[Spé Maths] - Divisibilité

Bonjour !

On a vu en cours que tout produit de 3 entiers consécutifs est divisible par 2 et par 3, donc par 6.
Mais alors, est-ce que tout nombre entier divisible par 2 et par 3 est aussi forcément divisible par 6 ?

Par extension, est-ce que tout nombre entier k divisible à la fois par a et par b est divisible par a*b ?
J'ai trouvé un contre-exemple : 6 est divisible par 6 et par 3, mais pas par 18.

Je pense qu'il doit y avoir une histoire de nombres premiers mais j'aimerais l'avis d'un expert

Merci d'avance

Bonsoir!

Je ne suis pas un expers j'ai juste du recule par rapport à ce que tu vois, tout simplement . C'est la seule différence ne fait lol.

Alors en effet, ton intuition est juste et c'est même un théorème que tu as du voir en maths spé, non?

Si a|bc et pgcd(a,b)=1 alors a|c (Théorème de Gauss)

Donc adaptons-le à ce que tu écris:

Si a|c et b|c alors ???

Puisque a|c, il existe un entier p non nul tel que c=a*p
Or b|c

Donc b|a*p
Donc si a et b sont premier entre-eux, alors b|p => il existe un entier q non nul tel que p=b*q

Je remets la forme de p dans l'expression de c qu'on avait ce qui donne: c=(a*b)*q avec q un entier non nul => a*b|c !!!!


Donc la propriété qui repose sur le théorème de Gauss est la suivante:

Pour a,b et c des entiers non nuls,

a|c, b|c et pgcd(a,b)=1 => a*b|c


Est-ce que la réciproque est vraie?

Ben en fait on a pas encore vu ça en cours. Mais bon je me suis posé la question quand le prof nous a dit ce que je t'ai dit dans le précédent message !

Ceci explique cela alors, tu anticipe ton cours et moi aussi par la même occasion (vilain cuicui, vilain lol).

Alors comment on démontre le thoérème de Gauss, du coup? (Je me demande d'ailleurs si c'est réellement au programme de spé maths, la démosntration que Gauss mais intuitivement, on peut peut-être le voir dans les grande ligne en essayant d'admettre le moins de chose possible).

Non je n'ai pas envie de m'avancer sur le cours. La question que je t'ai posée, je savais pas que ça allait être tout une partie d'un chapitre du cours de spé math. Donc je ne préfère pas me lancer dans la démonstration du théorème de Gauss tout de suite

En fait, en arithmétique, il y a deux gros thoérème qui sont le thoérème de Gauss que je t'ai évoqué et le thoérème de Bézout qui caractérise les nombres premiers et qui s'expose ainsi:

Si a et b sont premier entre eux
Alors, il existe deux entiers u et v tel que a*u + b*v = 1


Ce thoérème résulte de la remonter de l'algorithme d'Euclide (qui est d'ailleurs la démonstration de ce thoérème tout simplement dès qu'on a montrer que l'algorithme d'Euclide étiat bien défini et terminissait).

Et c'est à partir de ce thoérème là qu'on démontre l'autre (car lorsqu'on parle de nombres premiers entre eux, on a souvent tendance à utiliser l'égalité de Bézout pour s'en sortir ce qui est le cas encore pour le thoérème de Gauss).

Bon courage pour la suite et continue à être curieux c'est très formateur pour mieux comprendre et s'approprier les choses .

Citation :

Donc la propriété qui repose sur le théorème de Gauss est la suivante:

Pour a,b et c des entiers non nuls,

a|c, b|c et pgcd(a,b)=1 => a*b|c


Est-ce que la réciproque est vraie?

Alors, la réciproque est-elle vraie ?

Bonsoir,

Je te posais la question justement . La réciproqu'il faudrait montrer c'est:

Soit a, b et c trois entiers non nul
a*b| c => (pgcd(a,b)=1, a|c et b|c )

Si cette propriété n'est pas possible, donne moi un contre exemple.

Bon courage!

Ben non elle est fausse !

Exemple : 6*4 | 48 or pgcd(6,4)=2 mais par contre 6 | 48 et 4 | 48

Et est-ce que, a*b| c , pgcd(a,b)=1 => a|c et b|c

Tout à fait, le problème vient bien du pgcd qui n\'est pas forcément égale à 1. A partir de là, il n\'y a pas de réciproque.

Par contre, il y a une propriété bien connu:

Soient a,b et c des entiers non nuls,
a*b|c => a|c et b|c

Pour démontrer celà, il faut revenir à la décomposition en facteur premier de a pour conclure que chaque facteur premier (la propriété universelle de l\'arithmétiques euclidienne d\'ailleurs).

Des idées pour la démonstration de cette propriété?

après réflexion, il n\'y a même pas de démonstration à faire, il s\'agit tout simplement de la définition de divisiblité on a ab|c donc il existe d tel que c=d*a*b

Donc a|c et b|c immédiatement.

Pour être sûr, n'as-tu pas oublié de préciser que les nombres a et b doivent être premiers entre eux ?

Non il n'y a rien à faire en fait, il n'y a pas de réciproque à la propriété énoncé et il suffit juste de bien écrire et la démonstration tombe toute seule.

La difficulter étant que pour avoir la réciproque de ce que j'ai énoncé dans mon message précedant, là il faut absolument ajouter l'hypothèse supplémentaire selon laquelle a et b doivent être premier entre eux.

Bon courage pour la suite!