[PCSI/MPSI/PTSI] Courbes paramétrées

Bonsoir,

j'aurais quelques questions sur le cours des courbes paramétrées. On a vu ça vite fait en cours et j'ai pas tout suivi.

Par exemple dans mon prochain DM, on doit dessiner une courbe (il nous donne x(t)= t² + 2/t et y(t)= t²+1/t²), et il nous demande d'étudier en particulier l'existence d'une parabole asymptote d'équation y=x²/4 (il a écrit y²=x²/4 mais je pense que c'était une faute de frappe ?).

Le truc, c'est que je comprends pas ce qu'est une "parabole asymptote" ? De même que je ne comprends pas ce que veut dire que la courbe a une branche parabolique suivant (Ox), etc.

Merci d'éclairer ma lanterne.

En plus de cette parabole asymptote, il nous demande en plus d'étudier l'existence d'une droite asymptote, des points stationnaires, et des points doubles en précisant les tangentes en ces points. Mais là je vois déjà mieux en ayant tracé mon tableau de variations.

Bonne soirée.

Tout compte fait je vois à peu près ce que peut être une parabole asymptote, mais ce que je vois pas, c'est comment montrer son existence ? (Par contre les branches paraboliques je vois toujours pas exactement)

Bonsoir,

Alors, je ne vais pas pouvoir répondre de but en blanc à tes questions pour le coup car elles mérites qu'on s'y arrête et que je te donne un exemple je pense (voir qu'on étudie ensemble ton exemple après tout).

Pour définir un peut rapidement les choses, être asyptote c'est que "la différence tend vers 0". Bon là, faut le dire vite mais c'est l'idée en tout cas et ce qu'on appelle des branche asymptotique selon (Ox) ou (Oy) se résume à chercher comme se comporte les x et les y à l'infini.

Mais je vais y revenir plus longuement par la suite. Le désavantage ou l'avantage que tu as en tant que membre c'est qu'iil faut que tes questions sont plus point vu la classe que tu suis et du coup, il me faut un peu plus de temps pour rédiger les choses mais je vais essayer de te faire cela bien (je l'espère tout du moins).

A suivre (dans la nuit je pense).

Désolé du "retard" mais il fallait que je me remette dans le bain car les courbe paramétré ça ne datait pas d'hier .

Citation :

Le truc, c'est que je comprends pas ce qu'est une "parabole asymptote" ? De même que je ne comprends pas ce que veut dire que la courbe a une branche parabolique suivant (Ox), etc

[...]

d'étudier l'existence d'une droite asymptote, des points stationnaires, et des points doubles en précisant les tangentes en ces points

Bon alors allons-y, on va mettre les mains dans le camboui comme on dit et je vais essayer de faire "un cours" condensé forcément avec des exemples de préférence.

Déjà, on va peut-être commencer par définir ce qu'est une courbe paramétrée ça sera pas un luxe :

On appelle V l'ensemble des vecteurs du plan (O;i,j) où B=(i;j) est une base du plan P
Une courbe paramétrée est un couple (I,F) avec I un intervalle de R et
F: I ---> V de classe C¹ tel que:
__t |---> F(t) (F(t) est un vecteur du plan ici)

On peut identifier V à R² en considérant les coordonnées du vecteurs F(t) dans la base B. On note ces coordonnées (X(t);Y(t))_B (l'indice B signifie que nous sommes dans la base B tout simplement et s'il n'y a pas d'ambiguité, je ne le noterais plus).


Et une dernière notation: On note (Γ) l'ensemble des point M du plan P tel que il existe un t dans I tel que OM=F(t). (Γ) s'appelle le support de la courbe paramétrée.
Et vulgairement, (Γ) représente tout simplement l'ensemble des points constituant la courbe paramétrée. En physique (Γ) s'appelle la trajectoire de notre mobile repéré par le point M au cours du temps par exemple.

Enfin, ce que tu donnes comme système d'équation x=X(t) et y=Y(t) pour t dans I, est ce qu'on appelle une paramétrisation de la courbe paramétrée.


Définition des points doubles:
Un point A est dit double s'il existe t₁≠t₂ dans I tel que A=M(t₁)=M(t₂).

Si le point est triples, il existe trois t différents qui donne le même point.

Cela correspond visuellement à une courbe qui fait des boucle. Le mobile passe par un endroit à un temps t et il revient au même endroit ) un temps t+a avec a>0. Par exemple, si je considère une formule 1 dansu n circuit avec 63 tour à faire alors si on considère que le pilote fait une trajectoire toujours identique à chaqie tour tous les points sont des point d'ordre 63 car je serai passé 63 fois par chacun d'eux.

On voit sur mon exemple, qu'il suffit dans ses cas là de se limite à l'étude sur un intervalle plus petit (un tour!) et l'intervalle en question est dit propre.

C'est à dire si je formalise:

Le représentation paramétrique est dite propre s'il n'existe pas deux intervalles ouvert I₁ et I₂ non vide tel que F(I₁)=F(I₂).

Par exemple, si on a la courbe paramétrée représentée par:
{x=cos(t)
{y=sin(t) pour t dans R

Et bien ]0;2*Pi[ n'est pas un intervalle propre, on dit qu'il impropre car F(]0;2*Pi[)=F(]2*Pi;4*Pi[) (les deux fonctions sont 2*Pi-périodique ). Par contre ]-Pi;Pi[ sera un intervalle propre et on peut donc faire une étude seulement sur cette intervalle là pour déterminer toutes les caractéristiques de la courbe.


Définition d'un point régulier et d'un point stationnaire
Si on pose pour tout t dans I, F(t)(X(t);Y(t))_B et F de classe C¹ (c'est à dire dérivable et de dérivée continue).
Alors pour tout t dans I, on a: F'(t)(X'(t);Y'(t)) est notre dérivée à la courbe (notre vecteur vitesse en physique)
On note (C), la courbe paramétrée.

Et on définit les deux points ainsi:

Si F'(t)≠0 alors on dit que M(t) est un point régulier de (C)
Si F'(t)=0, M(t) est un point singulier ou stationaire de (C)


Définition de la tangente en un point M(t) régulier à la courbe (C), c'est la droite:
- passant par M(t)
- de vecteur directeur F'(t)
On note (T) cette tangente

Ainsi, P appartient à (T) <=> M(t)P colinéaire à F'(t)


Définition de la tangente en un point M(t) stationnaire à la courbe (C), c'est la droite:
- passant par M(t)
- de vecteur directeur F^(k)(t)
avec k le plus petit entier naturel non nul tel que F^(k)(t)≠0 si F est de classe C^k (c'est donc sous réserve d'existence !!!!)


Est-ce que jusque là, ça va mieux (ou ça allait déjà et ça sert à rien ce que je fais xD)???

xD Ça allait déjà jusque là ! (bien que ton exemple sur les points doubles m'a mieux éclairci la chose).

En fait, le seul moment ou j'ai du mal dans le cours, c'est avec les branches infinies, et plus particulièrement avec les branches paraboliques de direction (Ox), (Oy), y=ax . Si on a des droits asymptotes je comprends, mais les branches paraboliques... Sur un exemple, je vois que la courbe a la forme d'une parabole à partir de tel endroit, mais je ne vois pas où intervient la "direction".

T'as vu je te fais réviser des trucs, c'est tout bénéf !

Merci de prendre de ton temps pour m'expliquer, c'est vraiment sympa.

Bonjour,

Alros continuons si jusque là ça va car en fait, on a quasiment tout de marquer pour comprendre la suite alors essayons de voir de quoi, il en retourne.

Nous allons donc entamer la partie qui te pose problème et qui est la partie sur les branches infinies et tout ce qui leur est liées. Et commençons par la toute première des définition sur le sujet: Toutes les notations sont gardées pour la suite.

Définition d'une branche infinie:
Soit t₀ une réel qui peut être égale à + ou - l'inifini (on note cette ensemble R^bar d'ailleurs).
On dit que (C) admet une branche inifinie en t₀ (on dit aussi au voisinnage de t₀) si et seulement si:
Lim_t-->t0 OM(t)=+Inf (il s'agit de la distance OM(t) et non du vecteur)

Et dès qu'on a définie ce qu'était une branche infinie, on peut définir aussi ce qu'est la direction asymptotique de cette branche infinie (ce qui a l'air de te poser quelque soucis):

On suppose qu'on a une branche infinie en t₀ c'est à dire que Lim_t-->t0 OM(t)=+Inf
Et bien si: Lim_t-->t0 OM(t)/||OM(t)|=v (un vecteur de V qui est je le rappelle l'ensemble des vecteur du plan P)
Alors on dit que (C) admet une direction asymptotique de vecteur directeur v.


Et enfin, on termine avec la notion de branche parabolique d'axe (ou de direction) (Ox) ou (Oy). Qu'est-ce donc que ceci? En bien, on va se placer à un isntant t₀ où la courbe admet une branche infinie. Et le but est de savoir comment va s'orienter la branche infini.

Par exemple, si je prend un classique, la fonction f(x)=x². Il s'agit d'une parabole et ses deux droite infini (en + et - l'infini) sont dirigée selon l'axe (Oy) en fait. Pourquoi? Car elle vont vers l'infini beaucoup rapidement selon les y que selon les x.

Bon maintenant qu'on a un aspect intuitif essayons de comprendre comment, nous allons le repérer sur nos courbes paramétrés. Il s'agit de savoir grossièrement qui va l'emporter à l'infini entre X(t) et Y(t). Mathématiquement, cela revient à savoir qui est négligeable devant l'autre (la notion de petit o et de O par exemple si tu l'as déjà vue). Et le seul moyen de pouvoir savoir cela, c'est de calculer la limite du quotient.

Définition:
Si (C) admet une branche infini en t₀.
- On dira qu'il s'agit d'une branche parabolique d'axe (ou de direction) (Ox) si et seulement si Lim_t-->t0 Y(t)/X(t) = 0 (on sait que l'un des deux tend vers l'infini par définition de notre branche infini et on constate que X(t) tend plus vers l'infini que Y(t) car la limite du quotient est nulle).

- On dira qu'il s'agit d'une branche parabolique d'axe (ou de direction) (Oy) si et seulement si Lim_t-->t0 Y(t)/X(t) = +Inf (on sait que l'un des deux tend vers l'infini par définition de notre branche infini et on constate que X(t) tend moins vers l'infini que Y(t) car la limite du quotient est infini).

Maintenant, si le quotient des deux tend vers une limite finie a par exemple. Nous somme en présence d'une branche parabolique de direction oblique de coefficient directeur a, il nous reste encore à calcul l'ordonnée à l'origine en calculant la limite lorsque t tend vers t₀ de Y(t)-a*X(t) et j'appelle b cette limite.
Et on dira que (C) admet en t₀, une branche parabolique d'axe (ou de direction) y=ax+b.


J'espère que tout ceci t'apparaît de façon plus clair (je l'espère en tout cas) et n'hésite pas si tu as des questions car sauf erreur nous avons fait le tour de tout le chapitre sur l'étude des courbes paramétrées.

Bon courage!

C'est un peu plus clair ouais.^^

Mais je vois toujours pas comment tracer la courbe si on sait qu'on a une branche infini en t=2 par exemple. Je veux dire, comment on sait si lorsque x tend vers l'infini, y tend plus vite vers l'infini ou BEAUCOUP plus vite vers l'infini ? C'est à dire, comment on sait si la branche parabolique sera "ouverte" ou pas ?

Je sais pas si tu vois ce que je veux dire...

Par exemple, y=x² a pour axe (Oy), mais y=x²/4 aussi ?

'Fin bref, je suis toujours dans le flou.

Si tu veux comprendre ce que je pense quand on me dit "branche parabolique de direction y=ax": j'imagine que la courbe a un bout de courbe qui ressemble à un arc de parabole, et que cette parabole a pour axe de symétrie la droite y=ax :s

Alors, justement c'est en calculant le quotient Y(t)/X(t) que tu vas savoir si la branche est parabolique d'axe (Ox) ou d'axe (Oy).

Sinon, en effet, y=x² et y=x²/4 ont tous les deux des branches paraboliques d'axe (Oy). Il y a une différence dans les valeurs exacte de la courbem ais là, on ne te demande pas de faire le travail d'une machine mais simplement de tracer l'allure de la courbe de la façon la plus proche possible de la réalle allure.

Enfin, pour la branche parabolique d'axe y=ax. Celà, revient à dire que le quotient Y(t)/X(t) tend vers a. Et que le terme [Y(t)-a*X(t)] tend vers 0. Ce qui nous donne bien une asymptote d'équation y=a*x+0.

Maintenant à quoi cela correspond exactement? Et bien au temps considéré, la branche va suivre de façon asymptotique la droite d'équation y=ax c'est à dire qu'on va se rapprocher de plus en plus de cette droite sans jamais l'atteindre. On a pas changé en fait la définition du mot asymptote entre le moment où on t'en a parler (en terminale) et le moment où on te parle de courbe paramétrée, c'est exactement la même chose. Par contrep our ma part, j'évite de parle de branche parabolique à ce moment là car c'est vraiment une branche infinie asymptotique à la une droite d'équation y=ax.

alors que la branche infinie parabolique c'est l'allure que cela prend par rapport à (Ox) et (Oy) et on dit que cela ressemble à une branche de parabole.

J'espère que ça s'éclaircit en tout cas.

Ok j'ai à peu près compris !

Donc pour en revenir à mon exercice (parabole asymptote y=x²/4), ça n'a rien à voir avec les branches paraboliques si ?

Je pensais montrer que lorsque t->t₀, alors y(t)-x²/4->0

Bonsoir,

IL va d'abord falloire paramétriser la courbe asymptote car là y dépend de t dans un cas et l'autre x est une variable aussi, donc il y a une incompatibilité pour calculer une limite car x à ce moment là serait une constante pour t. Il faut donc paramétriser y=x²/4 (ou y²=x²/4 s'il n'y a pas d'erreur d'énoncer ce que je suppose d'ailleurs). ET ensuite seulement regarde en + puis en - l'infini si la différence des abscisse tend bien vers 0 en effet.

Enfin, pour ma part, c'est comme cela que je comprend ton énoncer.

Bon courage!

J'ai pas compris.

Enfin je veux dire, comment on fait pas paramétriser une courbe ?

Bonjour,

En fait, tu voulais effectuer le calcul suivant: Y(t)-x²/4 et considérer la limite lors que t tend vers t₀.
Or la seule chose qui dépend de t dans ton expression c'est Y(t) par conséquent la limite de cela n'a pas vraimetn d'intérêt pour ce qu'on cherche vu que x est une constante pour t c'est à dire que x est fixé et ne varie pas en fonction de t dans le calcul que tu présentes.

Est-ce que tu vois le soucis de ta réflexion?


Pour paramétréerune courbe, il y a plusieurs façon, la plus simple lorqu'on a une équation du type y²=x²/4 c'est de voir qu'il y a deux branches pour cette courbe une d'équation y=x/2 pour x>0 et l'autre d'équation y=-x/2 pour x>0.

A partir de là, il suffit de paraméter de façon simple par exemple x(t)=t et y(t)=+ou- t/2. Ceci est une paramétrisation de la courbe (il y en a plein d'autre bien entendu).
Lorsqu'on dit qu'on paramtrise une courbe c'est qu'on fait dépend x d'un paramètre qu'on appelle t le plus souvent et ainsi l'abscisse et l'ordonnées des points de la courbes dépend de la valeur de t.

Sinon, après recherche et par analogie, le but pour montrer que y=x²/4 est asymptote à la courbe, c'est de montrer que:

y(t)-[x(t)]/2 tend bien vers 0 lorsque x tend vers +ou- l'infini.

Ce qui revient exactement à la définition lorsqu'on a des fonction:
La représentation de la fonction G est une courbe asymptote à la représentation de la fonction F si la limite en +ou- l'infini de F-G tend vers 0.

On considère donc une paramétrisatino non pas simple comme je le faisais mais exactement la même que celle de ta courbe paramétrée pour les abscisses (ainsi les deux abscisses vont se comporter de la même manière et il ne reste plus qu'à étudier le comportement de la différence des abscisses).

En espérant que cela soit plus clair ainsi. Mais j'ai l'impression que ta courbe devrait être paramétré par x(t)=2t²+2/t, non?

Bon courage!

En fait, c'est bien la parabole y=x²/4 qui est asymptote à la courbe. Le prof nous a envoyé un mail hier soir pour corriger son erreur.^^

Ok pas de problème

Et les équations de ta courbe paramétrée sont lesquels?

Les mêmes que celles indiquées dans mon tout premier message.

x(t)= t² + 2/t
y(t)= t²+1/t²

Et nous smmes montrer qu'elle est asymptote en quel temps? 0 ou infini?

Je crois que c'est en 0. J'ai commencé l'étude là et j'ai trouvé qu'elle a une branche parabolique en 0- et en 0+ suivant (Ox).

En l'infini j'ai trouvé qu'elle avait comme asymptote l'axe des abscisses.

J'ai tout de même des doutes sur le fait que y=x²/4 soit une asymptote en 0 ou en +Inf (en l'infini c'est quasiment sur que non mais en 0 je n'ai pas fait les calculs donc à voir).

Mais nous allons être fixer rapidement vu que si c'est le cas alors Y(t)-[X(t)]²/4 tend vers 0 soit en 0 soit en +Inf par définition d'être asymptotique parabolique à la courbe.

Alors est-ce la cas?

y(t)-x(t)²/4 = t²-t⁴/4-t -> 0 quand t tend vers 0.

Pourquoi tu avais des doutes ?

Nickel!!

J'avais un doute car je n'avais pas lu "2/t" mais "2/t²" ce qui me laissait des 1/t⁴ à la fin. Mais c'est nickel en tout cas.

Bon courage pour la suite!

Ok !

Voilà j'ai fait toute l'étude, me manque plus qu'à tracer la courbe.

Nickel!!

Bon j'espère que tout ceci est plus clair en tout cas sinon n'hésite pas à demander des précisions surtout.

Bon courage!