Fonction exponentielle

Bonjour, voici un exercice qui me pose pas mal de problèmes,
Soit g la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par : g(x) = 1-(x²-2x+2)e^-x
1.Étudier les limites de la fonction g en -l'infini et en +l'infini
2.Calculer la dérivée de la fonction g et déterminer son signe
3.En déduire le tableau de variation de la fonction g
4.Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique dans l'ensemble des nombres réels

1. En ce qui concerne les limites j'ai trouvé : pour la limite de g(x) en +l'infini je trouve +1. Et pour la limite en -l'infini je trouve -l'infini.
Ensuite c'est là que ça ce complique pour la dérivée je trouve : x²(e^-x)-x(e^-x)+2(e^-x).

J'aurais voulu savoir si c'était bien ça

Bonjour et bienvenue parmi nous William!

Les limites sont tout à fait justes. Comment les justifies-tu pour l'une comme pour l'autre? Car avoir un résultat juste en fait ne donne pas grand chose de la démarche pour arriver au résultat alors que d'un point de vue durable c'est le cheminement menant au résultat qui est intéressant.

Sinon, pour la dérivée, il y a un soucis majeur par contre. En effet, tu as bien dérivé la constante et l'exponentielle mais x|-->x²-2x+2 n'est pas une fonction constante! Par conséquent, nous avons sous les yeux, l'addition de deux fonctions dont l'une est constante et l'autre est la multiplication de deux fonctions.
Or comment dérive-t-on la multiplication de deux fonction lorsque ces deux fonction sont dérivables?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

u'.v+u.v' non ?

C'est tout à fait exacte pour la dérivée d'un produit!!

Et maintenant, si on l'applique cela donne quoi pour la dérivée de notre fonction?

Bon courage!

g'(x) = (x²-2x+2)*e^-x - e^-x*(2x-2)
= e^-x*(x²-4x+4)
= e^-x*(x-2)²

C'est nickel!!

A ce demander pourquoi ça ne l'était pas dès le départ .

Alors du coup, que savons-nous du signe de cette quantité connaissant les propriétés de l'exponentielle?

Bon courage!

Donc on peut dire que g'(x)>0 si x=2 donc la fonction g est croissante
Ensuite on fait le tableau de variations
Et pour la question 4. on utilise le théorème de Bijection
g(0)<0 et g(1) >(ou égale) 0
Donc 0 est compris sur l'intervalle ainsi g(x)=0 admet une solution dans l'intervalle [0,1]

Je ne comprend pas ta conclusion:

Citation :

Donc on peut dire que g'(x)>0 si x=2 donc la fonction g est croissante

Que veux-tu dire par cette phrase?

Sinon, le théorème de la bijection est bien trop fort ici vu qu'on ne cherche pas à montrer que la fonction admet une fonction réciproque (ce qui est le cas par le théorème en fait vu quel a fonction est strictement croissante). Mais nous cherchons seulement à montrer qu'il y a un point d'annulation sur un intervalle. Le théorème des valeur intermédiaire suffit amplement pour cela, tu ne crois pas?

Bon courage!

4.Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique dans l'ensemble des nombres réels
La dérivée est positive ou nulle pour x = 2. Donc a est l'unique solution de l'equation g(x) = 0 dans R; g(0)<0 et g(1)> 0
donc l'equation g(x) = 0 admet une solution unique a dans l'intervalle [0;1]

Or! G'(x) est positive ou elle est nulle uniquement pour x=2.

Maintenant, nous souhaitons en effet, savoir s'il y a une unique solution sur R à l'équation g(x)=0.

Pour cela, il faut d'abord connaître le sens de variation précis de la fonction G, quel est-il? Avant même de conclure sur l'existence et l'unicité de la solution.

G est strictement croissante sur R

Le stricte croissance a toute son importance ici.

Pourquoi?

Car si on avait seulement la croissance de G, on pourrait donc avoir un intervalle tout entier où la fonction pourrait être constante. Et si par malheur, il s'agit d'une constante égale à 0 et bien, nous aurions une infinité de solution à G(x)=0.

Maintenant, le théorème des valeurs intermédiaires nous dit quoi? N'oublions pas que nous n'avons pas utilisé la première question encore ce qui est plutôt louche, tu ne crois pas?

Et bien l'unique solution a est compris sur l'intervalle image [-infini,1] cat g(0)=-1 et g(1)>0. Donc 0 est compris entre g(0) et g(1). Ainsi g(x)=0 admet une solution sur I

c'est bon j'ai réussi à finir mon exercice et je vous en remercie Maths cuicui

Citation :

Et bien l'unique solution a est compris sur l'intervalle image [-infini,1]

Ceci ne veut rien dire car la solution de l'équation G(x) est une valeur de x et non une valeur de G(x) (qu'on veut égale à 0). Donc la solution a n'appartient pas à l'intervalle image vu qu'il doit être inclus dans l'ensemble de définition et fait partie de l'ensemble des antécédant de 0 par la fonction G.

Est-ce que tu comprends l'erreur, ici?

Sinon pour la suite de ce que tu écris, il y a une solution sur I=]0;1[ oui mais nous, nous souhaitons avoir une solution unique sur R tout entier.

Donc quel raisonnement utilisons-nous ici? Quelles hypothèses allons-nous utiliser pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ici?

Bon courage!