Salut!
Ayant été absent un petit bout de temps (indépendant de ma volonté...), j'ai malgré tout eu le temps de faire cet exercice mais, j'ai quelques problèmes sur certaines questions, problèmes qui sont donc à régler
. J'aurais donc besoin d'un coup de main pour cet exercice qui est long mais, dans l'ensemble que j'ai fait bon (enfin j'espère).
Voici l'énoncé :
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Exercice 2 : 1. On pose f(x) = ln(x) - 1/ln(x) pour x appartient à ]1 ; +Infini[. On appelle C la courbe de f et I la courbe de la fonction ln dans un repère orthogonal (O ; i ; j).
Etudier les variations de la fonction f et déterminer les limites de f en +1 et en +Infini.
2. Comparaison de f et ln.
a. Déterminer lim
x-->+ Inf f(x) –ln(x)
Interpréter géométriquement cette limite.
b. Préciser les positions relatives de C et I.
3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe C passant par l’origine O du repère.
a. Soit a un réel strictement supérieur à 1.
Démontrer que la tangente T
a à la courbe C au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si et seulement si f(a) – af’(a) = 0
On pose alors g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient à ]1 ; +Infini[.
La valeur a est donc une solution de l’équation g(x) = 0.
b. Montrer que, sur ]-1 ; +Infini[, les équations g(x) = 0 et [ln(x)]
3 – [ln(x)]² - ln(x) -1 = 0 ont les mêmes solutions (ne pas chercher à résoudre ces équations pour le moment).
c. On pose u(t) = t
3 - t² - t – 1.
Etudier les variations de la fonction de la fonction u sur l’ensemble R, établir son tableau de variations complet.
A partir du tableau, montrer que la fonction u s’annule pour une unique valeur Alpha et que la valeur Alpha est entre 1,8 et 1,9.
On ne cherchera pas à faire une démonstration rigoureuse, mais on expliquera clairement comment on évalue Alpha avec la calculatrice.d. En déduire que l’équation g(x) = 0 possède une unique solution sur ]1 ; +Infini[, encadrer cette solution à l’aide de la question 3-c.
Tracer alors le mieux possible la tangente cherchée.
4. On considère un réel m et l’équation f(x) = mx d’inconnue x.
Par lecture graphique, et sans justification, donner suivant les valeurs de m le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle]1 ; 10].
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Et voici mes réponses :
1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??
g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :
g’(x) = [u’(x)v(x) – u(x)v’(x)] / [v(x)]²
Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0
ET
V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x
g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)
DONC :
F’(x) = (1/x) – [(1/x) / (ln(x))]
--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :
Car x positif !
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[
--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :
F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.
Limite en +1 de f(x) : F(x) = ln(x) = ln(x) - 1/ln(x)
Lim
x-->1 ; x > 1 f(x) = ?
Lim
x-->1 ; x > 1 ln(x) = ln(1)
Lim
x-->1 ; x > 1 -1/ln(x) = -Infini ( de type “-1/0
+”)
Donc :
Limx-->1 ; x > 1 f(x) = - Infini
Limite en +Infini de f(x) : Lim
x--> +Infini f(x) = ?
Lim
x--> +Infini ln(x) = + Infini
Lim
x--> +Infini 1/ln(x) = 0
Donc :
limx-->+Infini f(x) = + Infini
2.a.
Lim
x-> +Infini f(x) = +Infini
ET
Lim
x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim
x-->+Infini f(x) – ln(x)
--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
Donc :
limx-->+Infini f(x) – ln(x) = limx-->+Infini -1/ln(x) = 0- = 0
0- signifiant que la courbe de f(x) – ln(x) sera négative !
--> Graphiquement, cela signifie que la courbe relative à f(x) – ln(x) sera strictement négative sur ]1 ; +Infini[ et que l’axe des abscisses li sera asymptote : elle aura donc une asymptote en y = 0.
b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)
I sera positive car x positif sur ]1 ; +Infini[
C sera négative sur ]1 ; e[ et positive sur ]e ; +Infini[
On aura donc C sous I sur ]1 ; +Infini[.
3.a. a > 1
équation de tangente :
[center]Y = f’(a)(x-a) + f(a)
Y = xf’(a) – af’(a) + f(a)
On nous dit que y = 0 lorsque fa) – af’(a) = 0
--> Je dois le prouver :
Et…. :lol !: Je bloque là-dessus….
b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.
G(x) = 0 quand x = a
[ln(x)]
3 – [ln(x)]² - ln(x) -1 = 0
Ici aussi ça bloque…
c. u(t) = t
3 –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1
Je dresse le tableau de signes de u’(t) :
Car un carré est toujours positif
J’en déduis donc le tableau de variations de u(t) :
U(1) = 0
Alpha évolue … en fait je ne sais pas comment expliquer ça…
d. On a vu à la question 3)b) que g(x) = 0 et [ln(x)]
3 – (ln(x))² -lx) – 1 = 0 ont les mêmes solutions.
On a vu également à la question 3.c. que t
3 – t² -t -1 = 0 à une solution Alpha entre 1,8 et 1,9 et, par identification de quotients, on assimile [ln(x)]
3 – (ln(x))² -lx) – 1 = 0 à t
3 – t² -t -1 = 0.
DONC :
G(x) possède une solution entre 1,8 et 1,9.
4. Je n’ai pas compris la question….
Voilà.
Je pense que ce que j'ai fait est correct mais, certains questions posent malgré tout des problèmes et, j'aurais besoin d'un petit coup de main là-dessus.
Merci d'avance!