie, nous donne le fait que pour tout y dans F(I) il existe un unique antécédent x dans I par F (l'ensemble de définition de F) tel que y=F(x).

Démonstration:

En effet, si F(a)=F(b) on ne peut pas avoir a différent de b car sinon la strict monotonie nous donnerai F(a) différent de F(b) celà nous donne l'unicité du y. Et de plus, si la fonction F est définie de I dans F(I), nous avons bien l'existence d'un x pour tous les y dans F(I).


Donc pour cette question 5), c'était ça qu'il nous demandait de faire un fait. On a déjà la strict monotonie de la fonction F d'après la question 1). F est strictement croissante sur ]-1;1[ et nous avons calculer les limites de F en +1 et en -1. On sait que par strict croissante a<b => F(a)<F(b)

Donc l'image de l'intervalle ]-1;+1[ par F sera l'intervalle ]A;B[ avec A=lim_x->-1 F(x) et B=lim_x->1 F(x) (A et B pouvant valoir l'infini).

Et cet intervalle te donne l'intervalle de définition de la fonction réciproque, l'intervalle d'arrivée étant l'ensemble de définition de F.


J'espère que la démarche exposé est clair pour cette question 5). Ce qu'il faut retenir c'est cette définition là:

Citation :

Si F est une fonction strictement monotone de I à valeur dans J.

Alors toute valeur y de J admet par f un unique antécédent x appartenant à I. On dit alors que f est une bijection de I dans J.

On peut alors définir sur J une fonction g de la façon suivante :
A tout élément y de J on associe son antécédent x par f.

g est appelée la fonction réciproque de f

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

Ah! Donc en exprimant x en fonction de y on a aussi montré et trouvé la fonction réciproque à f(x)!

En gros, pour la question 5, on emploie les données que l'on avait déjà (logique) pour trouver l'ensemble de définition de la réciproque. C'est bien cela?

Oui la question 6 fait directement permet de montrer que la fonction réciproque existe et on a même son expression. Ce qui lui manque c'est son ensemble de définition pour que la réciprocité avec F soit total. Et pour celà, il faut quel es deux ensemble de définition coïncide en quelque sorte.

Je n'avais pas lu la question 6) vu que mon optique était de te donner une méthode direct de trouver la fonction réciproque et donc son existence en revenant après à la recherche de l'ensemble de définition.

Maintenant, tu as les deux méthodes l'une plus théorique à partir de la strict monotonie dont la démonstration est pas si compliqué que celà après tout et l'autre plus concrète dans le sens où on trouve une expression de la réciproque directement alors que l'autre on a juste l'existence de celle-ci.

Je pense que ceci conclu cette exercice vu que la question 5) est quasiment rédigé dans mon post précédent à partir de la définition et quel a question 6 tu l'avais donc trouvée.

La question 7) c'est le tracer de la fonction réciproque.

Bon courage pour la suite!

Ah oui la question 7 c'est du tracé. Cet exercice fut long mais compris c'est l'essentiel je pense.
Merci beaucoup à toi en tout cas pour ta patience et tes conseils.