[Spé Maths] - Congruences et Divisibilité

Bonjour Tout le monde !

Alors j'ai un petit problème avec un exo de spé maths, pouvez-vous m'aider ?

Citation :

Déterminez les entiers naturels n pour lesquels :
7ⁿ⁺¹ - (n+1)7ⁿ - 1 ≡ 0 (mod 4)

Bonjour,

Pour ton premier exercice, il s'agit de résoudre cette équation en quelque sorte. Pour cela, on sait bien manipuler les congruences à partir du moment, où nous avons des multiplications et non des additions.

Par conséquent, si j'ajoute 1 à l'égalité, j'obtiens:

7ⁿ⁺¹ - (n+1)*7ⁿ ≡ 1 [4]

A partir de là, ne pouvons-nous pas factoriser la partie de gauche et avancer un peu dans ce sens là?

Nous verrons l'autre exercice par la suite.

Bon courage!

Et bien en factorisant la partie de gauche on obtient :

7ⁿ(6 - n) ≡ 1 [4]

C'est nickel!

Alors maintenant, il faudrait calculer la congruence de 7ⁿ*(6-n) modulo 4 pour essayer de simplifier ceci vu qu'on souhaite que celle-ci soit égale à 1.

As-tu des idées?

Bon courage!

Baaaaaah j'vois pas trop comment faire pour trouver "les valeurs de n" qui marchent.

En fait lorsqu'on a une multiplication, cela revient à prendre la multiplication des congruences.

Par conséqunet, pour connaître la congruence mudulo 4 de 7ⁿ(6-n), cela revient à connaître la multiplication de la congruence modulo 4 de 7ⁿ et de (6-n).

Le but est d'améliorer notre expression et on sait que :
Si a₁ [d] et b=b₁ [c], alors a*b≡ a₁*b₁ [c]

Et on sait aussi que:
a≡ b [c] et a≡d [c] implique que d ≡ b [c]


Si c'est deux implications ne sont pas claires, il faut t'en convaincre en revenant à la définition de "être congru à" puis en faisant les calculs tout simplement.

Et c'est cela que nous allons utiliser pour avancer car on sait déjà qu'on souhaite avoir la congruence suivante: 7ⁿ(6 - n) ≡ 1 [4].

Bon courage!

7 ≡ -1 [4]
donc 7ⁿ ≡ (-1)ⁿ [4]

Ensuite, après avoir fait un tableau de congruences :

* 6 - n ≡ 0 [4]
ou * 6 - n ≡ 1 [4]
ou * 6 - n ≡ -1 [4]
ou * 6 - n ≡ 2 [4]


Ton dernier message n'est pas très clair pour moi :-s

Une phrase a été mangée dans mon dernier message:

Si a=a₁ [d] et b=b₁ [c], alors a*b≡ a₁*b₁ [c]

La ça devrait être plus clair. En fait, on va exactement utiliser cette propriété là pour savoir ce que vaut la 7ⁿ*(6-n) modulo 4.

C'est ce que tu as fait d'ailleurs mais je ne comprend pas très bien ce que tu entends pas tableau de congruence pour 6-n. Tu considère toutes les congruence possible de n modulo 4 et ensuite tu regardes les résultats de 6-n, c'est ça? Mais si c'est le cas, il faudra préciser à chaque ligne la congruence de n considérée car c'est ce qui nous intéresse vu qu'on cherche à déterminer des valeurs de n.

Est-ce plus clair ainsi?

Oui c'est ça mon tableau de congruence.

on a * 6 - n ≡ 0 [4] pour n ≡ 2 [4]
ou * 6 - n ≡ 1 [4] pour n ≡ 1 [4]
ou * 6 - n ≡ -1 [4] pour n ≡ 3 [4]
ou * 6 - n ≡ 2 [4] pour n ≡ 0 [4]

Et si n est pair : 7ⁿ ≡ 1 [4]
donc par multiplication, le seul qui marche c'est 6 - n ≡ 1 [4]

Et si n est impair : 7ⁿ ≡ -1 [4]
donc par multiplication, le seul qui marche c'est 6 - n ≡ -1 [4]

Donc au final, les entiers quon cherche ce sont :

les entiers naturels pairs congrus à 1 modulo 4
les entiers naturels impairs congrus à 3 modulo 4

C'est tout à fait juste ça!

Est-ce qu'on ne peut pas explicité un peut le forme que pourrait prendre ses deux solutions pour savoir si c'est deux possiblité sont possible (ne pas oublier la vérification) c'est à dire peut-être avoir un entier pair qui soit congru à 1 modulo 4 et de même pour l'autre possibilité de solution.

Bon courage!

Quelle vérification ?

Nous venons de le démontrer, n'est-ce pas suffisant ?

Tu as travailler sous forme d'implication c'està dire en partant du résultat pour arriver à des condition sur n.

Maintenant, il reste à savoir si ces conditions d'une part sont possibles et d'autre par vérifient bien ce qu'on souhaite. Pour la vérifiaction de ce qu'on souhaite on a normalement travaillé pour donc il en devrait pas y avoir trop de soucis mais par contre reste à savoir si nos solutions sont possible.

En effet:

Est-ce possible pour un entier n d'être:

- "pair et congru à 1 modulo 4"
- "impair et congru à 3 modulo 4"

Ce n'est pas évident que cela soit possible en fait. Si de tel entier existe alors on a bien répondu à la question mais nous n'avons pas l'existence vu qu'on a supposer que l'entier n existait au début puis nous avons fait des calculs dessus pour en conclure des conditions sur celui-ci. Donc rien ne nous assure l'existence pour l'instant.

Est-ce que tu comprends le soucis?

Ouai je comprends.

Et bien alors un entier pair congru à 1 modulo 4 ce n'est pas possible, car cela voudrait dire que cet entier ôté de 1 est divisble par4, or un entier impair n'est jamais divisible par un entier pair !!! et un entier impair congru à 3 modulo 4 c'est possible !

Donc en fait les entiers naturels que l'on recherchait sont ceux qui s'écrivent sous la forme :

n = 4k + 3 avec n un entier naturel impair et k un entier naturel quelconque

En effet!

Par contre on dira que n est un entier lorsque k est un entier tout simplement. A partir de là, il resterait la vérification en posant justement pour un entier k quelconque, n=4k+3 et vérifier que nous avons bien la congruence souhaité (on a tout fait pour ).

Donc attention au raisonnement qu'on utilise car lorsqu'on suppose le résultat vraie, rien ne nous dit qu'on puisse trouver forcément quelque chose qui reste valable dans notre cas (la preuve sur cette exemple).

Pourrait-on ouvrir une autre conversation pour l'autre exercice pour éviter de traîter deux exercice en même temps (surtout que la démarche pour celui-ci est vraiment intéressant, il serait dommage de la noyer avec l'autre exemple)?

Bon courage pour la suite!