Equation de cercles.

Bonjour à tous. J'ai rencontré un petit problème en effectuant un exercice de mathématique!
Voici l'énoncé:

On considère le cercle C d'équation: x² + 2x + y² - y = 5
Et le cercle T de centre F(4;3) et de rayon 5.
1°) Déterminer le centre et le rayon du cercle C et une équation du cercle T.
2°) Tracer C et T sur une même figure.
3°) Calculer les coordonées des points d'intersection A et B des deux cercles.


Pour la question 1°) :
Equation du cercle T: Sachant que x² + y² = r²
Alors 4² + 3² = 5²
Soit 25 = 25
Donc cette équation prouve que le cercle a comme centre 0.

Par contre, je bloque pour la deuxième partie de la question: Centre et rayon du cercle C.


Cette leçon est toute nouvelle pour moi, et j'ai encore du mal à me servir des formules.
J'attends vos réponses avec impatience! Emeline.

Bonsoir,

Il y a une confusion dans l'équation d'un cercle. En effet, un cercle est l'ensemble des points qui sont équidistant d'un même point appelé centre. Donc si F est le centre de notre cercle et que son rayon est de R=5, on a donc:

M appartient au cercle <=> MF=R <=> MF²=R² (car ce sont des distances positives donc il y a bien équivalence).

Donc l'équation du cercle dépend de son centre (ce qui est tot à fait logique d'ailleurs). Par conséquent, tu constatera qu'en fait l'équation que tu donne n'est autre que l'équation d'un cercle de centre O(0;0) de rayon 5 car OM²=x²+y² (si j'appelle (x;y) les coordonnées du point M), on a donc x²+y²=25 mais ce n'est pas du tout, l'équatino du cercle de centre F et de rayon 5.

Ce que tu as montré en fait c'est que F appartient au cercle de centre O et de rayon 5 mais à la rigueur, on ne te le demandait en fait .

Est-ce que tu comprends mieux le principe?

Bon courage!

Je pense avoir compris.
Mais dans ce cas, je ne sais pas comment m'y prendre pour traiter la question.. :/

Bonsoir,

A ce moment là, nous souhaitons donc trouver un lien entre les coordonnées d'un point M(x;y) du plan lorsque celui-ci appartient au cercle de centre F et de rayon R=5.

Or nous savons que M appartient à ce cercle c'est équivalent à dire que la distance MF au carré (c'est à dire MF²) est égale au rayon R mis lui aussi au carré. C'est à dire que MF²=R²

R=25 jusque là ça va.

Maintenant que vaut MF² connaissant les coordonnées de F?

Bon courage!

Donc comme je disais:
4² + 3² = R²
25 = R²
25 = 5²
25 = 25 !
Donc on peux dire que MF² = R²

Mais comment en déduire l'équation du cercle?
Qu'appel t-il "équation du cercle" ? Enfin, je veux dire: Qu'attendent-ils de nous comme réponse? Juste prouver que x² + y² = R² ?

Bonjour,

L'équation d'un cercle n'est pas x²+y²=R².

En effet, par exemple: (x-2)² + (y+1)² = 16 est aussi l'équation d'un cercle et il y en a plein d'autre.

Trouver l'équation d'un cercle, c'est en fait, donner le lien qui existe entre les coordonnées d'un point M(x;y) lorsque celui-ci appertient au cercle.

Or, un point M(x;y) appartient à un cercle de centre Ω(x_Ω;y_Ω) et de rayon R si et seulement si ΩM=R ce qui reivent à dire que ΩM²=R²

Donc pour cette question, il faut savoir exprimer la distance entre deux point dont on connaît les coordonnées.

Par exemple, si je considère A(1;2) et B(4;3) comment calcule-t-on la distance AB?

Bon courage!

Je dois donc utiliser la formule:
R² = (x_F - x_Ω)² + (y_F - y_Ω)²

Ca donne donc:

R² = (4 - 5)² + (3 - 5)²
R² = 1 + 4
R² = 5

Bonsoir,

A quoi correspond Ω dans ta formule???

De façon simple, si je prend A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) que vaut la distance AB?

Il faut vraimetn être au clair sur les calcls de distance dans un repère orthonormée car sans cela, l'équation d'un cercle serait très compliqué à trouver vu qu'elle est définie en fonction de la distance d'un point au centre du cercle.

Bon courage!

Je suis désolée, Je ne comprends absolument rien.. =(

Bonsoir,

En fait, tu te bornes à dire que l'équation d'un cercle est exclusivement x²+y²=R²

Or ceci c'est l'équation d'un cercle de centre O(0;0) et de rayon R. En effet, si je prend un point M de coordonnées (x;y), je dirai qu'il appartient à mon cercle de centre O(0;0) et de rayon R si et seulement si OM=R

Or OM=√[ (x-0)² + (y-0)² ]=√(x²+y²)

Donc OM=R <=> √(x²+y²)=R

Or vu que OM et R sont des nombre positifs, ils sont ranger dans le même ordre que leur carré et par conséquent: OM=R <=> OM²=R²

Ce qui nous donne x²+y²=R² qui est bien l'équation de mon cercle de centre O(0;0) et de rayon R.

Maintenant avnt d'aller plus loin, te souviens-tu de comment on calcule la distance entre deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) dans un repère orthonormé?

C'est à dire: à quoi est égale à enfonction de x_A, y_A, x_B et y_B, la distance AB?

Car c'est la base pour trouver l'équation d'un cercle dans un repère orthonormé.

Bon courage!

Bonjour! J'ai bien relu le cours qu'elle nous a fait et j'ai ensuite essayé de résoudre l'exercice.
Voilà ce que ça donne:

Centre et rayon du cercle C :
x² + 2x + y² - y = 5
(x+1)² - 1 + (y-1/2)² - 1/4 = 5
(x+1)² + (y-1/2)² = 5 + 1 + 1/4
(x+1)² + (y-1/2)² = 25/4 = (5/2)²
Cercle de centre A(-1;1/2) et de rayon 5/2

Equation du cercle T :
(x-4)²+(y-3)² = 25
x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 = 25
x² +y² - 8x - 6y = 0
x² + y² - 8x - 6y = x² + y² + 2x - y - 5
10x + 5y -5 = 0
5y = -10x + 5
y = -10x/5 + 5/5
y=-2x+1
Ensuite, on repporte y dans la première équation soit:
x² + y² - 8x - 6y
x² + (-2x + 1)² - 8x - 6(-2x+1)
x² + 4x + 1 - 8x + 12x - 6
x² + 8x - 5
On cherche ensuite la forme canonique:
(x+4)² - (16+20)/4
(x+4)² - 9
Il n'y a donc aucunes racines.

Bonsoir,

Ca marche beaucoup mieux ne effet. La première question est donc juste.

Pour la troisième, elle commence ici en fait:

Citation :

x² + y² - 8x - 6y = x² + y² + 2x - y - 5
10x + 5y -5 = 0
5y = -10x + 5
y = -10x/5 + 5/5
y=-2x+1
Ensuite, on repporte y dans la première équation soit:
x² + y² - 8x - 6y
x² + (-2x + 1)² - 8x - 6(-2x+1)
x² + 4x + 1 - 8x + 12x - 6
x² + 8x - 5
On cherche ensuite la forme canonique:
(x+4)² - (16+20)/4
(x+4)² - 9
Il n'y a donc aucunes racines.

Tu as en fait un système de deux équation à deux inconnues lorsque tu cherches les points d'intersection de deux ensembles et iciles deux équatinos sont en effet tes équations de cercle:

{x² + y² - 8x - 6y=0
{x² + y² + 2x - y - 5=0

En faisant l'égalité des deux on trouve done une droite t en injectant y dans l'une des deux on trouve donc les abscisses des points d'intersection en effet. Mais pourquoi (x+4)²-9=0 n'a pas de solution? CAr 9=3² et on peut donc encore factoriser.

Cependant, j'ai mis un rouge, dans ma citation quelque chose qui n'estp as correct car il y a un carré qui n'a pas été bien développé là entre les deux lignes .

Sinon, pour la premières question as-tu compris les histoires d'égalités entre deux distances pour obtenir l'équation de T? Car connaître la formule par coeur peut être une solution mais bon savoir d'où elle vient pourra te servir si un jour ont te demande de dire quel ensemble représente MF²=R² par exemple.

Bon courage!

D'accord !
J'ai trouvé mon erreur:

x² + (-2x + 1)² - 8x - 6(-2x+1)
x² + 4x² + 1 - 8x + 12x - 6
5x² + 4x - 5
On cherche ensuite la forme canonique:
5[(x+4/10)² - (4² - 4 x 5 x (-5))/(4 x 5)²]
5[(x+2/5)² - 116/400]
5[(c+2/5)² - 29/100]

Il est tard, je vais me coucher. Je ferais la factorisation demain. Merci pour votre aide.

Avant de faire la factorisation, est-ce que ce développement est correct ?

Bonjour,

Désolé pour le contre temps, il y a une légère erreur dans ta factorisation j'ai l'impression.

En effet, tu as au départ: 5x² +4x -5=0 (d'ailleurs remarque générale, il faut que tu recopiasses le "=0" partout si tu veux rester cohérente avec ce que tu résous).

Doncl a première étape est de factoriser par 5 en effet ce qui donne: 5*[x² + (4/5)*x - 5/5]=0 <=> 5*[x² + (4/5)*x -1 ]=0
On peut donc directement diviser par 5 vu que notre produti doit être nul ce qui donne:

x² + 2*(2/5)*x - 1=0

Et là, on utilise bien le fait de considérer les deux premiers termes comme le début d'une identité remarquable ce qui nous donne:

(x + 2/5)² - (2/5)² - 1 =0

Je te laisse finir les calculs qui je trouve sont plus simples sous cette forme là en tout cas (tout est sur 25 et non sur 400).

Bon courage!

On ne m'a pas appris ainsi.
Quand on nous demande de trouver la forme canonique, notre professeur nous a dit d'utiliser la formule:
a [ (x+(b/2a)²) - ((b² - 4ac)/4a²) ]
Ce qui revient à dire que:
5[(x+4/10)² - (4² - 4 x 5 x (-5))/(4 x 5)²]
5[(x+2/5)² - 116/400]
5[(x+2/5)² - 29/100]
Ensuite, on factorise:
5[(x+2/5)² - ((√29)/10)²]
5[x+(2/5)+(√29/10)] [x+(2/5)+(√29/10)]
Soit
5[x+(4-√29)/10] [x+(4+√29)/10]
.. Qui sont les deux racines !

Bonsoir,

Je ne suis pas pour apprendre des formules par coeur en fait mais pourquoi pas si tu la retiens sans problème. Par contre attention à bien savoir la lire 4a²=4*a², il n'y a donc que le a qui est au carré. Pour ma part, lorsque je cherche laforme canonique je refais toujours le calcul car apprendre l'énorme formule est toujours risquer après tout (erreur de signe ou mauvaise interprétation).

Je te laisse reprendre ton calcul qui est en fait plus simple que cela au niveau des racines comme tu vas le constater.

Bon courage!

Je trouve comme racine:
5[x+(2-√29)/5] [x+(2+√29)/5]

Les calculs sont exacts par contre ce que tu écris est l'expression canonique. Les racines du polynôme sont les valeurs de x annulant le polynôme.

Quelles sont les racines du polynôme donc?

Et en conclusion quelles sont les coordonées des deux points d'intersection? (il ne restep lus qu'à calculer les ordonnées dès qu'on aura les abscisses).

Bon courage nous y sommes presque là .

Les racines sont donc:
x₁ = -(2-√29)/5
x₂ = -(2+√29)/5

Ensuite, comment dois-je faire pour trouver les coordonnées des deux point d'intersection?

A quoi correspondent les deux racines d'après le système que nous cherchons à résoudre?

M(x;y) est un point d'intersection entre les deux cercles si et seulement si ses coordonnées vérifient le système suivant:

{x² + y² - 8x - 6y=0
{x² + y² + 2x - y - 5=0


Bon courage!

Je ne comprends pas et ne trouve pas à quoi est égal x et y ...

Nous cherchonsl es points d'intersection entre les deux cercles qui ont respectivement pour équation: x² + y² - 8x - 6y=0 et x² + y² + 2x - y - 5=0.

Un point d'intersection entre deux cercles est un point qui appartient aussi bien à un des cercles qu'à l'autre. Ainsi ses coordonnées (x;y) vérifient aussi bien l'équation du premier cercle que l'équation du deuxième cercle.

Par conséquent, les coordonnées (x;y) d'un point d'intersection entre les deux cercles sont exactement les solutions du systèmes à deux inconnues x et y composées des deux équations de cercles c'est à dire:

{x² + y² - 8x - 6y=0
{x² + y² + 2x - y - 5=0


Est-ce plus clair pour la démarche de résolution? Lorsqu'on cherche les coordonnées d'un point d'intersection, il s'agit toujours de la même démarche en fait.

Maintenant, qu'avons-nous résolu pour notre part? En effet, depuis quelque message tu cherches les racines d'un polynôme du second degré mais comment as-tu mis en évidence le dit polynôme? Et par conséquent à quoi correspond les racines de ce polynôme?

Bon courage!

J'ai l'impression que nous somme entrain de nous compliquer la vie. Ne faisons nous pas un tas de calcul pour rien? J'ai réfléchi un peu, et voici ce que j'en ai déduis :

(x-4)²+(y-3)² = (5)²
x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 = 25
x² + y² - 8x - 6y = 0
D'où x² + y² - 8x - 6y = x² + y² + 2x - y - 5
10x + 5y -5 = 0
5y = -10x + 5
y = -10x/5 + 5/5
y=-2x+1
Ensuite, on repporte y dans la première équation soit:
x² + y² - 8x - 6y = 0
x² + (-2x + 1)² - 8x - 6(-2x+1) = 0
x² + 4x² - 4x + 1 - 8x + 12x - 6
5x² - 5 = 0
x² = +1 ou -1
D'où x = +1 ou -1
Ce sont les abscisses des points d'intersection des 2 cercles.
0n remplace maintenant x par ces valeurs dans l'équation de la droite y = -2x + 1
0n trouve:
y = -2 x 1 + 1 = -1 d'où (1 ; -1)
ou y = -2 x (-1) = 3 d'où (-1 ; 3)


Qu'en pensez vous ?

Bonsoir,

Cette démarche est tout à fait exact et est exactement la démarche qu'on a employée en fait. A la différence près qu'elle ne contient plus l'erreur de développement du carré (-2x+1)² et qu'on trouve donc une équation du second degré simple à résoudre.

Par contre ce que je repproche à cette méthode ainsi exposée c'est son manque de rigueur lorsqu'on l'écrit ainsi. En effet, chercher les coordonnées d'un point d'intersection revient bien à résoudre le système:

{x² + y² - 8x - 6y=0
{x² + y² + 2x - y - 5=0

Et il faut mieux bien avoir conscience de cela pour pouvoir comprendre la méthode générale.

Ensuite, on effectue la différence des deux lignes; la première moins la deuxième par exemple et on garde la première ligne, ce qui donne:

{x² + y² - 8x - 6y - (x² + y² + 2x - y - 5)=0
{x² + y² - 8x - 6y=0

<=>

{y=-2x+1
{x² + y² - 8x - 6y=0

Puis en effectue une substitution du y par sa valeur dans la deuxième ligne et on conclut en effet.

Mais la démarche apparaît plus clairement ainsi car en lisant ce que tu fais, on a l'impression que tu effectues des calculs sans forcéments voir les liens qu'il y a entres eux.

En tout cas la réponse semble juste.

Bon courage pour la suite!