Centre de symétrie / changement de repère

Salut !

Alors l'année dernière notre prof avait évoqué une méthode pour trouver le centre de symétrie d'une courbe, qui est d'effectuer un changement de répère. Mais je n'avais pas compris comment faire et pourquoi !
Pourrais-tu m'expliquer cette technique s'il-te-plaît ?

Merci d'avance.

Bonsoir,

La première question qu'on doit ce poser pour trouver un centre de symétrie de coordonnée (a;b) c'est: "quel est sa caractéristique pour la courbe représentant une fonction F qu'on considère?"

En fait, c'est très visuelle comme démonstration mais je vais essayer de l'expliquer simplement. Prenons un cas simple pour commencer: je considère la fonction F définie par F(x)=x₃.

On a: F(x)=-F(-x) (je te laisse refaire le calcul au pire)

Cela définit le fait que la fonction est impaire et par conséquent O(0;0) est centre de symétrique de de la courbe représentant cette fonction.

Essayons de comprendre ce qu'on regarde exactement lorsqu'on montre qu'une fonction est impaire. En fait, on regarde le décalage de plus ou moins x par rapport à l'abscisse de notre centre dans un premier temps: F(0+x) et F(0-x)

Et si on les additionne, on trouve que F(0+x)+F(0-x)=0

Est-ce que la formule paraît logique?

Non pas totu à fait car si on regarde bien le graphique si j'addition les ordonnées des deux point symétrique, il va falloire diviser par 2 le résutlat si on veut réellement être cohérent même si dans notre cas cela ne change rien mais cela nous permet de réellement retomber sur l'ordonnée du centre.

Par conséquent, on a le faire que (1/2)*[F(0+x)+F(0-x)]=0

Maintenant si I(a:b) est centre de symétrie que savons-nous faire? Et bien on translate les ordonnées et les abscisses dans la base (I,i,j) ce qui nous donne la propriété suivante:

(1/2)*[F(a+x)+F(a-x)]=b

Tout simplement.

On peut aussi directement poser le changement de variable y=Y+b et x=X+a et montrer que la nouvelle fonction est impaire.
Sachant que y=F(x) <=> Y+b=F(X+a) <=> Y=F(X+a) -b
Je pose G(X)=F(X+a)-b

Et si I est bien centre de symétrie de la courbe représentant F alors G est impaire.

Ce sont les deux moyen de montrer qu'un point est un centre de symétrie.

En espérant que cela soit plus clair maintenant.

Bonne continuation!

Le changement de repère reste un peu flou encore mais ce n'est pas grave.

Merci en tout cas !

Alors pour le changemetn de repère, on va fairep lus simple.

Tu connais la notion de translation par un vecteur donnée?

Par exemple, je considère le repère centré en O(0;0) et je prend ma nouvelle origine O'(a;b). Par conséquent, si je souhaite faire un changement de repère, il me suffit de faire une translation de vecteur OO' tout simplement.

Donc pour un point M(x;y) dans le repère d'origine O, on a: OM=x*i+y*j

Et dans dans le nouveau repère les coordonnées X et Y vont être données par: O'M= O'O + OM= (-a*i-b*j) + (x*i+y*j)

C'est à dire O'M= (x-a)*i + (y-b)*j

Donc X=x-a et Y=y-b

Est-ce que cela est plus clair avec cette approche-ci?

Parfait

Merci !

Oups légère erreur de signe de ma part dans mon ancien message que j'ai rectifié.

En effet, O'O=-OO'=-a*i-b*j

Ce qui donne bien le changement de variable X=x-a et Y=y-b

Et ce qu'on a l'haibtude d'écrire c'est le changement dans l'autre sens c'est à dire x=X+a et y=Y+b. Car le but est d'exprimer les coordonnées de nos points dans le nouveau repère et non dans l'ancien où on connaît déjà tout bien entendu .

Bonne continuation!