Bonjour, voici un exercice corrigé que je ne comprend pas:
Etablir :
∀z,z′∈C,|z|+∣∣z′∣∣≤∣∣z+z′∣∣+∣∣z−z′∣∣
Préciser le cas d'égalité.
On a |z|+∣∣z′∣∣=(1/2)∣∣(z−z′)+(z+z′)∣∣+(1/2)∣∣(z′−z)+(z′+z)∣∣≤∣∣z+z′∣∣+∣∣z−z′∣∣
Il y a égalité si, et seulement si, : z−z′=0 (i.e. z=z′) ou (z+z)′/(z−z′)∈R+ et (z+z')/(z′−z)∈R+ ce qui se résume à z′=−z.
Comment pouvons nous conclure l'inégalité en écrivant:
|z|+∣∣z′∣∣=(1/2)∣∣(z−z′)+(z+z′)∣∣+(1/2)∣∣(z′−z)+(z′+z)∣∣.
D'ailleurs, pourquoi faut-il que (z+z)′/(z−z′)∈R+ et (z+z')/(z′−z)∈R+ pour qu'il y ait égalité?
Merci d'avance!