Exercice général sur fonction

Salut!
Ayant été absent un petit bout de temps (indépendant de ma volonté...), j'ai malgré tout eu le temps de faire cet exercice mais, j'ai quelques problèmes sur certaines questions, problèmes qui sont donc à régler . J'aurais donc besoin d'un coup de main pour cet exercice qui est long mais, dans l'ensemble que j'ai fait bon (enfin j'espère).

Voici l'énoncé :




Exercice 2 :

1. On pose f(x) = ln(x) - 1/ln(x) pour x appartient à ]1 ; +Infini[. On appelle C la courbe de f et I la courbe de la fonction ln dans un repère orthogonal (O ; i ; j).
Etudier les variations de la fonction f et déterminer les limites de f en +1 et en +Infini.



2. Comparaison de f et ln.

a. Déterminer lim_{x-->+ Inf} f(x) –ln(x)
Interpréter géométriquement cette limite.

b. Préciser les positions relatives de C et I.



3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe C passant par l’origine O du repère.

a. Soit a un réel strictement supérieur à 1.
Démontrer que la tangente T_a à la courbe C au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si et seulement si f(a) – af’(a) = 0
On pose alors g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient à ]1 ; +Infini[.
La valeur a est donc une solution de l’équation g(x) = 0.

b. Montrer que, sur ]-1 ; +Infini[, les équations g(x) = 0 et [ln(x)]³ – [ln(x)]² - ln(x) -1 = 0 ont les mêmes solutions (ne pas chercher à résoudre ces équations pour le moment).

c. On pose u(t) = t³ - t² - t – 1.
Etudier les variations de la fonction de la fonction u sur l’ensemble R, établir son tableau de variations complet.
A partir du tableau, montrer que la fonction u s’annule pour une unique valeur Alpha et que la valeur Alpha est entre 1,8 et 1,9.
On ne cherchera pas à faire une démonstration rigoureuse, mais on expliquera clairement comment on évalue Alpha avec la calculatrice.

d. En déduire que l’équation g(x) = 0 possède une unique solution sur ]1 ; +Infini[, encadrer cette solution à l’aide de la question 3-c.
Tracer alors le mieux possible la tangente cherchée.



4. On considère un réel m et l’équation f(x) = mx d’inconnue x.
Par lecture graphique, et sans justification, donner suivant les valeurs de m le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle]1 ; 10].



Et voici mes réponses :

1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??

g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :


Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0

ET

V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x

g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²
--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)

DONC :


--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :



Car x positif !
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[

--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.



Limite en +1 de f(x) :
F(x) = ln(x) = ln(x) - 1/ln(x)

Lim_{x-->1 ; x > 1} f(x) = ?

Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)
Lim_{x-->1 ; x > 1} -1/ln(x) = -Infini ( de type “-1/0⁺”)

Donc :



Limite en +Infini de f(x) :

Lim_{x--> +Infini} f(x) = ?

Lim_{x--> +Infini} ln(x) = + Infini
Lim_{x--> +Infini} 1/ln(x) = 0

Donc :




2.a.
Lim_{x-> +Infini} f(x) = +Infini
ET
Lim_x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim_x-->+Infini f(x) – ln(x)

--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
Donc :


On nous dit que y = 0 lorsque fa) – af’(a) = 0
--> Je dois le prouver :
Et…. :lol !: Je bloque là-dessus….


b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.

G(x) = 0 quand x = a
[ln(x)]³ – [ln(x)]² - ln(x) -1 = 0
Ici aussi ça bloque…



c. u(t) = t³ –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1

Je dresse le tableau de signes de u’(t) :



Car un carré est toujours positif

J’en déduis donc le tableau de variations de u(t) :


U(1) = 0

Alpha évolue … en fait je ne sais pas comment expliquer ça…


d. On a vu à la question 3)b) que g(x) = 0 et [ln(x)]³ – (ln(x))² -lx) – 1 = 0 ont les mêmes solutions.
On a vu également à la question 3.c. que t³ – t² -t -1 = 0 à une solution Alpha entre 1,8 et 1,9 et, par identification de quotients, on assimile [ln(x)]³ – (ln(x))² -lx) – 1 = 0 à t³ – t² -t -1 = 0.

DONC :

G(x) possède une solution entre 1,8 et 1,9.


4. Je n’ai pas compris la question….


Voilà.
Je pense que ce que j'ai fait est correct mais, certains questions posent malgré tout des problèmes et, j'aurais besoin d'un petit coup de main là-dessus.
Merci d'avance!

Bonjour MrTheYo,

Mes meilleurs voeux pour 2009!

Ton exercice est long mais il est assez bien guidé pour ne pas se perdre. Par contre, tu fais une erreur dès la première question mais qui ne se répercute pas dans le tableau de signe de la dérivée, c'est presque louche .

Citation :

F’(x) = (1/x) – [(1/x) / (ln(x))]

Le "-" était compris dans ton calcul de dérivée de la fonction g(x)=-1/ln(x) et tu trouvais à la fin g'(x)=+(1/x)/[ln(x)]² ce qui est juste!

Erreur due à la rapidité je pense car le raisonnement est juste. Donc dommage de perdre des points là-dessus.

La justification du signe n'est pas complète:

Citation :

Car x positif !

ne suffit pas! En effet pourquoi le logarithme est-il positif aussi ????? Tout est bon à être mis dans une rédaction.


Que vient faire le 0 entre le 1 et l'Infini dans le tableau de variation???? Surtout que le logarithme n'est pas défini en 0, cela n'est pas cohérent! Il ne sert àrien de vouloir trop en mettre non plus surtout lorsqu'on ne demande rien. Sinon c'est pour x=e qu'on a F(e)=0 mais cela n'est pas demandé donc autant éviter surtout pour se planter pour le coup .

Pour le calcul des limites va jusqu'au bout à chaque fois:

Citation :

Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)

Ensuite la calcul de la limite de la différence est juste par contre la conclusion et l'interprétation graphique sont bancales:

Citation :

0^- signifiant que la courbe de f(x) – ln(x) sera négative !

Cela sort d'où? Si la limite est 0^- celà ne prouve rien de bien spéciale mais à par que la limite c'est 0 tout simplement. Il n'y a pas besoin de parler de 0^- ici car la fonction on ne sait rien dessus et il se pourrait très bien qu'elle soit positive puis négative et qu'ensuite seulement elle tende vers 0 par valeur négative en effet. Donc on ne peut pas déduire de signe ou de position de courbe à partir de cette limite.

Citation :

--> Graphiquement, cela signifie que la courbe relative à f(x) – ln(x) sera strictement négative sur ]1 ; +Infini[ (tu ne peux pas déduire ceci vu que c'est la question suivante et que la question suivante n'est pas "En déduire de la limite...") et que l’axe des abscisses sera asymptote : elle aura donc une asymptote en y = 0.

Alors la courbe représentative de la fonction F(x)-ln(x) aura y=0 comme asymptote en effet. Mais l'interprétation graphique qu'on attend je pense est surtout au niveau des courbe C et I. Le fait que la distance entre les deux courbe tendent vers 0, nous renseigne sur le fait que I est une "courbe asymptote" à l'infini de la courbe C. Mais le fait de dire que la différence admet une asymptote y=0 à l'infini est une bonne interprétation même si je ne suis pas sur que ça soit celle qu'on attend dans un premier temps.

Citation :

b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)

I sera positive car x positif sur ]1 ; +Infini[
C sera négative sur ]1 ; e[ et positive sur ]e ; +Infini[
On aura donc C sous I sur ]1 ; +Infini[.

D'où vient cette conclusion??? Je rappelle que pour trouver la position entre deux courbe, il faut et il suffit de trouver le signe de la différence des ordonnées c'est à dire ici le signe de F(x)-ln(x) (dont on connaît une forme simple pour en déterminer le signe).


Pour la suivante, il y a une mauvaise interprétation de la question. En effet,

Citation :

On nous dit que y = 0

Non, on nous dit que la tangente passe par l'origine si et seulement si....
Donc l'origine doit appartenir à la tangente. La question réside donc dans le fait de connaître les coordonnée de l'origine et de dire qu'ils vérifient l'équation del a tangente.


Pour la 3)b), """""raisonner par équivalence c'est écrire deux fois la même chose mais d'un point de vue ou sous une forme différente"""" (ne jamais dire ça mais c'estpestp our comprendre les choses plus facilement).

Donc que signifie G(x) = 0? On connaît la forme de G(x) alors allons-y marquons ce que celà signifie.

Pour la 3)c) c'est du charabia !!!! Depuis quand tu me trouves le signe d'un polynôme du second degré en utilisant un tableau de signe de chaque terme le composant??? Voyons un peu de rigueur pour commencer 2009 .

La question d) n'est pas comprise mais on verra plus tard, il y a déjà de quoi faire avant ça.


Bon courage!

Salut!
Meilleurs voeux à toi aussi pour cette nouvelle année!

Je reprends donc question par question :

1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??

g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :


Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0

ET

V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x

g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²
--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)

DONC :

Erreur d'inattention exactement... Heureusement, les tableaux ne changent pas... Ca confirme l'erreur de recopie

--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :



Car x positif et [color = red]ln(x) positif sur ]1 ; +Infini[/color]
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[

--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


Désolé j'ai pas fait gaffe à l'intervalle...

F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.




2.a.
Lim_{x-> +Infini} f(x) = +Infini
ET
Lim_x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim_x-->+Infini f(x) – ln(x)
Désolé mais je dois intercaler où ceci : "Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)"

--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
Donc :
lim_x-->+Infini f(x) – ln(x) = lim_x-->+Infini -1/ln(x) = 0

--> Cette courbe aura une asymptote en y = 0 et, I sera une courbe asymptote à C en 0.



b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)

Pour déterminer la position des deux courbes, je dois trouver le signe de f(x) - ln(x) qui est égal à -1/ln(x) (voir question précédente) --> C'est négatif donc I sera au-dessus de C.




3.a. a > 1
équation de tangente :

Citation :

La question réside donc dans le fait de connaître les coordonnée de l'origine et de dire qu'ils vérifient l'équation de la tangente.

En gros, les coordonnées de l'origine étant (0 ; 0), ça donnerait :
0 = 0f'(a) - af'(a) + f(a) ??




b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.

Citation :

Donc que signifie G(x) = 0? On connaît la forme de G(x) alors allons-y marquons ce que cela signifie.

g(x) = 0 signifie que :
f(0) - 0f'(0) = 0 ce ,qu'on a vu à la question précédente (3.a.) donc, g(x) passerait par l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0).



c. u(t) = t³ –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1

Je dresse le tableau de signes de u’(t) :
On a ici un polynôme du second degré donc, du signe de a à l'extérieur des racines... Reste à les calculer...

Delta = b² - 4ac = (-2)² - 4[3 * (-1)] = 4 + 12 = 16

xt₁ = (-b-Racine[Delta]) / 2a = [2 - racine(16)] / 6 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3.
t₂ = (-b+Racine[Delta]) / 2a = [2 + racine(16)] / 6 = (2 + 4)/6 = 6/6 = 1.

Donc, u'(t) sera positive sur ]-Infini ; -1;3[U]1 ; +Infini[ ce qui donne :

(Plus facile à comprendre comme ça --> Désolé c'est t et pas x dans le tableau)

Je dresse donc le tableau de variations de u(t) :

u(t) s'annule donc entre 1.8 et 1.9.

Et voilà pour le moment!
Merci de m'avoir répondu!

Citation :

Désolé mais je dois intercaler où ceci : "Limx-->1 ; x > 1 ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)"

Tu doit calculer cette limite juste avant celle de -1/ln(x) vu quelle va nous servir pour dire que 1/ln(x) tend bien vers +l'infini et donc -1/ln(x) tend vers - l'infinie. Comme tu l'avais fait ne fiat sauf qu'il manque le ln(1)=0⁺ (car c'est le fait que ça soit nul par valeur positive qui permet de conclure pour la limite suivante c'est à dire -1/ln(x) ).

Citation :

I sera une courbe asymptote à C en 0.

La limite qu'on calcule est en +l'infini, donc l'asymptote est en +l'infini .

Citation :

C'est négatif donc I sera au-dessus de C.

Qu'est-ce qui est négatif? F(x)-ln(x) ! Donc f(x)-ln(x)<0 c'està dire que F(x)<ln(x), conclusion?

Citation :

En gros, les coordonnées de l'origine étant (0 ; 0), ça donnerait :
0 = 0*f'(a) - a*f'(a) + f(a) ??

Regarde la question et fini ton calcul, tu vas voir apparaître quelque chose d'intéressant . La rédaction est suffisante en effet!

Citation :

g(x) = 0 signifie que :
f(0) - 0f'(0) = 0 ce ,qu'on a vu à la question précédente (3.a.) donc, g(x) passerait par l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0).

C'est plutôt f(a) - a*f'(a)=0 donc a est solution de notre équation G(x)=0 mais ce n'est pas ce que nous demande .

F(x) et F'(x) sont connues donc G(x) a une expression en fonction de x, donc G(x)=0 est une équation qu'on peut écrire ne fonction de x et de fonctions connues. C'est seulement ça cette question, il s'agit de ré-écrire notre équation sous une autre forme.


Pour déterminer les variation de u c'est beaucoup mieux ! Maintenant, tu justifies commetn que notre fonction u(t) s'annule entre 1,8 et 1,9? Car on ne te demande pas d'arrondie de la solution mais seulement de dire que c'est compris entre ces deux valeurs là.

Bon courage!

Je reprends donc question par question :

1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??

g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :


Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0

ET

V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x

g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²
--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)

DONC :

Erreur d'inattention exactement... Heureusement, les tableaux ne changent pas... Ca confirme l'erreur de recopie

--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :



Car x positif et [color = red]ln(x) positif sur ]1 ; +Infini[/color]
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[

--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


Désolé j'ai pas fait gaffe à l'intervalle...

F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.




2.a.
Lim_{x-> +Infini} f(x) = +Infini
ET
Lim_x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim_x-->+Infini f(x) – ln(x)
Désolé mais je dois intercaler où ceci : "Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)"

--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
et :
Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0
Donc :
lim_x-->+Infini f(x) – ln(x) = lim_x-->+Infini -1/ln(x) = 0

--> Cette courbe aura une asymptote en y = 0 et, I sera une courbe asymptote à C en + Infini.
C'est bizarre sur ma calculatrice, je n'arrive pas à le voir. Je me souviens que quand j'ai fait l'exo j'avais une asymptote en +Infini mais là, je retape f(x) et ln(x) et, je ne trouve plus cette courbe asymptote en +Infini...




b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)

Pour déterminer la position des deux courbes, je dois trouver le signe de f(x) - ln(x) qui est égal à -1/ln(x) (voir question précédente) --> f(x) - ln(x) est négatif donc : f(x)-ln(x) < 0 donc : f(x) < ln(x)donc, I sera au-dessus de C.




3.a. a > 1
équation de tangente :

Citation :

La question réside donc dans le fait de connaître les coordonnée de l'origine et de dire qu'ils vérifient l'équation de la tangente.

En gros, les coordonnées de l'origine étant (0 ; 0), ça donnerait :
0 = 0f'(a) - af'(a) + f(a)
0 = - af'(a) + f(a) --> On retrouve g(x)!




b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.

Citation :

Donc que signifie G(x) = 0? On connaît la forme de G(x) alors allons-y marquons ce que cela signifie.

g(x) = 0 signifie que :
f(0) - 0f'(0) = 0 ce ,qu'on a vu à la question précédente (3.a.) donc, g(x) passerait par l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0).

On sait que g(x) = 0 et que :
g(x) = f(x) - xf'(x)
avec : f(x) = ln(x) - 1/(ln(x)) et F’(x) = (1/x) + [(1/x) / (ln(x))]
donc :
g(x) = [ln(x) - 1/(ln(x))] - x[(1/x) + [(1/x) / (ln(x))]
g(x) = [ln(x) - 1/(ln(x))] -1 + -1/ln(x) = [ln(x) - 1/(ln(x))] - (ln(x)-1)/ln(x)
g(x) = [(ln(x))²-1 / ln(x)] - [(ln(x)-1)/ln(x)] = [(ln(x))² - ln(x) -2] / ln(x)
C'est bien cela?

c. u(t) = t³ –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1

Je dresse le tableau de signes de u’(t) :
On a ici un polynôme du second degré donc, du signe de a à l'extérieur des racines... Reste à les calculer...

Delta = b² - 4ac = (-2)² - 4[3 * (-1)] = 4 + 12 = 16

xt₁ = (-b-Racine[Delta]) / 2a = [2 - racine(16)] / 6 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3.
t₂ = (-b+Racine[Delta]) / 2a = [2 + racine(16)] / 6 = (2 + 4)/6 = 6/6 = 1.

Donc, u'(t) sera positive sur ]-Infini ; -1;3[U]1 ; +Infini[ ce qui donne :

(Plus facile à comprendre comme ça --> Désolé c'est t et pas x dans le tableau)

Je dresse donc le tableau de variations de u(t) :

u(t) s'annule donc entre 1.8 et 1.9.
Pour montrer que ça s'annule entre 1.8 et 1.9, je ne dois pas simplement remplacer t par 1.8 et 1.9?

Citation :

C'est bizarre sur ma calculatrice, je n'arrive pas à le voir. Je me souviens que quand j'ai fait l'exo j'avais une asymptote en +Infini mais là, je retape f(x) et ln(x) et, je ne trouve plus cette courbe asymptote en +Infini...

Pourtant en + l'infini, ln et F se rapproche de plus ne plus l'une de l'autre vu que la limite de la différence est nulle. Donc soit tu as mal tappé sur ta calculatrice, soit tu ne regardes pas assez loin à l'infini.

Citation :

f(x) < ln(x)donc, I sera au-dessus de C.

Tu oses marquer ça? I c'est la courbe de quelle fonction ?

Citation :

F’(x) = (1/x) + [(1/x) / (ln(x))]

Attention tu as oublié un ² et je ne l'avais pas vu mais à la première question aussi pour F'(x), tu as oublié 1/(ln(x))². Ensuite lorsque tu va mettre au même dénominateur, n'oublie pas les multiplications sinon tu ne trouvera pas ce qu'on veut à la fin.

Citation :

Pour montrer que ça s'annule entre 1.8 et 1.9, je ne dois pas simplement remplacer t par 1.8 et 1.9?

C'est tout à fait cela! Donc tu remplaces et qu'est-ce qui te permet de dire que ça s'annule entre els deux lorsque tu calcules u(1,8) et u(1,9) ?

Bon courage!

1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??

g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :


Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0

ET

V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x

g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²
--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)

DONC :

Erreur d'inattention exactement... Heureusement, les tableaux ne changent pas... Ca confirme l'erreur de recopie

--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :



Car x positif et [color = red]ln(x) positif sur ]1 ; +Infini[/color]
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[

--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


Désolé j'ai pas fait gaffe à l'intervalle...

F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.




2.a.
Lim_{x-> +Infini} f(x) = +Infini
ET
Lim_x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim_x-->+Infini f(x) – ln(x)
Désolé mais je dois intercaler où ceci : "Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)"

--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
et :
Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0
Donc :
lim_x-->+Infini f(x) – ln(x) = lim_x-->+Infini -1/ln(x) = 0

--> Cette courbe aura une asymptote en y = 0 et, I sera une courbe asymptote à C en + Infini.
C'est bizarre sur ma calculatrice, je n'arrive pas à le voir. Je me souviens que quand j'ai fait l'exo j'avais une asymptote en +Infini mais là, je retape f(x) et ln(x) et, je ne trouve plus cette courbe asymptote en +Infini...




b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)

Pour déterminer la position des deux courbes, je dois trouver le signe de f(x) - ln(x) qui est égal à -1/ln(x) (voir question précédente) --> f(x) - ln(x) est négatif donc : f(x)-ln(x) < 0 donc : f(x) < ln(x)donc, I sera au-dessus de C.
[color = blue]I est la courbe de ln(x)[/color]




3.a. a > 1
équation de tangente :

Citation :

La question réside donc dans le fait de connaître les coordonnée de l'origine et de dire qu'ils vérifient l'équation de la tangente.

En gros, les coordonnées de l'origine étant (0 ; 0), ça donnerait :
0 = 0f'(a) - af'(a) + f(a)
0 = - af'(a) + f(a) --> On retrouve g(x)!




b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.

Citation :

Donc que signifie G(x) = 0? On connaît la forme de G(x) alors allons-y marquons ce que cela signifie.

g(x) = 0 signifie que :
f(0) - 0f'(0) = 0 ce ,qu'on a vu à la question précédente (3.a.) donc, g(x) passerait par l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0).

Citation :

Attention tu as oublié un ² et je ne l'avais pas vu mais à la première question aussi pour F'(x), tu as oublié 1/(ln(x))²

On sait que g(x) = 0 et que :
g(x) = f(x) - xf'(x)
avec : f(x) = ln(x) - 1/(ln(x)) et F’(x) = (1/x) + [(1/x) / (ln(x))[color=blue]²]
Le carré est juste sur le (ln(x))?
[Note : Penser à rectifier à la question 1]





c. u(t) = t³ –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1

Je dresse le tableau de signes de u’(t) :
On a ici un polynôme du second degré donc, du signe de a à l'extérieur des racines... Reste à les calculer...

Delta = b² - 4ac = (-2)² - 4[3 * (-1)] = 4 + 12 = 16

xt₁ = (-b-Racine[Delta]) / 2a = [2 - racine(16)] / 6 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3.
t₂ = (-b+Racine[Delta]) / 2a = [2 + racine(16)] / 6 = (2 + 4)/6 = 6/6 = 1.

Donc, u'(t) sera positive sur ]-Infini ; -1;3[U]1 ; +Infini[ ce qui donne :

(Plus facile à comprendre comme ça --> Désolé c'est t et pas x dans le tableau)

Je dresse donc le tableau de variations de u(t) :

Je dois prouver que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9 : la courbe étant strictement croissante sur ]1 ; +Infini[, cela donnera un point "d'annulation" :

u(1.8) = -0.208
u(1.9) = 0.349
La stricte croissance de u(t) prouve ainsi que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9.

Citation :

Le carré est juste sur le (ln(x))?

Oui car la dérivée de 1/u est -u'/u²

Citation :

u(1.8) = -0.208
u(1.9) = 0.349
La stricte croissance de u(t) prouve ainsi que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9.

Par croissance (sans obligatoirement être stricte en fait) vu que les deux sont de signe opposé cela suffit pour conclure tout simplement.

Alors maintenant pour la d) une idée? Quel est le lien entre G et U ?

1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??

g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :


Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0

ET

V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x

g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²
--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)

DONC :

Erreur d'inattention exactement... Heureusement, les tableaux ne changent pas... Ca confirme l'erreur de recopie

--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :



Car x positif et [color = red]ln(x) positif sur ]1 ; +Infini[/color]
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[

--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


Désolé j'ai pas fait gaffe à l'intervalle...

F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.




2.a.
Lim_{x-> +Infini} f(x) = +Infini
ET
Lim_x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim_x-->+Infini f(x) – ln(x)
Désolé mais je dois intercaler où ceci : "Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)"

--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
et :
Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0
Donc :
lim_x-->+Infini f(x) – ln(x) = lim_x-->+Infini -1/ln(x) = 0

--> Cette courbe aura une asymptote en y = 0 et, I sera une courbe asymptote à C en + Infini.
C'est bizarre sur ma calculatrice, je n'arrive pas à le voir. Je me souviens que quand j'ai fait l'exo j'avais une asymptote en +Infini mais là, je retape f(x) et ln(x) et, je ne trouve plus cette courbe asymptote en +Infini...




b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)

Pour déterminer la position des deux courbes, je dois trouver le signe de f(x) - ln(x) qui est égal à -1/ln(x) (voir question précédente) --> f(x) - ln(x) est négatif donc : f(x)-ln(x) < 0 donc : f(x) < ln(x)donc, I sera au-dessus de C.
I est la courbe de ln(x)




3.a. a > 1
équation de tangente :

Citation :

La question réside donc dans le fait de connaître les coordonnée de l'origine et de dire qu'ils vérifient l'équation de la tangente.

En gros, les coordonnées de l'origine étant (0 ; 0), ça donnerait :
0 = 0f'(a) - af'(a) + f(a)
0 = - af'(a) + f(a) --> On retrouve g(x)!




b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.

Citation :

Donc que signifie G(x) = 0? On connaît la forme de G(x) alors allons-y marquons ce que cela signifie.

g(x) = 0 signifie que :
f(0) - 0f'(0) = 0 ce ,qu'on a vu à la question précédente (3.a.) donc, g(x) passerait par l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0).

On sait que g(x) = 0 et que :
g(x) = f(x) - xf'(x)
avec : f(x) = ln(x) - 1/(ln(x)) et F’(x) = (1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]
donc :
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]]
g(x) = [(ln(x))² - 1 / ln(x)] - [(1/x) * (ln(x))² + (1/x)] / (ln(x))²
g(x) = [(ln(x))² - 1 / ln(x)] - [ ((ln(x))² + 1)/x / (ln(x))²]
g(x) = [[(ln(x))² - 1]ln(x)] / (ln(x))² - [ ((ln(x))² + 1)/x / (ln(x))²]
g(x) = [(ln(x))³ - ln(x) - ((ln(x))² + 1)/x] / (ln(x))²
g(x) = [([ (ln(x))³ - ln(x))x - (ln(x))² + 1] / x) / x] / (ln(x))²
g(x) = ([x(ln(x))³ - xln(x) - (ln(x))² + 1] / x) / (ln(x))²


c. u(t) = t³ –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1

Je dresse le tableau de signes de u’(t) :
On a ici un polynôme du second degré donc, du signe de a à l'extérieur des racines... Reste à les calculer...

Delta = b² - 4ac = (-2)² - 4[3 * (-1)] = 4 + 12 = 16

xt₁ = (-b-Racine[Delta]) / 2a = [2 - racine(16)] / 6 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3.
t₂ = (-b+Racine[Delta]) / 2a = [2 + racine(16)] / 6 = (2 + 4)/6 = 6/6 = 1.

Donc, u'(t) sera positive sur ]-Infini ; -1;3[U]1 ; +Infini[ ce qui donne :

(Plus facile à comprendre comme ça --> Désolé c'est t et pas x dans le tableau)

Je dresse donc le tableau de variations de u(t) :

Je dois prouver que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9 : la courbe étant strictement croissante sur ]1 ; +Infini[, cela donnera un point "d'annulation" :

u(1.8) = -0.208
u(1.9) = 0.349
La stricte croissance de u(t) prouve ainsi que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9.


d. On a vu que pour un certain x, g(x) = u(x) = 0.

Citation :

g(x) = f(x) - xf'(x)
avec : f(x) = ln(x) - 1/(ln(x)) et F’(x) = (1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]
donc :
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]]

Attention: g(x) = f(x) - x*f'(x)


Pour la d), on n'a pas vu qu'il existait un x tel que g(x)=u(x)=0. En effet, on a vu que:

g(x)=0 <=> [Ln(x)]³ - [Ln(x)]² - Ln(x) - 1 =0 <=> (en utilisant u) ????


Bon courage!

1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??

g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :


Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0

ET

V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x

g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²
--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)

DONC :

Erreur d'inattention exactement... Heureusement, les tableaux ne changent pas... Ca confirme l'erreur de recopie

--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :



Car x positif et [color = red]ln(x) positif sur ]1 ; +Infini[/color]
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[

--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


Désolé j'ai pas fait gaffe à l'intervalle...

F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.




2.a.
Lim_{x-> +Infini} f(x) = +Infini
ET
Lim_x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim_x-->+Infini f(x) – ln(x)
Désolé mais je dois intercaler où ceci : "Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)"

--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
et :
Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0
Donc :
lim_x-->+Infini f(x) – ln(x) = lim_x-->+Infini -1/ln(x) = 0

--> Cette courbe aura une asymptote en y = 0 et, I sera une courbe asymptote à C en + Infini.
C'est bizarre sur ma calculatrice, je n'arrive pas à le voir. Je me souviens que quand j'ai fait l'exo j'avais une asymptote en +Infini mais là, je retape f(x) et ln(x) et, je ne trouve plus cette courbe asymptote en +Infini...




b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)

Pour déterminer la position des deux courbes, je dois trouver le signe de f(x) - ln(x) qui est égal à -1/ln(x) (voir question précédente) --> f(x) - ln(x) est négatif donc : f(x)-ln(x) < 0 donc : f(x) < ln(x)donc, I sera au-dessus de C.
I est la courbe de ln(x)




3.a. a > 1
équation de tangente :

Citation :

La question réside donc dans le fait de connaître les coordonnée de l'origine et de dire qu'ils vérifient l'équation de la tangente.

En gros, les coordonnées de l'origine étant (0 ; 0), ça donnerait :
0 = 0f'(a) - af'(a) + f(a)
0 = - af'(a) + f(a) --> On retrouve g(x)!




b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.

Citation :

Donc que signifie G(x) = 0? On connaît la forme de G(x) alors allons-y marquons ce que cela signifie.

g(x) = 0 signifie que :
f(0) - 0f'(0) = 0 ce ,qu'on a vu à la question précédente (3.a.) donc, g(x) passerait par l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0).

On sait que g(x) = 0 et que :
g(x) = f(x) - xf'(x)
avec : f(x) = ln(x) - 1/(ln(x)) et F’(x) = (1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]
donc :
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - x[(1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(x/x) + [(x/x) / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(1 + [1 / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = ln(x) - ln(x)/(ln(x))² - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ / (ln(x))² - ln(x)/(ln(x))² - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ - ln(x) - (ln(x))² + 1 / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ - (ln(x))² - ln(x) + 1 / (ln(x))²

Ca semble correct cette fois-ci.

c. u(t) = t³ –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1

Je dresse le tableau de signes de u’(t) :
On a ici un polynôme du second degré donc, du signe de a à l'extérieur des racines... Reste à les calculer...

Delta = b² - 4ac = (-2)² - 4[3 * (-1)] = 4 + 12 = 16

xt₁ = (-b-Racine[Delta]) / 2a = [2 - racine(16)] / 6 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3.
t₂ = (-b+Racine[Delta]) / 2a = [2 + racine(16)] / 6 = (2 + 4)/6 = 6/6 = 1.

Donc, u'(t) sera positive sur ]-Infini ; -1;3[U]1 ; +Infini[ ce qui donne :

(Plus facile à comprendre comme ça --> Désolé c'est t et pas x dans le tableau)

Je dresse donc le tableau de variations de u(t) :

Je dois prouver que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9 : la courbe étant strictement croissante sur ]1 ; +Infini[, cela donnera un point "d'annulation" :

u(1.8) = -0.208
u(1.9) = 0.349
La stricte croissance de u(t) prouve ainsi que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9.


d. On a vu que :

g(x)=0 <=> [Ln(x)]3 - [Ln(x)]² - Ln(x) - 1 =0 <=> t³ - t² - t - 1 = 0

Citation :

g(x) = (ln(x))3 / (ln(x))² - ln(x)/(ln(x))² - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))3 - ln(x) - (ln(x))² - 1 / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))3 - (ln(x))² - ln(x) - 1 / (ln(x))²

Ca semble correct cette fois-ci.

C'était presque correcte mis à part la légère erreur de signe. Donc maintenant qu'on a une expression de G(x), il faut revenir à la question qu'on nous pose peut-être:

G(x)=0 <=> ???


Pour la question suivante:

Citation :

[Ln(x)]³ - [Ln(x)]² - Ln(x) - 1 =0 <=> t³ - t² - t - 1 = 0

Ceci est presque vrai car pour avoir une parfaite équivalence il faut dire à quoi est égale t à droite de celle-ci pour avoir le lien entre t et x sinon il n'y aura pas d'équivalence ici.

On y est presque là!

1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??

g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :


Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0

ET

V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x

g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²
--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)

DONC :

Erreur d'inattention exactement... Heureusement, les tableaux ne changent pas... Ca confirme l'erreur de recopie

--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :



Car x positif et [color = red]ln(x) positif sur ]1 ; +Infini[/color]
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[

--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


Désolé j'ai pas fait gaffe à l'intervalle...

F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.




2.a.
Lim_{x-> +Infini} f(x) = +Infini
ET
Lim_x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim_x-->+Infini f(x) – ln(x)
Désolé mais je dois intercaler où ceci : "Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)"

--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
et :
Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0
Donc :
lim_x-->+Infini f(x) – ln(x) = lim_x-->+Infini -1/ln(x) = 0

--> Cette courbe aura une asymptote en y = 0 et, I sera une courbe asymptote à C en + Infini.
C'est bizarre sur ma calculatrice, je n'arrive pas à le voir. Je me souviens que quand j'ai fait l'exo j'avais une asymptote en +Infini mais là, je retape f(x) et ln(x) et, je ne trouve plus cette courbe asymptote en +Infini...




b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)

Pour déterminer la position des deux courbes, je dois trouver le signe de f(x) - ln(x) qui est égal à -1/ln(x) (voir question précédente) --> f(x) - ln(x) est négatif donc : f(x)-ln(x) < 0 donc : f(x) < ln(x)donc, I sera au-dessus de C.
I est la courbe de ln(x)




3.a. a > 1
équation de tangente :

Citation :

La question réside donc dans le fait de connaître les coordonnée de l'origine et de dire qu'ils vérifient l'équation de la tangente.

En gros, les coordonnées de l'origine étant (0 ; 0), ça donnerait :
0 = 0f'(a) - af'(a) + f(a)
0 = - af'(a) + f(a) --> On retrouve g(x)!




b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.

Citation :

Donc que signifie G(x) = 0? On connaît la forme de G(x) alors allons-y marquons ce que cela signifie.

g(x) = 0 signifie que :
f(0) - 0f'(0) = 0 ce ,qu'on a vu à la question précédente (3.a.) donc, g(x) passerait par l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0).

On sait que g(x) = 0 et que :
g(x) = f(x) - xf'(x)
avec : f(x) = ln(x) - 1/(ln(x)) et F’(x) = (1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]
donc :
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - x[(1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(x/x) + [(x/x) / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(1 + [1 / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = ln(x) - ln(x)/(ln(x))² - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ / (ln(x))² - ln(x)/(ln(x))² - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ - ln(x) - (ln(x))² - 1 / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ - (ln(x))² - ln(x) - 1 / (ln(x))²

G(x)=0 <=> (ln(x))³ - (ln(x))² - ln(x) - 1 / (ln(x))² = 0

c. u(t) = t³ –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1

Je dresse le tableau de signes de u’(t) :
On a ici un polynôme du second degré donc, du signe de a à l'extérieur des racines... Reste à les calculer...

Delta = b² - 4ac = (-2)² - 4[3 * (-1)] = 4 + 12 = 16

xt₁ = (-b-Racine[Delta]) / 2a = [2 - racine(16)] / 6 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3.
t₂ = (-b+Racine[Delta]) / 2a = [2 + racine(16)] / 6 = (2 + 4)/6 = 6/6 = 1.

Donc, u'(t) sera positive sur ]-Infini ; -1;3[U]1 ; +Infini[ ce qui donne :

(Plus facile à comprendre comme ça --> Désolé c'est t et pas x dans le tableau)

Je dresse donc le tableau de variations de u(t) :

Je dois prouver que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9 : la courbe étant strictement croissante sur ]1 ; +Infini[, cela donnera un point "d'annulation" :

u(1.8) = -0.208
u(1.9) = 0.349
La stricte croissance de u(t) prouve ainsi que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9.


d. On a vu que :

g(x)=0 <=> [Ln(x)]3 - [Ln(x)]² - Ln(x) - 1 =0 <=> t³ - t² - t - 1 = 0
avec t = ln(x)

Ok ça marche!

Donc vu que u(t)=0 possède une unique solution b comprise entre 1,8 et 1,9. Alors il existe un unique x strictement plus grand que 1 tel que t=Ln(x) <=> x=e^t.

Donc G(x)=0 admet une unique solution pour x plus grand que 1 (car n'oublions pas que notre fonction est définie pour x plus grand que 1).

Et donc l'encadrement de notre x est lequel?

1. Je dois calculer f’(x) avec :
--> dérivée de ln(x) = 1/x
--> dérivée de -1/ln(x) = ??

g(x) = -1/ln(x) de type « u/v » donc :


Avec :
U(x) = -1
U’(x) = 0

ET

V(x) = ln(x)
V’(x) = 1/x

g’(x) = [0 * ln(x) - (-1 * (1/x))] / [ln(x)]²
g’(x) = (1/x) / [ln(x)]²
--> On aurait pu le faire aussi sous la forme « 1/w » (plus rapide)

DONC :

Erreur d'inattention exactement... Heureusement, les tableaux ne changent pas... Ca confirme l'erreur de recopie

--> Je dresse donc le tableau de signes de f’(x) :



Car x positif et [color = red]ln(x) positif sur ]1 ; +Infini[/color]
Donc :
F’(x) positive sur ]1 ; + Infini[

--> J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


Désolé j'ai pas fait gaffe à l'intervalle...

F(x) sera donc croissante sur ]1 ; +Infini[.




2.a.
Lim_{x-> +Infini} f(x) = +Infini
ET
Lim_x-->+Infini ln(x) = +Infini
On a ici une forme indéterminée de type « Infini – Infini » pour lim_x-->+Infini f(x) – ln(x)
Désolé mais je dois intercaler où ceci : "Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0 (sinon on ne comprend pas la limite suivante)"

--> Je dois lever l’indétermination :
F(x) – ln(x) = ln(x) – 1/ln(x) - ln(x)
F(x) – ln(x) = - 1/ln(x)
et :
Lim_{x-->1 ; x > 1} ln(x) = ln(1)=0
Donc :
lim_x-->+Infini f(x) – ln(x) = lim_x-->+Infini -1/ln(x) = 0

--> Cette courbe aura une asymptote en y = 0 et, I sera une courbe asymptote à C en + Infini.
C'est bizarre sur ma calculatrice, je n'arrive pas à le voir. Je me souviens que quand j'ai fait l'exo j'avais une asymptote en +Infini mais là, je retape f(x) et ln(x) et, je ne trouve plus cette courbe asymptote en +Infini...




b.
C est la courbe de f(x)
I est la courbe de ln(x)

Pour déterminer la position des deux courbes, je dois trouver le signe de f(x) - ln(x) qui est égal à -1/ln(x) (voir question précédente) --> f(x) - ln(x) est négatif donc : f(x)-ln(x) < 0 donc : f(x) < ln(x)donc, I sera au-dessus de C.
I est la courbe de ln(x)




3.a. a > 1
équation de tangente :

Citation :

La question réside donc dans le fait de connaître les coordonnée de l'origine et de dire qu'ils vérifient l'équation de la tangente.

En gros, les coordonnées de l'origine étant (0 ; 0), ça donnerait :
0 = 0f'(a) - af'(a) + f(a)
0 = - af'(a) + f(a) --> On retrouve g(x)!




b. g(x) = f(x) – xf’(x) pour x appartient ]1 ; +Infini[.

Citation :

Donc que signifie G(x) = 0? On connaît la forme de G(x) alors allons-y marquons ce que cela signifie.

g(x) = 0 signifie que :
f(0) - 0f'(0) = 0 ce ,qu'on a vu à la question précédente (3.a.) donc, g(x) passerait par l'origine du repère de coordonnées (0 ; 0).

On sait que g(x) = 0 et que :
g(x) = f(x) - xf'(x)
avec : f(x) = ln(x) - 1/(ln(x)) et F’(x) = (1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]
donc :
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - x[(1/x) + [(1/x) / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(x/x) + [(x/x) / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(1 + [1 / (ln(x))²]]
g(x) = (ln(x) - 1/(ln(x)) - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = ln(x) - ln(x)/(ln(x))² - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ / (ln(x))² - ln(x)/(ln(x))² - [(ln(x))² + 1] / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ - ln(x) - (ln(x))² - 1 / (ln(x))²
g(x) = (ln(x))³ - (ln(x))² - ln(x) - 1 / (ln(x))²

G(x)=0 <=> (ln(x))³ - (ln(x))² - ln(x) - 1 / (ln(x))² = 0

c. u(t) = t³ –t² -t -1
u’(t) = 3t² - 2t -1

Je dresse le tableau de signes de u’(t) :
On a ici un polynôme du second degré donc, du signe de a à l'extérieur des racines... Reste à les calculer...

Delta = b² - 4ac = (-2)² - 4[3 * (-1)] = 4 + 12 = 16

xt₁ = (-b-Racine[Delta]) / 2a = [2 - racine(16)] / 6 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3.
t₂ = (-b+Racine[Delta]) / 2a = [2 + racine(16)] / 6 = (2 + 4)/6 = 6/6 = 1.

Donc, u'(t) sera positive sur ]-Infini ; -1;3[U]1 ; +Infini[ ce qui donne :

(Plus facile à comprendre comme ça --> Désolé c'est t et pas x dans le tableau)

Je dresse donc le tableau de variations de u(t) :

Je dois prouver que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9 : la courbe étant strictement croissante sur ]1 ; +Infini[, cela donnera un point "d'annulation" :

u(1.8) = -0.208
u(1.9) = 0.349
La stricte croissance de u(t) prouve ainsi que u(t) s'annule entre 1.8 et 1.9.


d. On a vu que :

g(x)=0 <=> [Ln(x)]3 - [Ln(x)]² - Ln(x) - 1 =0 <=> t³ - t² - t - 1 = 0
avec t = ln(x)

Citation :

Donc vu que u(t)=0 possède une unique solution b comprise entre 1,8 et 1,9. Alors il existe un unique x strictement plus grand que 1 tel que t=Ln(x) <=> x=et.

Donc G(x)=0 admet une unique solution pour x plus grand que 1 (car n'oublions pas que notre fonction est définie pour x plus grand que 1).

On aura donc :

e¹ < g(x) à ce que j'ai compris mais c'est pas complet...

Ce qu'on veut c'est un encadrement de x pour que G(x)=0 sachant que si t est compris entre 1.8 et 1.9 alors U(t)=0 et t=Ln(x) (d'après l'équivalence qu'on a écrit).

Il faudra pas annuler les ln(x) avec des exponentielles?

Nous ce qu'on dispose c'est:

1.8<t<1.9 et t=Ln(x)

Et on veut un encadrement de la solution G(x)=0 c'est à dire un encadrement de x. Il y a donc besoin de l'exponentielle quelque part en effet.

1.8<t<1.9 et t=Ln(x)
e^1.8 < e^ln(x) < e^1.9
e^1.8 < x < e^1.9

C'est tout à fait ça !

Pour la dernière question, il s'agit d'une lecture graphique. Il faut donc tracer C et regarder combien il y a d'intersection avec la droite d'équation y=m*x en foncvtion de la valeur de m.

Bon courage pour finaliser cette exercice!

Dernière chose :
Pour tracer y = mx je fais comment vu que j'ai deux inconnues?

Tu n'as qu'une seule inconnue, c'est m en fait.

ET m c'est le coefficient directeur de ta droite linéaire. Et on te dit de regarder l'ensemble des solution dans l'intervalle ]1;10] donc x est pris dans cette portion là (il en sert à rien de tracer la courbe plus loin).

A partir de là tu traces plusieurs droite y=m*x en fonction des cas pour montrer que tu as compris en fait. Si il a 3 possibilités (par exemple, je n'ai pas vérifié):

- pas d'intersection
- 1 seule intersection
- 2 intersections

Et bien tu traces 3 droites en montrant bien les trois cas et tu donnes les intervalles de m où il y a tel ou tel cas.

Est-ce que tu comprends le principe de ce genre de question ou pas du tout ?

Je prends x entre 1.8 et 1.9 donc mais sinon... je capte pas trop désolé...

Nous sommes bien à la question 4)Il faut prendre x entre 1 et 10 donc.

Et après, il s'agit de tracer quelques droites d'équation y=m*x pour certain valeur de m voir quand il y a des solutions (si oui quand il y en a une, deux, ..) et quand il n'y en a pas.

Il s'agit juste de savoir déduire à partir d'un graphique certaine propriété sans pour autant avoir des solutions exactes.


Un peu de concret:

Concrètement cela permet de pouvoir faire des hypothèse et ainsi rechercher plus facilement à l'aide d'ordinateur et de procédé numérique les solutions de cette équation par exemple.

En espérant que ceci soit plus clair.

Yep!
Je pense avoir compris l'intérêt de la question!
En tout cas merci pour tout et pour ton aide sur cet exo et les autres!