La fonction exponentielle...

Bonjour cuicui !

Alors en relisant mon cours sur les nombres complexes, je me suis mis à me poser pleins de questions autour de la fonction exponentielle.

Tout d'abord, en voyant l'écriture exponentielle d'un nombre complexe : e^i*x = cosx + i*sinx, je me suis demandé : comment le démontre-t-on ? car jusqu'à maintenant, on l'a admis comme notation.

Donc j'ai trouvé deux moyens :

- soit en utilisant le développement en série de la fonction exp (en tant que fonction d'une variable réeel et à valeurs complexes) et ceux des fonctions réelles cos et sin
- soit en dérivant la fonction f définie par f(x) = (cosx + i*sinx)/(e^i*x), on trouve que la dérivée est nulle, donc fonction constante, etc.

Mais j'ai plusieurs problèmes avec ces deux méthodes :

tout d'abord, pour démontrer la formule donnant l'expression de exp sous forme de somme infinie, il faut utiliser la formule de Taylor, laquelle utilise la dérivation de la fonction exponentielle, et la dérivation de exp (comme fonction d'une variable réelle à valeurs complexes) a été justifié dans mon cours en utilisant le fait que e^i*u = cos(u) + i*sin(u) (ce qu'on cherche à démontrer...) et pour la fonction exp réelle, le prof nous avait indiqué que pour démontrer la dérivée de exp, il fallait utiliser son dvpt en série, mais alors on tourne en rond puisque pour démontrer l'un, il faut l'autre, et pour l'autre il faut l'un.
Donc j'en suis venu à la conclusion : on peut définir exponentielle de pleins de manière différentes.
Mais par exemple, si on définit exp comme somme infinie, est-ce parce qu'on a trouvé cette formule grâce à la formule de taylor et après on a posé cette formule comme définition et en gros on dit que c'est en accord avec la formule de taylor ?

Je m'embrouille un peu là, pourrais-tu remettre un peu d'ordre dans tout cela ?

Merci d'avance.

PS : j'espère que mon message n'est pas trop confus

Remarque : qu'est-ce que cela signifie qu'un ensemble de nombres complexes est dense dans un autre ? Par exemple que {e^i*n, n entier naturel} dense dans l'ensemble des nombres complexes de module 1 ? Pour les réels, on a vu la densité sous forme d'inégalités : Q est dense dans R par exemple signifie que quelque soit les réels x et y (x<y), il existe q élement de Q tel que : x<q<y.
Pour les complexes, comme il n'y a pas de relation d'ordre, comment définit-on la densité ?

Bonsoir,

Je vais commencer par répondre à la dernière question qui est la plus simple en fait car en terminale, on ne te donne pas réellement la définition de densité générale. En effet, dire que A est dense dans B cela signifie simplement que si je prend un élément dans b et bien n'importe quelle boule ouverte de rayon epsilon contient un élément de A.

Est-ce plus clair ainsi ?


Sinon, pour la fonction exponentielle, il s'agit en effet de différent moyen de définir la fonction en elle même. Tu en connais d'ailleurs deux qui ne se contredisent pas du tout c'est à dire la réciproque de la fonction logarithme népérien sur R ou comme l'unique solution de l'équation différentielle F'=F et F(0)=1.

Bon ça c'est sur R et c'est assez simple mais maintenant comment définir l'exponentielle sur C maintenant?

Et bien, la première définition est de poser purement et simplement l'égalité avec les cosinus et les sinus. Puis ensuite, on vérifie qu'il y a correspondance entre cette nouvelle fonction exponentielle à valeur complexe et la fonction exponentielle réelle ce qui est bien le cas. Ensuite, on définit la série entière via dérivation successive et convergence de la série.

Mais on peut aussi définir la fonction exponentielle via sa série entière. Et via la convergence des série entières des cosinus et sinus nous pouvons avoir l'égalité des deux fonctions.

Il s'avère en fait qu'il y a mieux que l'exponentielle réelle à valeur complexe. En effet, on définit ce qu'on appelle l'exponentielle complexe, z|->e^z=Somme_n zⁿ/n! (série normalement convergente). Et on regarde qu'il y a bien correspondance avec la fonction exponentielle réelle et ce qui permet de tout redéfinir car sachant que z=x+i*y, on a donc e^z=e^x*e^iy (moyennant démonstration tout de même et celle-ci n'est pas si évidente que cela car c'est ce qu'on appelle un produit de Cauchy pour passer de droite à gauche).

J'espère que cela te permettra te mieux appréhender les choses. En fait, il faut essayer d'être assez ouvert dans le sens où l'ensemble des complexes permet d'avoir un prolongement des fonctions réelles mais avec quelques petites adaptations dû au changement d'ensemble (la fonction logarithme n'est pas définie sur tous l'ensemble des complexes, la fonction racine carrée n'est pas la même sur l'ensemble des réels que sur l'ensemble des complexes et d'autre petit changement aussi dû surtout à la notion de rotation qui est présente chez les complexes et qui ne l'est pas chez les réels).

Bonne continuation et n'hésite pas à poser tes questions!

Pour l'histoire de densité et mon exemple de {e^i*n, n entier naturel} dense dans l'ensemble des nombres complexes de module 1. Comme l'exprimer ?
Est-ce ainsi : pour tout complexe de module 1, il existe une sous-suite extraite de e^i*n convergent vers ce complexe ?


Et pour l'histoire de l'exponentielle, je trouve que c'est un peu le bordel, car pour démontrer certaines choses on part d'une certaine définition de l'exponentielle, mais au final je trouve qu'on n'a rien démontré car on a un peu procédé de la manière suivante : on utilise la définition A pour démontrer la proposition P et aussi on a pris la proposition P comme définition pour démontrer la proposition A.

Rq : je ne suis plus en terminale hein ^^

Je sais bien que tu n'es plus en terminale mais je prenais un exemple concret de deux définitions d'un même objet utilisable l'un sans l'autre, sans aucun problème.

Si on pose ton exponentielle égale à une série. Nous pouvons, par la suite, démontrer que cette même série résulte de l'addition de la série de Taylor du cosinus et de la multiplication par i de la série du sinus sans se mordre la queue. En revanche, ce qui serait une faute en soi, c'est de dire que la série qu'on a posée pour l'exponentielle est sa série de Taylor car là on sous entend que nous avons une fonction qui est dérivable et dont on connaît les dérivées ce qui n'est pas le cas bien entendu.

En revanche si on pose l'exponentielle comme étant la somme du cosinus et du produit de i par le sinus, alors là, nous pouvons bien entendu déduire la série de Taylor de la fonction qu'on vient de définir toujours sans se mordre la queue.

On montre ainsi l'équivalence entre les deux définitions car dans la première partie, on pose une définition et on arrive à l'autre et dans la deuxième définition, on par de l'addition et on arrive à la série.

Et j'ai pris l'exemple même de la fonction exponentielle réelle faite en terminale car en tant qu'enseignant nous pouvons faire un choix pour présenter la fonction exponentielle car elle a deux définitions. Soit la solution d'une équa-diff soit la fonction réciproque d'une autre fonction. Mais si on pose la fonction comme solution de l'équa-diff, on trouve bien que cette fonction est la réciproque du logarithme et inversement si on pose cette fonction comme la réciproque du logarithme népérien, on trouve bien que cette fonction est solution de l'équa-diff considérée.

Pour ta densité, tu peux utiliser la caractérisation séquentielle si tu le souhaites après tout, nous avons un espace normé donc c'est tout à fait faisable aussi et même souvent plus pratique mais j'étais revenu à la définition générale pour ma part à l'aide d'intersection d'ouvert.

Est-ce plus claire ainsi ?

Bon courage!

Pour l'exponentielle : nickel

Pour la densité : ce n'est tjrs pas très clair. Qu'appelles-tu caractérisation séquentielle ?

Ce que j'appelle "caractérisation séquentielle", c'est d'utiliser les suites pour définir la densité d'un ensemble dans un autre si ces ensembles sont métriques (c'est à dire qu'il y a une norme sur les ensembles ce qui est le cas vu que le module complexe est une norme sur l'ensemble des complexes).

Et cette caractérisation nous dit la chose suivante: "A est dense dans X si pour tout point de X, il existe une suite de A convergent vers x".

En gros, c'est ce que tu es vu pour la densité de Q dans R: "Pour toute valeur réelle, il existe une suite de rationnelles convergent vers cette valeur".

Donc ici, si tu arrives à montrer que pour tout complexe de module 1, il existe une suite de ton ensemble convergent vers ce complexe, alors il y aura densité. Or, qu'est-ce qu'une suite de ton ensemble? Ce n'est autre qu'une sous suite de (eⁱⁿ) tout simplement.

En espérant que cela soit plus clair maintenant.

Bonne continuation!

Oui cela est clair.
Autre interrogation :

On avait vu au début de l'année les propriétés des fonctions exp et ln et en particulier :

Pour n un entier relatif et x un réel : exp(n*x)=(exp(x))^n et pour x>0, ln(x^n)=n*ln(x).

Ces formules sont pourtant bien généralisables pour un exposant réel non ? Pourquoi ne pas l'avoir dit dans le cours ?

ie. Pour x un réel et a un réel, exp(a*x)=(exp(x))^a et pour x>0, ln(x^a)=a*ln(x).

Pour l'exp, j'ai réussi à le montrer à l'aide de la definition d'une puissance réelle.

Bonsoir,

Le soucis de ton raisonnement est dans le fait qu'il faille démontrer ce que tu avances. Du coup, il devient très simple de démontrer les choses avec des entiers en utilisant un raisonnement par récurrence ce qui est tout à fait accessible pour les terminales.

Mais démontrer ta formule pour des réels, cela demande une notion de densité ce qui n'est pas accessible avant d'avoir vu la notion en question. C'est à dire que sans la densité de Q dans R, il n'est pas possible d'avoir accès à ce que tu avances. Ce qui explique qu'on en parle pas en terminale.

En espérant avoir répondu à tes attentes.

Bonne continuation!