Rappel produit scalaire

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!




Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Citation :

Quelle est l'équation de l'axe des abscisses ?

L'équation de l'axe des abscisses est y = 0
donc l'ordonnée de P et Q est y = 0

Avec T₁ :
0 = xe^a + e^a(1 - a)
xe^a = -e^a(1 - a)
xe^a = -e^a + ae^a
x = [-e^a + ae^a] / e^a
x = [ e^a (-1 + a)] / e^a (1)
x = -1 + a / 1 = -1 + a


Avec T₂ :
0 = -xe^-a + e^-a(a +1)
xe^-a = ae^-a + e^-a
x = [ae^-a + e^-a] / e^-a
x = e^-a(a + 1) / [e^-a (1)]
x = (a+1) / 1 = a + 1

Ca fait toujours 2a non?

Donc P(a-1 , 0) et Q(a+1 , 0)

Donc PQ= ?

Quelle est la formule pour calculer les distances dans un repère orthonormé ?

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!




Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Citation :

Quelle est l'équation de l'axe des abscisses ?

L'équation de l'axe des abscisses est y = 0
donc l'ordonnée de P et Q est y = 0

Avec T₁ :
0 = xe^a + e^a(1 - a)
xe^a = -e^a(1 - a)
xe^a = -e^a + ae^a
x = [-e^a + ae^a] / e^a
x = [ e^a (-1 + a)] / e^a (1)
x = -1 + a / 1 = -1 + a


Avec T₂ :
0 = -xe^-a + e^-a(a +1)
xe^-a = ae^-a + e^-a
x = [ae^-a + e^-a] / e^-a
x = e^-a(a + 1) / [e^-a (1)]
x = (a+1) / 1 = a + 1

Donc :

P(a-1 ; 0) Q(a+1 ; 0)

PQ = ?

Arf.. je me souviens jamais de cette formule.. C'est pas un truc dans le genre :

Racine[(x2 - x1)² - (y2 - y1)²] ??

C'est tout à fait ça!

Tu veux t'en souvenir?

PQ²=||PQ||²= PQ.PQ= (x_q-x_p)*(x_q-x_p) + (y_q-y_p)*(y_q-y_p)= (x_q-x_p)² + (y_q-y_p)²

Donc PQ= Racine[(x_q-x_p)² + (y_q-y_p)²]

Donc maintenant celà donne quoi pour notre distance PQ ?

1.
f(x) = e^x --> Courbe C₁
g(x) = e^-x --> Courbe C₂


T₁ : avec

Donc :





T₂ : avec

Donc :





2. 2 droites sont orthogonales si leur produit scalaire est égal à 0 :

T₁ : y = xe^a + e^a(1 - a)
T₂ : y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Je dois donc montrer que les vecteur associés aux deux tangentes sont orthogonaux ou que le produit des deux coefficients directeur est égale à -1.

e^a * -e^-a est bien égal à -1 donc :
Donc T₁ et T₂ sont orthogonales!




Nous en étions donc à la question 3 : on doit ici démontrer que PQ est constante. J'avais fait ceci :

3.

Citation :

Soit P et Q les points d'intersection de T₁ et T₂ avec l'axe des abscisses.

P appartient à T₁ d'équation :
y = xe^a + e^a(1 - a)

Q appartient à T₂ d'équation :
y = -xe^-a + e^-a(-a +1)

Citation :

Quelle est l'équation de l'axe des abscisses ?

L'équation de l'axe des abscisses est y = 0
donc l'ordonnée de P et Q est y = 0

Avec T₁ :
0 = xe^a + e^a(1 - a)
xe^a = -e^a(1 - a)
xe^a = -e^a + ae^a
x = [-e^a + ae^a] / e^a
x = [ e^a (-1 + a)] / e^a (1)
x = -1 + a / 1 = -1 + a


Avec T₂ :
0 = -xe^-a + e^-a(a +1)
xe^-a = ae^-a + e^-a
x = [ae^-a + e^-a] / e^-a
x = e^-a(a + 1) / [e^-a (1)]
x = (a+1) / 1 = a + 1

Donc :

P(a-1 ; 0) Q(a+1 ; 0)

Je dois calculer PQ : j'emploie la formule suivante :

Racine[(x2 - x1)² - (y2 - y1)²]

[Merci pour l'aide mémoire c'est bien pensé ]

donc on aura :

PQ = Racine[(x_q - x_p)² - (y_q - y_p)²]
PQ = Racine[((a+1) - (a -1))² - ((0 - 0))²]
PQ = Racine[ ( a+1 -a + 1)² - 0] = Racine((2)²) = Racine(4) = 2
On trouve donc PQ constante!

Là normalement c'est bon et fini!

C'est nickel pour moi en tout cas!

Ah!
Encore merci à toi pour m'avoir accordé de ton temps!