[Term S-ES-T] Les Limites

1) Pour chaque fonction, donner leur limite quand x tend vers 0 par valeur positive puis quand x tend vers +∞ :

a) f(x)= x^5 + 3x² + 3

b) f(x)= (x²)*(2/x^3)

c) f(x)= (1/x)*(racine de x) + 2

d) f(x)= -8x²+2x+3

e) f(x)= (2x²+3x+1)/(x²+1)

2) Reprendre les fonctions précédentes et calculer leur limite quand x tend vers -1 puis quand x tend vers -∞


Je vous propose le barème suivant: 2 points pour chaque limite.

Bon courage à toutes et tous et n'hésitez pas à poser vos questions!

@bientôt au sein du forum!

Bonjour,
Je tente le coup ^^. J'utilise ici à plusieurs reprises le théorème de plus haut degrés, car je le retrouve dans mes livres. Mais s'il vaut mieux ne pas l'utiliser, je peux essayer de trouver ces limites sans y avoir recours.

1. Pour chaque fonction, on cherche à calculer leur limite quand x tend vers 0 par valeur positive puis quand x tend vers +∞ :

a) f(x) = x^5 + 3x² + 3

lim_x->0⁺ [f(x)] = lim_x->0⁺ (x^5 + 3x² + 3) = 3
lim_x->+∞ [f(x)] = lim_x->+∞ (x^5 + 3x² + 3) = lim_x->+∞ (x^5) = +∞

b) f(x) = (x²)*(2/x^3) = 2x²/x^3 = 2/x

lim_x->0⁺ [f(x)] = lim_x->0⁺ (2/x) = +∞
lim_x->+∞ [f(x)] = lim_x->+∞ (2/x) = 0

c) f(x) = (1/x)*√(x) + 2 = √(x)/x + 2 = √(x)/[√(x) * √(x)] + 2 = 1/√(x) + 2

lim_x->0⁺ [f(x)] = lim_x->0⁺ (1/√(x) + 2)
or lim_x->0⁺ √(x) = 0 donc lim_x->0⁺ (1/√(x)) = +∞
et lim_x->0⁺ 2 = 2
donc, par somme, lim_x->0⁺ [f(x)] = lim_x->0⁺ (1/√(x) + 2) = +∞

lim_x->+∞ [f(x)] = lim_x->+∞ (1/√(x) + 2)
or lim_x->+∞ √(x) = +∞ donc lim_x->+∞ (1/√(x)) = 0
et lim_x->+∞ 2 = 2
donc, par somme, lim_x->+∞ [f(x)] = lim_x->+∞ (1/√(x) + 2) = 2

d) f(x) = -8x²+2x+3

lim_x->0⁺ [f(x)] = lim_x->0⁺ (-8x²+2x+3) = 3
lim_x->+∞ [f(x)] = lim_x->+∞ (-8x²+2x+3) = lim_x->+∞ (-8x²) = -∞

e) f(x) = (2x²+3x+1)/(x²+1)

lim_x->0⁺ [f(x)] = lim_x->0⁺ (2x²+3x+1)/(x²+1)
or lim_x->0⁺ (2x²+3x+1) = 1
et lim_x->0⁺ (x²+1) = 1
donc, par quotient, lim_x->0⁺ [f(x)] = lim_x->0⁺ (2x²+3x+1)/(x²+1) = 1

lim_x->+∞ [f(x)] = lim_x->+∞ (2x²+3x+1)/(x²+1) = lim_x->+∞ (2x²/x²) = 2

2. Pour chaque fonction, on cherche à calculer leur limite quand x tend vers -1 puis quand x tend vers -∞ :

a) f(x) = x^5 + 3x² + 3

lim_x->-1 [f(x)] = lim_x->-1 (x^5 + 3x² + 3) = 5
lim_x->-∞ [f(x)] = lim_x->-∞ (x^5 + 3x² + 3) = lim_x->-∞ (x^5) = -∞

b) f(x) = (x²)*(2/x^3) = 2x²/x^3 = 2/x

lim_x->-1 [f(x)] = lim_x->-1 (2/x) = -2
lim_x->-∞ [f(x)] = lim_x->-∞ (2/x) = 0

c) f(x) = (1/x)*√(x) + 2 = √(x)/x + 2 = √(x)/[√(x) * √(x)] + 2 = 1/√(x) + 2

Là j'ai un petit problème : la fonction racine carrée est définie sur R₊, donc x ne peut pas tendre vers -1. De même pour -∞.
Donc je dirais que c'est impossible, que f(x) n'admet pas de limite en -1 et en -∞.
A-t-on le droit d'écrire lim_x->-1 [f(x)] = ∅ , par exemple ?

d) f(x) = -8x²+2x+3

lim_x->-1 [f(x)] = lim_x->-1 (-8x²+2x+3) = -7
lim_x->-∞ [f(x)] = lim_x->-∞ (-8x²+2x+3) = lim_x->-∞ (-8x²) = -∞

e) f(x) = (2x²+3x+1)/(x²+1)

lim_x->-1 [f(x)] = lim_x->-1 (2x²+3x+1)/(x²+1)
or lim_x->-1 (2x²+3x+1) = 0
et lim_x->-1 (x²+1) = 1
donc, par quotient, lim_x->-1 [f(x)] = lim_x->-1 (2x²+3x+1)/(x²+1) = 0

lim_x->-∞ [f(x)] = lim_x->-∞ (2x²+3x+1)/(x²+1) = lim_x->-∞ (2x²/x²) = 2

Je vous remercie d'avance,
Scientia

Bonsoir,

C'est excellent!

Il serait intéressant que tu sache d'où provient ce que tu appelles 'le théorème du plus haut degré' sur une des fonctions par exemple. Il faut comprendre à partir d'un moment que les mathématiques ne sont pas qu'une application de recette mais bien une application de chose qui se démontre. C'est d'ailleurs un des avantages qui permet d'aller plus loin dans la compréhension des sciences naturelles et des maths car le but réside dans les démonstrations pour ce qui est des maths et donc des applications en sciences naturelles.
L'autre avantage étant de ne pas saturer ta mémoire en recette par coeur aussi car avec le stress et les autres matières, il est préférables d'avoir des idées du chemin menant au résultat car cela aide à mémoriser le résultat lui-même.

Là j'ai un petit problème : la fonction racine carrée est définie sur R+, donc x ne peut pas tendre vers -1. De même pour -∞.
Donc je dirais que c'est impossible, que f(x) n'admet pas de limite en -1 et en -∞.
A-t-on le droit d'écrire limx->-1 [f(x)] = ∅ , par exemple ?

On ne marque pas l'ensemble vide mais on dit simplement qu'on ne peut chercher la limite d'une fonction que sur sont ensemble de définition et sur les bornes de celui-ci.
Pourquoi ? A cause du problème de continuité !!!! En effet pour tendre vers une valeur il faut que la fonction admette des images autour de la valeur recherchée. Il s'agit en fait du gros problème du lycée qui ne définit pas réellement ce qu'est une limite et du coup, on a l'impression qu'on apprend par coeur des résultats et qu'on les applique tout simplement alors qu'il y a de grosses notions situées en dessous et ici, il s'agit de la continuité de F autour de la valeur recherchée. Alors le "autour de" est vague car une limite en l'infini, on ne va pas faire le tour et de même pour une limite en 0 de la fonction inverse d'ailleurs. Mais il faut au moins qu'on puisse "tendre" c'est à dire se rapprocher par un côté (l'avantage de l'ensemble des réels est qu'il s'agit d'un ensemble ordonné qu'on représente le plus souvent par une droite du coup !!).

Bonne continuation et encore très bon boulot pour cette exercice!

Bonjour,

Merci !

Pour le théorème du plus haut degré, j'ai cherché sur internet, et je n'ai pas trouvé de démonstration ou même d'explications ...

Ce théorème aurait-il un autre nom ?

En classe, on avait rapidement vu ce théorème dans le cadre de l'étude de suites, et j'ai retenu que le terme du plus haut degré étant celui qui avait la variation la plus conséquente quand on faisait tendre l'inconnue vers l'infini, on peut négliger le restant des monômes.

Si cette démonstration est abordable par un élève sortant de 1èreS, pouvez-vous me donner une piste ?

Merci beaucoup,
Scientia

Bonsoir,

Désolé du décalage mais comme bien du monde je suis parti en vacances loin d'une connexion viable .

Donc ce théorème ne porte pas de nom, on l'applique tout simplement et il s'agirait plus d'une propriété que d'un théorème mais je ne vais pas chipoter sur les mots cela n'avance à pas grand chose voire à rien pour ici.

Comment, il se démontre pourra te servir et sa démonstration est très simple dès qu'on a compris l'idée.

En effet, si je prend le polynôme P tel que pour tout réel x, on a: P(x) = x² + b*x + c

Si, on suit la logique du théorème, on doit dire que P(x) aurait la même limite que la fonction F définie sur R par F(x)=x² lorsque x tend vers plus ou moins l'infini.

Pour la démonstration, je vais te mettre sur la voie simplement:
1) Quelle est la limite lorsque x tend vers plus l'infini de la fonction G définie sur R\{0} par G(x)= 1/x ?
2) Pour un entier relatif n différent de 0, quelle est la limite lorsque x tend vers plus l'infini de la fonction H définie sur R\{0} par H(x)= 1/xⁿ ?

3) En déduire, la limite de P(x) lorsque x tend vers plus l'infini sans utiliser la propriété sur le degré.

Bon courage!

Bonjour,

J'avoue qu'à première vue, le lien entre x² et 1/x ne me paraissait pas évident ... ^^, mais j'ai eu une idée, reste à savoir si c'est la bonne.

Je commence d'abord par les trois questions que vous avez posées :

1) lim_x->+∞ 1/x = 0

2) n∈Z^*
si n>0, alors lim_x->+∞ 1/xⁿ = 0
si n<0, alors -n>0, et lim_x->+∞ 1/xⁿ = lim_x->+∞ x^-n = +∞

3) P(x) = x² + bx + c = x² (1 +b/x + c/x²)
Or lim_x->+∞ b/x = lim_x->+∞ c/x² = 0, et lim_x->+∞ 1 = 1, donc par somme, lim_x->+∞ (1 + b/x + c/x²) = 1
De même, lim_x->+∞ x² = +∞, donc par produit, lim_x->+∞ x² (1 +b/x + c/x²) = +∞
Finalement, lim_x->+∞ [P(x)] = lim_x->+∞ [F(x)] = +∞

D'où les gribouillis qui suivent :

Genérlisation

Soit f la fonction polynomiale définie sur R par f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₁x¹ + a₀x⁰, avec a_n, a_n-1,a_n-2, ... , a₁,a₀ des réels, a_nxⁿ ≠ 0 et n∈N

Factorisons par xⁿ : f(x) = xⁿ[a_n+ a_n-1/x + a_n-2/x² + ... + a₁/x^n-1 + a₀/xⁿ]

Or lim_x->+∞ [a_n+ a_n-1/x + a_n-2/x² + ... + a₁/x^n-1 + a₀/xⁿ]
= lim_x->+∞ [a_n+ a_n-1*1/x + a_n-2*1/x² + ... + a₁*1/x^n-1 + a₀*1/xⁿ] ; puis, par produit :
= lim_x->+∞ [a_n+ a_n-1*0 + a_n-2*0 + ... + a₁*0 + a₀*0]
= lim_x->+∞ a_n
= a_n

De plus, lim_x->+∞ xⁿ = +∞

Finalement, par produit :
lim_x->+∞ xⁿ[a_n+ a_n-1/x + a_n-2/x² + ... + a₁/x^n-1 + a₀/xⁿ]
= lim_x->+∞ a_nxⁿ

Si a_n < 0 (on suppose que le signe est porté par a_n), lim_x->+∞[f(x)] = lim_x->+∞a_nxⁿ = -∞
Si a_n > 0, lim_x->+∞ [f(x)] = lim_x->+∞a_nxⁿ = +∞

On procède de même si x tend vers -∞.

Conclusion : La limite d'un polynôme en +∞ et en -∞ est celle de son terme de plus haut degré.

Pour les fonctions rationnelles, je pense qu'il faut juste ajouter une fonction rationnelle p et une autre fonction polynomiale :
Soit g la fonction polynomiale définie sur R par f(x) = b_mx^m + b_m-1x^m-1 + b_m-2x^m-2 + ... + b₁x¹ + b₀x⁰, avec b_m, b_m-1,b_m-2, ... , b₁,b₀ des réels, b_mx^m ≠ 0 et m∈N
On a : p = f/g

Comme vu précédemment :
lim_x->+∞ [f(x)] = lim_x->+∞xⁿ[a_n+ a_n-1/x + a_n-2/x² + ... + a₁/x^n-1 + a₀/xⁿ]
= lim_x->+∞ a_nxⁿ
De même :
lim_x->+∞ [g(x)] = lim_x->+∞x^m[b_m+ b_m-1/x + b_m-2/x² + ... + b₁/x^m-1 + b₀/x^m]
= lim_x->+∞ b_mx^m

Donc par quotient :
lim_x->+∞ [p(x)]
= lim_x->+∞ [f(x)/g(x)]
= lim_x->+∞ [a_nxⁿ / b_mx^m]

On procède de même si x tend vers -∞.

Conclusion : La limite d'une fonction rationnelle en +∞ et en -∞ est celle du quotient de ses termes de plus haut degré.

Merci beaucoup,
Scientia

Bonsoir,

C'est tout à fait cela !!

En effet, tout repose sur la factorisation. Mathématiquement, il reste une erreur tout de même car lorsque tu mets en facteur une puissance non nul de x, il faut vérifier que tu peux le faire à savoir que tu as x différent de 0.

Cela est le cas ici, vu qu'on cherche une limite à l'infini et il nous suffit donc d'une intervalle ouvert ne contenant pas 0 et vu qu'on travaille sur des polynôme défini sur R tout entier, il nous suffit de considérer la fonction sur l'intervalle ]0, +Inf[ par exemple pour la limite en plus l'infini et nous règlons le problème.

En revanche, il ne faut pas oublier qu'il y a bien quelque chose à dire avant toute factorisation car la division par 0 reste interdite.

Enfin, dans la rédaction, on évitera autant que faire se peut le fameux "Lim.... = Lim ....". En effet, si la limite n'existe pas (ce qui est le cas ici d'ailleurs vu qu'on diverse vers l'infini) cela n'a pas réellement de sens d'écrire des objets qui n'existent pas.

Du coup, au niveau de la rédaction, on préférera simplement mettre en évidence la limite à part.

Par exemple, si on cherche la limite en +inf, de la fonction P définie sur R pour tout x par, P(x)= 3x⁵ - x + 1, on écrira les choses ici.

On a: 3x⁵ est le terme de plus haut degré de la fonction P
Donc P et x|-> 3x⁵ ont la même limite en +Inf

Or: Lim_x->+Inf 3x⁵ = +Inf

Donc: Lim_x->+Inf P(x) = +Inf

Ainsi, au niveau de la logique des chose, on a d'abord montré que le terme de plu haut degré divergeait et on conclut que P diverge de la même manière. On évite donc d'écrire des égalités de limites car cela peut ne pas avoir de sens mathématiques (surtout lorsqu'on parle de suite ou de fonction composée même si cela n'est plus réellement dans les nouvelles attentes du programmes, il ne faut pas pour autant perdre de vu la théorie mathématique malgré tout).

Pour les fonctions rationnelles, la démonstration se fait de la même manière comme tu l'as si bien écrit mais de la même manière, on calculera le quotient des termes de plus haut degré à part pour en déduire sa limite et ensuite seulement, on conclura.

Bonne continuation!

Merci beaucoup !
Scientia