Bonjour @toutes et tous!
Il n'est pas rare en terminale lorsqu'on voit le développement d'une puissance par le binome de Newton ( (a+b)n ) de rencontrer une drôle de bestiole qu'on appelle fonction factorielle et que je vais noté F dans un premier temps. Elle est définie comme suit:
F: N --> N
Pour tout entier naturel non nul n, F(n)=n! et F(0)=1.
C'est l'une des rare fonction en fait à s'écrire après la variable x. En effet, la fonction factorielle est représentée par le point d'exclamation situé juste après la variable n.
Il s'agit en fait d'une facilité d'écriture (comme beaucoup de chose en mathématiques d'ailleurs) pour ne pas écrire une longue multiplication avec des pointillés. En effet, que vaut concrètement la fonction factorielle?
n!= n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*4*3*2*1 et 0!=1 par convention
Et la première fois qu'on voit cette notation c'est lorsqu'on développe (a+b)n qui est égale à ∑k=1 à n (k parmi n)akbn-k.
Et le fameux (k parmi n) c'est la façon de choisir k élément parmi n élément sans remise et cela s'écrit [n*(n-1)*...*(n-k+1)]/[k*(k-1)*...*3*2*1] ce qui s'écrit en fonction des factoriel: n!/[k!(n-k)!]
Voilà en gros pourquoi nous avons eu l'utilité de mettre en place cette notation qui simplifie en fait l'écriture un peut lourd de la multiplication en utilisant cette notation là: ∏k=1 à n k mais vous ne voyez pas beaucoup cette notation réduite pour la multiplication avec l'utilisation du "∏" qui signifie "produit".
En espérant avoir éclaircit cette notation et son fonctionnement. Je vous laisse regarder dans la Cage aux exercices pour voir quelques exercices d'application connue sur ce sujet ci.
Bonne continuation @toutes et tous!
Dim 4 Oct - 16:21