Exercice 1 devoir 2 (Dérivation: rappels et compléments)

Bonjours, j'ai un peu de mal avec mon exercice, pourtant il n'est pas si compliqué que sa! Aidez moi svp.

Sujet:
I. On considère la fonction g définie sur R par g(x) = x³ + 3x + 4
1. Calculer g'(x). Déterminer alors le sens de variations de g.
2. En déduire le signe de g(x) (on pourra calculer g(-1)).

II. On considère la fonction f définie sur R par: f(x) = (x³ - 2) ÷ (x² + 1). On note C sa courbe représentative dans un repére orthonormal.
1. Déterminer lim f(x) quand x → +∞ et lim f(x) quand x → -∞
2. Calculer f'(x)
3. En déduire que f'(x) et xg(x) ont le même signe.
4. Dresser alors le tableau de variations de f.

III.
1. Montrer que pour tout x de R, f(x) = x - ((x + 2) ÷ (x² + 1)). En déduire que la droite D d'équation: y = x est asymptote à C.
2. Préciser les positions relatives de C et D.

Merci d'avance pour vos réponse!

Bonjour,

La première partie est un classique, nous étudions une simple fonction polynôme de degré 3. Je te laisse donc entamer l'études avec la dérivée les variations ainsi que la déduction du signe à partir du tableau de variations.

Pour la seconde partie, il s'agit de calculer des limite de fonction rationnelle c'est à dire une limite de fonction définie comme un quotient de deux fonctions polynômes. Pour cela, il faut soit connaître l'astuce de calcul pour calculer ce genre de limite soit essayer de retrouver l'astuce en faisant des mises en facteurs pour lever l'indétermination.
Ensuite, cela s'enchaîne comme une étude de fonctions en utilisant la partie I.

Pour la troisième partie, la première question est un classique en soi, il s'agit juste de faire les calculs tout simplement. Ensuite, revoir la définition d'asymptote que nous avons déjà revu dans un autre exercice d'ailleurs, donc cela ne va pas poser de problème, je pense. La dernière question étant une étude de signe des plus classique.

Je te laisse donc entamer les festivités mais normalement, cet exercice ne devrait pas te poser trop de soucis à première vue mais n'hésite pas si tu as des questions!

Bon courage!

Bonjours, enfaite pour la 1re partie, j'ai fai:
g(x) = x³ +3x +4
g'(x) = 3x² + 3
Mais apre pour le tableau de variation je ne sais pas quoi mettre dedans!
je fait : (3x² + 3) plus grand 0
x² plus grand -1
Mais apre je beug pour fair la tableau, je sais que la fonction est croissante sur R mais je ne sais pas comment le montrer sur le tableau

Bonjour,

Il s'avère qu'ici la dérivée est une fonction polynôme du second degré. Nous savons donc faire beaucoup de chose sur ce genre de fonctions et surtout trouver leur signe. En effet, le signe d'une fonction polynôme dépend du signe du coefficient de x² ainsi que des racines du prolynôme. Et ici, y a-t-il des racines à ce polynôme ?

Bon courage!

J'ai trouver que sur ]-∞;+∞[ g(x) est croissant.
Pour la 2. je ne sais pas comment proceder aidez moi svp.

Bonsoir,

Désolé pour le décalage mais il s'avère que j'avais trop de choses à gérer en même temps pour le coup et cela à perturber un peu ma présence sur le forum (sans compter ma connexion toujours aussi bancale hélas pour moi).

Donc la fonction g est bien strictement croissante sur R car la dérivée est une fonction polynôme qui reste strictement positive en effet.

Maintenant pour déduire le signe de la fonction en elle même, il va nous falloir calculer les limites aux bornes de l'intervalle d'une part et d'autre part en utilisant le théorème des valeurs intermédiaire nous allons sans doute trouver de quoi réponse à la question de manière plutôt précise.

Même si l'exercice est sans doute rendue, il est vraiment très intéressant pour faire de grosse révision sur les études de fonctions dans un cadre très très vaste ici. Donc n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Bon courage pour la suite!