Forme exponentielle

Salut,

j'me suis demandé : notre prof nous a dit que Euler avait eu l'idée de la notation avec e après avoir remarqué que arg(zz') = arg(z) + arg(z') car les puissances aussi "transforment les produits en somme". Mais il a bien dit que c'était une nouvelle notation mais je me suis demandé : quand on a z = a + ib et sous forme exponentielle : z = (module z)*e^iβ (β est l'argument), est-ce que on a vraiment a + ib = (module z)*e^iβ (comme par exemple 44/14 = 22/7) ?? enfin c'que j'essaye de dire, c'est est-ce que quand on dit que c'est une nouvelle notation, c'est que c'est égal en valeur. Par exemple on aurait très bien pu instaurer une nouvelle notation disant : z = a + ib peut s'écrit aussi sous la forme 7^[sup]iβ[/sup]. Je sais pas si c'est clair ce que j'essaye de dire :-s

Le mec a inventé cette nouvelle notation mais as-t-il prouvé que en élevant à la puissance iβ le nombre 2,71828183...., et bien on obtenait bien un nombre complexe égale à a + ib ?

RRRRR dis-moi si ce n'est pas clair ce que j'essaye de te demander.

Rq : quand je parle de "valeur", je garde en tête que le nombre i ne possède pas de valeur

Bonsoir,

En fait, il y a une raison en soi pour cette notation mais bon, il y a un moyen intuitif de la trouver d'une part c'est de passer par la forme trigonométrique:

z=a+i*b= [√(a²+b²)]*[ a/√(a²+b²) + i*b/√(a²+b²) ]

Or, on constate que a/√(a²+b²) et b/√(a²+b²) sont deux quantité comprise entre -1 et 1
De plus, [a/√(a²+b²)]² + [b/√(a²+b²)]² = a²/(a²+b²) + b²/(a²+b²)=1
Il existe donc un réel θ tel que:

Cos(θ)=a/√(a²+b²) et Sin(θ)=b/√(a²+b²)

De plus, √(a²+b²) est exactement égale à la distance OM avec la notion de distance qu'on connaît sur R dans un repère orthonormé. On définie donc ainsi la notion de distance sur C (le fameux module) qu'on note comem sur R, |.|
Ainsi: |z|=√(a²+b²)

Donc z=|z|*[ Cos(θ) + i*Sin(θ) ]

Et la notation est donc de poser e^iθ=Cos(θ)+i*Sin(θ)

C'est terrible comem question car ce qui est une notation ici se démontre à partir du moment où on a un bagage un peu plus gros en mathématiques (bac+2 à l'heure actuelle voire bac+3). En fait, il s'agit d'un prolongement de la fonction exponentielle sur l'espace des nombres complexes (il y a des théorème d'unicité et d'existence du dit prolongement) et pour la forme que prend ici l'exponentielle, il s'agit d'une définition plus théorique via ce qu'on appelle des séries entière qui sont en gros des sommes infinies (une limite de sommes si tu veux). De plus, il existe de même des développement en série entière des fonction cosinus et sinus. Et lorsque tout est bien défini, il ne reste plus qu'à montrer que Cos(θ)+i*Sin(θ)en écriture série entière est bien égale à l'écriture de l'exponentielle.

Je suis désolé de ne pouvoir êtrep lus précis mais là, il y a vraiment un énorme pan théorique qui est bien trop lourd à mettre en place pour l'instant (c'est aussi frustrant pour moi que pour toi pour le coup).

En espérant qu'avec ces grandes lignes directrices (qui te laissent voir de belles choses à découvrir d'ailleurs ) tu pourras te convaincre que l'écriture existe et est bien unique et égale à l'exponentielle telle qu'on te l'a défini.

Bon courage!

Bon bah si tu l'dis, j'vais essayer de m'en convaincre alors

Et on a vu que : (e^iθ)ⁿ = e^niθ pour n un entier naturel non nul. Peut-on l'étendre aux entiers relatifs ?? Et l'étendre aux réels n'aurait aucun sens je trouve mais peut-on par exemple utiliser un exposant égal à 1/4 ?

Les puissance relative sont tout à fait possible car pour tout n entier relatif, on a si z complexe non nul:

|zⁿ|=|z|ⁿ
Arg(zⁿ)=n*Arg(z)

Donc zⁿ=|zⁿ|*Exp[i*Arg(zⁿ)]=|z|ⁿ*Exp[n*i*Arg(z)]=[|z|*e^i*Arg(z)]ⁿ

Donc pas de soucis et pourquoi en fait?? Car Exp[i*(Arg(z)+2*k*pi)]=Exp[i*Arg(z)]. ET si je multiplie tout ceci par n, il n'y ap as de changement, suffit dep rendre k'=n*k et on se retrouve dans les mêmes conditions.

Par contre avec des puissances rationnelles, on change de ton pour le coup. En effet, Exp[i*(Arg(z)/n + 2*k*Pi/n] n'est pas égale à Exp[i*Arg(z)/n] ce qui change totalement la donne!!!

Et en fait, l'équation zⁿ=c avec c complexe admet exactement n solutions qui sont: |c|^1/n*Exp[ i*(Arg(c)/n + 2*k*Pi/n)] avec k variant de 1 et à n ce qui nous donne bien n solutions à notre équation. Et donc pour considérer une puissance rationnelle, il faut faire plutôt attention à ce qu'on manipule .

Est-ce plus clair ainsi?

Ouai c'est plus clair !

Merci.

Après si tu souhaite aller plus loin, dans le même genre d'idée comment définir une puissance réelle maintenant? .

Il faut réfléchir un peu plus en profondeur à l'idée de lorgarithme complexe àce moment là (nous sommes totalement hors programme mais bon tes questions m'émerveilel toujours autant donc autant piquer ta curiosité un peu plus ). En effet dans R, on sait que:

Pour y réel et x réel strictement positif, on a:
x^y= Exp[y*Ln(x)] (sauf erreur tu as vu la définition de Ln(a^x) avec x réel non?)

Mais en complexe, est-ce possible? En gros, existerait-il une fonction réciproque de la fonction exponentielle en quelque sorte?

Bah je n'ai pas encore abordé en cours le chapitre sur les exponentielles et le logarithme népérien, donc peux-tu garder cette question en mémoire et me la reposer un peu plus tard dans l'année ????

Bonsoir,

Il n'y a pas de problème. En effet, si tu n'as pas encore étudié de fond en comble la fonction exponentielle, le parachutage de l'expression exponentielle d'un complexe a dû être un peu complexe c'est le cas de le dire . Mais nous reverrons cela plus tard, de toute façon, je ne supprimes pas mes messages.

Bonne continuation!

Salut !

Alors je déterre ce sujet car on vient d'étudier les fonctions exp et ln donc je me sens prêt à étudier le problème que tu me soumettais il y a qques temps, 3 messages plus haut.

Alors voilà je suis prêt à démarrer ces investigations intellectuelles avec toi.

Merci d'avance :-)

Bonsoir,

Donc la remarque quej e faisait plus haut était de savoir si nous pouvions définir un logarithme complexe en quelque sorte.

On savait que dans R, pour y>0, et un réel x, on a: y^x= e^x*Ln(y)

Et avec tout ceci, la question qui se poserai légitimement serait de savoir si nous avonsn la même chose dans C? En effet, si on prend maintenant x et y dans C, est-ce que y^x a un sens? Si oui, lequel?

Mais bon là, on va très loin je pense mais bon, c'est une question comme une autre juste pour aborder l'aspect intuitif des choses.

Qu'en penses-tu ?

Pour moi une puissance complexe n'a aucun sens puisqu'un complexe n'a pas vraiment de valeur en soit

C'est en effet, une façon de voir les choses.

Alors autre question toujours dans le même ordre d'idée, nous avons défini l'exponentielle complexe (qui ressemble à s'y méprendre à une puissance complexe d'ailleurs). C'est une fonction qui est z associe exp(z) qu'on peut toujours noter, e^z.

Existerait-il une fonction F telle que F(exp(z))=z pour des z pris dans un ensemble qui resterai à déterminer?

Des idées ?

Hummm... Pour les réels je te repondrais bien sur la fonction logarithme népérien mais là pour les complexes je ne vois pas trop.

Mais de toute façon Il faudrait d'abord prouver que l'application exponentielle complexe est bijective pour quelle admette une reciproque

Il y a deux façon de montrer qu'une fonction admet une réciproque.

Soit on en exhibe une et on montre que FoG=GoF=id. Soit de façon formelle, on montre en effet que la fonction est bijective par des thoérèmes formels.

Ici, l'intuition est de dire en effet que si z est de partie imaginaire nulle c'est à dire que z est réel alors le logarithme népérien convient en effet. Maintennat, essayons d'aller plus loin:

Si je note z=a+i*b, on a donc exp(z)=exp(x+ib)=exp(a)*exp(ib) d'après les propriétés de l'exponentielle complexe.

Nous allons nous mettre en état de recherche. C'est à dire qu'on a le droit de tout faire et de tout supposer et ensuite on essaiera de justifier les choses.

Donc en considérant que la fonction logarithme pour les complexes existe, on l'appelle F pour ne pas avoir de problème, qu'est-ce que cela donne si j'applique cette fonction exp(z) écrit ci-dessus? De façon très intuitive, j'entend.

Ensuite, pour voir ce qui se passe réellement, on peut essayer de regarder ce que vaudrait F(-1) sachant que -1 à une écriture complexe sous forme exponentielle.

Nous sommes complètement hors programme (et tu ne t'imagine même pas à quel point du point de vu théorique d'ailleurs) mais nous pouvons tout de même sentir les choses de façon intuitive et mettre en évidence les véritables questions que ce sont posées les mathématiciens face à ce problème.

Et bien si on suppose qu'elle existe, on a : F(e^z) = z = a + ib

après, F(-1) = F(e^ipi) = ipi

mais bon bien que les complexes n'aient pas de signe, -1 reste negatif et la fonction logaritheme népérien pour les réels n'est pas définie en -1 donc déjà on voit que ya un problème...

Bonsoir,

En effet, si on considère qu'on a encore une fonction logarithme sur ]0;+Inf[, il y a en effet des soucis pour la définir en -1. C'est d'ailleurs pour cela, que je ne l'appelle par Ln pour l'instant. Par contre, nous avons vu que si le complexe a une partie imaginaire nulle et donc est réel, nous avions bien F=Ln c'està dire que pour tout x>0, F(x)=Ln(x). En ervanche, mettre e qui estu n nombre réel à la puissance i*θ ne te gêne pas plus que celà . Car en fait, on a défini une extension de la fonction exp dont on a gardé l'écriture sous forme d'exposant car les propriétés de l'exponentielle sont conservées en complexe mais bien entendu que exp(i*θ)=e^i*θ n'est pas calculable dans le sans où la calculatrice ne te donnera pas un nombre réel comme résultat c'est évident vu qu'il s'agit d'un complexe.

Ici, je tente de t'initier avec tes propres expériences mais aussi mes propres expériences à quelque chose que je pense pour ma part profond en mathématiques et qui est la manipulation d'objet abstrait ou si tu préfères le recule théorique sur les objets que tu manipules. Je ne prétend pas le moins du monde que je vais y arriver mais, mon but est simplement de continuer ton propre questionnement qui te motive dans la compréhension des mathématiques mais aussi des sciences en soi. Et surtout, je souhaite piquer ta curiosité à vif pour te montrer qu'avec peu de chose, il y a des démarches mathématiques très intéressantes qui te sont accessibles tout de même du point de vu de la démarche en tout cas (en effet, la définition de l'exponentielle complexe de façon rrigoureuse ne t'es pas encore accessible mais la démarche menant à son existence ou tout du moins au questionnement de son existence est tout à fait accessible et même, je trouve très intéressante du point de vu de l'esprit de recherche en mathématiques).

Maintenant, par extension de ce que tu écris, je peux donc écrire: pour tout a>0, F(-a)=F(ae^iPi)=F(a) + i*pi

Ici a>0, donc F(a)=Ln(a)

Ainsi, nous pouvons écrire pour l'instant (je rappelle qu'on a supposé l'existence de F ainsi que ses propriétés, nous n'avons rien démontré ici):

F(-a)=Ln(a) + i*Pi

Si on explicite un peu, que pouvons nous dire sur a*e^i*θ avec a>0 et θ un réel? (le nom de cette expression a été vu cette année)

Et maintenant si on lui applique la fonction F à ce nombre que trouvons-nous? A-t-on unicité de l'écriture? Si oui, pourquoi? Si non pourquoi?

C'est vraiment une démarche de la recherche mathématiques car on avance par questionnement successif et on essaie de cibler petit à petit si ce que nous souhaitons mettre en place à un sens d'une part et d'autre part si cela à une utilité en soi aussi.

Bon courage!