Rappel produit scalaire

Salut!
Après un temps d'inactivité assez conséquent et avant un autre temps de cette même inactivité à partir de demain... , je poste ce petit exo avec du produit scalaire. J'aurais besoin qu'on me rappelle comment transformer une équation de tangente en norme vectorielle (u ; v).

Voici l'énoncé :


On pose f(x) = e^x et g(x) = e^-x. On note C₁ et C₂ les courbes de f et g dans un repère orthonormé.

1. Déterminer un équation des tangentes T₁ et T₂ aux points d'abscisse a des courbes C₁ et C₂.

2. Démontrer que T₁ et T₂ sont orthogonales.

3. Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.
Démontrer que la distance PQ est constante.



Et voici mes résultats :

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = xe^-a + e^-a(-a -1)

Et là, je bloque . J'aurais donc besoin d'un petit coup de main là-dessus svp!
Merci d'avance!

Bonjour,

Pour la première question, il y a une petite erreur pour T2. Une inversion entre la fonction et sa dérivé . Le coefficient directeur est toujours le nombre dérivée.


Pour la question 2), c'est une petite chose qu'on a tendance à oublié . En effet, soit on se souvient d'une chose banale qui est que deux droite sont perpendiculaire si et seulement si le produit des deux coefficient directeur est égale à -1.

Et comment on le redémontre?

A l'aide du produit scalaire en effet! Alors une droite c'est quoi? C'est une ensemble de points alignés poru la définition classique mais c'est aussi le fait de dire que tous les vecteurs sont colinéaires au vecteur directeur de la droite. Ainsi on retrouve que deux droite sont perpendiculaire si et seulement si le produit scalaire de leur vecteur directeur respectif est égale à 0. Et après un petit calcul celà revient bien à dire que le produit des deux coefficient directeur est égale à -1.

Je te laisse le vérifier, la réponse est immédiate quasiment.

Bon courage!

Et voici mes résultats :

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont colinéaires ou que le produit des deux coefficient directeur est égale à -1.

xe^a * (-xe^-a)
Là, ça doit faire -1 mais je l'explique comment?

Attention, il n'y a pas de x dans dans les coefficient directeur d'une droite!

Le coefficient directeur de T₁ c'est e^a et le coefficient directeur de T₂ c'est -e^-a et donc en faisant le calcul on trouve bien -1.

Et là on montre que les deux droites sont orthogonales. Bon en troisième on donne cette équivalence de façon immédiate. Maintenant on peut voir d'où elel vient en utilisant les vecteur directeur de T₁ et de T₂ si tu veux passer par le produit scalaire pour faire la démonstration.

Quelles sont les coordonnées de u₁ vecteur directeur de T₁ et de u₂ vecteur directeur de T₂?

Bon courage!

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont colinéaires ou que le produit des deux coefficient directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
On a donc deux vecteurs orthogonaux donc T₁ et T₂ sont orthogonales!


3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

Citation :

Bon en troisième on donne cette équivalence de façon immédiate

C
Ca par contre je saisis pas...

Je dois "convertir" les équations de tangente que j'ai en coordonnées "normales" mais, je ne sais pas comment faire et c'est pas faute d'avoir cherché...

Quand je disais "en troisième" c'était del a classe que je parlais, la classe de troisième. D2solé du quiproquo.

Sinon, pour la question 2) si tu y répond comme cela, il faut parler de coefficient directeur et non de vecteur directeur car ici e^a et -e^-a sont des coefficient directeur et non des vecteurs.

Par contre quelles sont les coordonnées (x,y) du vecteur directeur de T₁ par exemple? (Je vais te montrer comment utiliser le produit scalaire pour montrer que deux droites sont bien orthogonaux ça te fera deux façon de voir les choses).

Bon courage!

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont colinéaires ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
On a donc deux vecteurs orthogonaux donc T₁ et T₂ sont orthogonales!
Ici, le fais bien la différence entre les 2 dans ma rédaction non?

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

justement, je n'arrive pas depuis tout à l'heure à trouver les coordonnées sous cette forme...

Citation :

sont colinéaires orthogonaux

Oui il y a bien différence entre les deux dans ta rédaction en effet. Je voulais juste savoir si tu savais les coordonnées d'un vecteur directeur à une droite au cas où la rédaction t'impose un jour d'utiliser l'orthogonalité des vecteurs au lieu de ne rien préciser comme ici.

Pour la question 3), il faut se souvenir que la recherche des coordonnées d'un point d'intersection revient à la recherche de solution d'un système. A quelles droites appartient le point P par exemple? Par conséquent que vérifie ses coordonnées? Et enfin quelle est la solution du système si elle existe?

Le lien entre intersection de courbe et solution d'un système doit vraiment faire tilt à chaque fois car c'est vraiment un moyen simple de bien voir le problème et de faire le lien entre un dessin et la résolution par calcul.

Bon courage!

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
On a donc deux vecteurs orthogonaux donc T₁ et T₂ sont orthogonales!
Normalement c'est bon!

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Citation :

Par conséquent que vérifie ses coordonnées?

Je ne comprends pas ce que ça veut dire ça par contre...

Pour la 2), tu ne peux pas conclure que les vecteurs sont orthogonaux vu que tu ne parles pas de vecteurs en fait. Tu peux juste conclure que T₁ et T₂ sont orthogonaux maus sans parler de vecteurs.

Sinon, l'autre moyen est d'utiliser les vecteurs directeur sans parler de coefficient directeur et à ce mometn là on parle de vecteur orthogonaux.


Pour la question 3), les coordonnées de P vérifie l'équation de T₁ vu que P appartient à T₁. Mais P appartient aussi à une autre droite qui a pour équation?

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!
Normalement c'est LA c'est bon!

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

P appartient aussi à une autre droite qui aura la même équation que la tangente non?

Je reprendrais ça la prochaine fis.
Désolé je vais être absent un petit moment.
J'essaierais de venir le plus possible en tout cas.
Merci pour tout et bonnes fêtes de fin d'année.

Merci!

Bonnes fêtes de fin d'année à toi aussi et profite bien de tes vacances aussi !

Bon je reprends tout ça :

On avait déterminé des équations de tangentes T₁ et T₂ et on devait prouver qu'elles sont orthogonales...
Pour se faire, tu avais rappelé le fait que deux droites sont orthogonales si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1 et, on avait ici un problème de rédaction qui semblait être réglé...
Ce qui donnait :

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!
Normalement c'est LA c'est bon!



Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Et j'ai cherché durant ce laps de temps et j'ai toujours pas trouvé... ca en devient effrayant...

Alors la rédaction est bonne maintenant (rappel moi de t'en donner la démonstration à l'aide du produit scalaire lorsqu'on aura fini cette exercice).

Sinon pour la question suivante, P et Q sont des ponit d'intersection!! Or tu utilises seulement le fait qu'ils appartiennent à leur tangente respective mais ils appartiennent aussi à une autre droite vu qu'il s'agit de point d'intersection, non? C'est à dire que leur coordonnées vérifient une autres équation ce qui va te permettre d'avancer.

Bon courage!

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!
Normalement c'est LA c'est bon!



Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)
mais, P et Q sont aussi des points d'intersection avec l'axe des abscisses mais là, je ne vois pas comment déterminer une autre équation avec ça...

Quelle est l'équation de l'axe des abscisses ?

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!
Normalement c'est LA c'est bon!



Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Citation :

Quelle est l'équation de l'axe des abscisses ?

L'équation de l'axe des abscisses est y = 0

Conclusion si P et Q appartiennent aussi à l'axe des abscisses que savons-nous sur leur ordonnée?

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!
Normalement c'est LA c'est bon!



Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Citation :

Quelle est l'équation de l'axe des abscisses ?

L'équation de l'axe des abscisses est y = 0
donc l'ordonnée de P et Q est y = 0

Donc, je remplace y par 0 dans les équations de t_{1[:sub] et T[sub]2} mais, je ne dois pas remplacer a?

A non a est un paramètre qui est fixé par l'énoncer, il ne bouge pas.

Par contre dans chacune des tes équation, tu as en effet y=0 ce qui te donne donc une équation à une inconnue: x. Ce qui va pouvoir nous permettre de déterminer les abscisses respectives de P et de Q et ainsi de calculer la distance PQ.

Bon courage!

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!
Normalement c'est LA c'est bon!



Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Citation :

Quelle est l'équation de l'axe des abscisses ?

L'équation de l'axe des abscisses est y = 0
donc l'ordonnée de P et Q est y = 0

Avec T₁ :
0 = xe^a + e^a(1 - a)
xe^a = -e^a(1 - a)
xe^a = -e^a + ae^a
x = [e^a + ae^a] / e^a
x = [ e^a (1 + a)] / e^a (1)
x = 1 + a / 1 = 1 + a


Avec T₂ :
0 = -xe^-a + e^-a(-a +1)
xe^-a = e^-a(-a +1)
xe^-a = -ae^-a + e^-a
x = [-ae^-a + e^-a] / (e^-a)
x = [e^-a (-a +1) / (e^-a)(1)
x = -a + 1 / 1 = -a + 1

On a donc les coordonnées de P et Q :

P ( 1 + a ; 0)
Q (1 - a ; 0)

En gros, tout dépend de a... Entre P et Q, il y aura une distance de 2a

Alors la distance ne serait donc pas constante vu qu'elle dépendra de a. Il y a donc une erreur quelque part et la voici:

Citation :

y = -xe^-a +ae^-a + e^-a
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

C'est y=-x*e^-a + (a+1)*e^-a

Ce qui ne change rien au fait que les deux droites sont perpendiculaires vu quel e coefficient directeur de chacune d'elle ne change pas. Mais par contre, cela change la valeur de l'abscisse de Q.

Je te laisse reprendre ton calcul.

Je dois donc corriger l'erreur dans la question 1 n'est-ce pas??



1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!




Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Citation :

Quelle est l'équation de l'axe des abscisses ?

L'équation de l'axe des abscisses est y = 0
donc l'ordonnée de P et Q est y = 0

Avec T₁ :
0 = xe^a + e^a(1 - a)
xe^a = -e^a(1 - a)
xe^a = -e^a + ae^a
x = [e^a + ae^a] / e^a
x = [ e^a (1 + a)] / e^a (1)
x = 1 + a / 1 = 1 + a


Avec T₂ :
0 = -xe^-a + e^-a(a +1)
xe^-a = ae^-a + e^-a
x = [ae^-a + e^-a] / e^-a
x = e^-a(a + 1) / [e^-a (1)]
x = (a+1) / 1 = a + 1

C'est correct cette fois-ci?

Citation :

xe^a = -e^a + ae^a
x = [+e^a + ae^a] / e^a

Pourquoi un changement de signe entre le passage d'une lien à l'autre ??? Sinon l'autre est juste maintenant .

Sinon, il reste la conclusion aussi pourT₂ à modifier et ça sera bon normalement (enfin dès qu'on parlait de l'équation de T₂, il faut modifier l'erreur de signe que j'ai cité plus haut).

Courage la galère est bientôt finie!