Problème avec les Vecteurs (je veux y arriver)

Bonjour,

J'ai vraiment du mal avec les vecteurs, parfois je pense avoir compris et une fois sur un exo je ne comprends plus rien.

Voilà mon exo :

Soit ABCD un parallélogramme
On désigne par E et F deux points quelconques de la droite (BD)

1 . construire les points G et H tels que : AG = AB + AE et AH = AB + AF

2 . démontrer les égalités vectorielles suivants : GC = ED et CH = DF

3 . Démontrer l'alignement des points C, G et H

Vous serez bien sympa de m'expliquer étape par étape et non pas me donner les réponses, car je veux absolument comprendre et réussir mes prochains exo.

Merci par avance.

je vais essayer de répondre à la question, merci de me corriger.

Donc si ABCD est un parallélogramme alors

on peut appliquer la règle du parallélogramme soit :

AG=AB+AE (les vecteurs vont dans le meme sens, et on le point A pour origine) donc AG doit être une diagonale ?

merci de me corriger

vraiment personne pour m'aider ?

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Ne t'inquiète pas pour le temps de réponse, le plus souvent il y a une réponse dans la journée (voire même plusieurs d'ailleurs). En mathématiques, l'apprentissage se fait sur la durée et donc la rapidité n'a pas lieu d'être ici bas (même si j'ai tendance à répondre rapidement en période de rush par exemple). De plus accessoirement, je fais ne fonction de mon emploi du temps aussi (nous sommes tous humains mais tu peux toujours lire les remarques sur le forum ou d'autre sujet sur celui-ci j'essaie d'être le plus présent possible ).

Sinon, pour ton exercice. La première chose à faire en fait en géométrie c'est de faire une figure aussi simple soit elle, elle t'aidera à poser tes idées et à te concentrer dessus. On ne montre rien sur un dessin mais cela aide tout de même pour démarrer les réflexions sur certains sujets. Ceci étant une remarque plutôt générale et applicable dans tous les exercices de géométrie.

Pour les vecteurs avec le nouveau programme, il faut retenir la notion de translation d'un point vers un autre point. Et c'est cette notion de déplacement qui sera centrale pour les vecteurs. Ensuite, on se rend compte qu'une translation est en fait caractérisée par la direction de celle-ci, son sens ainsi que sa longueur.

En effet, par exemple, si je prend deux points A et B et que je considère la translation de vecteur AB c'est à dire que je considère une fonction qui va emmener mon point A sur mon point B. On constate que la notion de sens est prédominante car je transporte A vers B ainsi que la notion de direction car je transporte mon point sur une droite passant par A et B c'est à dire de direction (AB). Ensuite la notion de distance intervient lorsqu'on cherche à appliquer cette translation c'est à dire par exemple qu'on cherche l'image d'un point C. En effet, pour avoir l'image du point C il va falloir que je le translate selon la direction (AB) et dans le même sens que la translation de A vers B. Mais celà ne suffit pas, il faut en plus que nous ayons accès à la distance AB pour reporter cette distance et ainsi trouver le point D image de C tel que (CD)//(AB) et CD=AB.
On écrit d'ailleurs dans ce cas là, CD=AB.

Par la suite on retient surtout qu'un vecteur est caractérisé par son sens, sa direction et sa longueur (qu'on appelle aussi norme ou distance).

Voilà en gros ce qu'on peut retenir de façon simple. Une autre façon de construire dans notre exemple le point D image de C par la translation de vecteur AB c'est de dire que [AD] et [BC] doivent se couper en leur milieu. Et un quadrilatère dont les diagonale se coupe en leur milieu étant un parallélogramme cela revient donc à dire que ABDC est un parallélogramme.

Par conséquent, on trouve une nouvelle caractérisation du parallélogramme via les vecteurs qui est la suivante:

ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB=DC ou AD=BC

Ceci conclut en gros tout ce qui faut savoir sur la base des vecteurs. Ensuite, on peut parler de relation de Chasles sur les vecteurs qui n'est autre que la mise ne évidence de composition de plusieurs translation tout simplement.

Est-ce que tout ceci te paraît clair ou il faut revenir sur certains points? N'hésite pas surtout car la notion est neuve donc autant bien asseoir les bases dès les départ pour éviter les ennuis par la suite.

Maintenant que les rappels sur le sujet ont été effectués attaquons ton exercice.

La première question est donc de la construction. Il faut bien comprendre qu'on ne peut trouver un nouveau point à partir de la figure que si on compose des translation les unes à la suite des autres. C'est à dire qu'additionner AB et AE, on ne va pas savoir faire. En effet, pour composer la translation de vecteur AB puis la translation de vecteur AE, il va falloir prendre un représentant du vecteur AE ayant pour origine B.
Est-ce que c'est clair comme façon de voir les choses ou pas du tout?

D'après ce que tu marques, [AG] est bien la diagonale d'un parallélogramme mais lequel?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Merci Blagu'cuicui, ca s'est de l'explication,

je te retrouve ce soir sur ce forum pour poursuivre l'exercice et te dire ce que j'ai fais.

Encore une fois merci pour ton aide

Bonsoir,

Avec tes conseils j'ai pu faire ce shéma



Maintenant pour démontrer je ne sais pas trop comment faire, peut etre en décomposant

2. démontrer les égalités vectorielles suivants : GC = ED et CH = DF

je vois bien que c égale, mais bon je ne dois pas lr formuler comme ca lol

donc je dirais :

GC = ED

je décompose ED donc GC = EA + AD
je décompose GC donc GA + AC = EA + AD
...
dis moi si j'ai bon pour moi poursuivre ?

Bonjour,

Désolé pour le contre temps.

Le dessin est excellent. Et le plus bizarre c'est qu'il n'y a rien à démontrer vu qu'on te demande simplement de les construire. Par conséquent, il suffit juste d'ajouter sur ton dessin ce que tu as concrètement tracer pour pouvoir trouver G par exemple. En effet, ce que tu as dû faire pour le construire (c'est à dire ta réflexion même si c'est assister par ordinateur, il n'a tracé que ce que tu lui as dit de faire) doit apparaître clairement sur la figure. Et si tu le souhaite tu peux écrire ton raisonnement au brouillon ou sur ta copie mais cela n'est pas forcément demander.

En revanche, écrire ce qui découle de la construction (des parallèlogrammes, des diagonales qui se coupent en leur milieu et autres déductions) doivent être écrit sur un brouillon au fur et à mesure que tu traces ta figure. Pourquoi?
Car ainsi, tu auras les idées totalement clairs pour la suite de ton exercice et tu auras quasiment tout ce que tu dois utiliser ou démontrer sous les yeux.

Ton idée de découpe est bonne après, j'ai l'impression que tu pars à l'aveugle dans ton découpage. En effet, tu commences à faire une relation de Chasles mais dans quel but souhaites-tu utiliser cela? Me répond pas pour démontrer l'égalité . Je cherche plutôt pourquoi tu as fait cette découpe là et pas une autre par exemple.

Le plus difficile ou le plus facile tout dépend avec les vecteurs c'est qu'on peut jouer avec la relation de Chasles pendant des heures sans pour autant trouver la solution car de façon cachée tu auras peut-être effectué deux fois la relation dans les sens opposés mais sans t'en apercevoir ce qui t'empêche donc de conclure.

L'utilisation de la relation de Chasles va aboutir c'est évident mais est-ce que d'après ce que j'ai mis en évidence dans mon dernier message il n'y a pas un moyen d'y aller plus directement en utilisant une propriété plus adapté que la relation de Chasles lorsqu'on fait de la construction de point à partir de vecteurs? D'ailleurs, tu avais déjà eu l'intuition dans tes premiers messages avec des histoires de diagonales.

Il faut vraiment y aller en douceur en géométrie et ne pas faire comme en analyse c'est à dire se lancer tête baisser dans les calculs en se disant que de toute façon ça aboutira bien à u moment où à un autre . D'ailleurs au lycée cette technique là même en analyse, elle passe plus beaucoup. Il faut donc regarder les hypothèses que nous avons puis au brouillon regarder tout ce qu'on peut déduire de façon direct ou tout ce qu'on peut observer par exemple sur la figure. Et ceci même si on ne démontre pas les choses, cela nous donnera une trame du type:

- J'ai ça en ma possession
- D'après la figure et l'énoncer j'ai l'impression d'avoir telle propriété
- Admettons que j'ai la propriété en question, est-ce que cela peut m'aider dans la réponse à ma question. Si oui et bien il ne reste plus qu'à démontrer la propriété et si non, il faut chercher une autre propriété à appliquer

Cela ressemble un peu à une démarche algorithmique si tu veux. On regarde les hypothèse, on déduit des choses et si cela suffit c'est bon et sinon on essaie d'avoir d'autres déductions.

Je te laisse reprendre la réflexion pour la deuxième question avec cette idée là en tête que tu dois essayer de mobiliser les hypothèses et tes connaissance pour savoir ce qui doit te servir dans le cadre de ta question.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

Bonsoir cuicui,

J'adore tes explications, c tres approfondie et instructive.

En fait j'ai placé mes points à l'aide d'un logiciel de graph (bagatrix) l'excellent logiciel de math Algebra solved !, mais bon pour le graph il place juste les points et c tout. En fait les points G et H je les ai tracé a l'aide d'un compas et j'ai calculé pour trouver les coordonnées des points pour vérifier (bizarre j'y arrive mieux en faisant des calculs de coordonnées) ensuite je suis allé sur photoshop pour tracer les lignes en couleur. Bref j'ai voulu faire un graphique lisible pour l'exo ;-)

Pour revenir à l'exercice :

démontrer les égalités vectorielles suivantes : GC=ED et CH=DF, je pense que l'on parle de Chasles donc de parallelogramme, je vois bien le parallelogramme DCGE,
donc si GC=ED alors DC=EG
et
CH=DF alors FH=DC (parallélogramme FHCD)

... je suis dans le bon ou non ?

bon j'ai pu quand meme calculer quelque chose dans le parallélogramme

donc GC=ED
GA+AC=EA+AD
GA+AE=CA+AD
GE=CD

Donc là je trouve bien les 2 autres paralleles

v faire l'autre en dessous

pour l'autre donc :

CH=DF
CA+AH=DA+AF
CA+AD=HA+AF
CD=HF

là je trouve également mes 2 autres paralléles de mon parallélogramme DCHF

Bonsoir,

En effet, il y a une histoire de parallèlogramme là-dessous. Par contre, tu fais une erreur de raisonnement ici et elle est très grave en fait. En effet, tu suppose le résultat vrai pour faire des démonstration dessus puis conclure que le résultat est bien vrai (ce que tu avais supposé dès le début).

Donc en effet, si GC=ED alors GCDE est un parallèlogramme. Cependant, tu n'as pas montré encore que GC=ED vu que c'estexactement la question qu'on te pose.

En revanche, si tu montre que GCDE est un parallèlogramme, tu auras montré que GC=DE vu qu'il s'agit de la caractérisation d'un parallèlogramme.

C'est le même raisonnement pour l'autre, donc essayons déjà de montrer que GCDE est un parallèlogramme à l'aide de notre énoncer c'est à dire en utilisant la construction de tes points vu que c'est quasiment la seul chose de l'énoncer (en plus du fait que ABCD soit un parallèlogramme et que E et F soient placés sur la diagonale).

Est-ce que tu comprends ton erreur et le raisonnement qu'il faut mettre en place en fait? On fera une démonstration par relation de Chasles par la suite si tu le souhaite, cela te fera une deuxième façon de voir les choses.

Bon courage!

Bonjour,

Désolé pour mon absence mais j'ai la crève là, je cours bcp et j'ai du avoir un coup de froid.
Sinon j'ai pu regarder l'exo et je pense avoir trouvé avec un peu de recul.

en fait il fallait regarder dans le parallélogramme FHCD on voit bien que E appartient au segment DF et G au segment CH, deplus EG=DC dont parallele et EG=FH, je n'ai pas calculé mais à vu d'oeil je dirais que ED=1/3DG et GC=1/3CH

V aller me reposer un peu et je reviendrais en fin d'apem, j'ai la tete qui va exploser.

Bon aprem

Bonjour,

Nous ne pouvons pas utiliser le fait que G appartient à [CH] vu que la question suivante est:

Citation :

3 . Démontrer l'alignement des points C, G et H

De plus, nous n'avons toujours pas montrer que EG=DC. On aura cette égalité vectorielle dès que la question 2) sera bouclé en fait.
Et on utilisera, un raisonnement similaire pour l'autre égalité vectorielle. Le soucis étant qu'on a ni l'une ni l'autre à l'heure actuelle.

De plus, vu la question 3), nous ne pouvons pas utiliser l'alignement des point C, H et G vu que nous ne l'avons pas encore démontrer. On a d'ailleurs besoin justement de la question 2) pour pouvoir trouver cette alignement.

Enfin, attention au piège de ne se fier qu'au dessin . N'oublions pas que E et F sont choisis de façon arbitraire (c'est à dire que c'est toi qui a choisi leur place et non l'énoncer). Par conséquent, il n'y a pas de possibilité de déduire l'égalité vectorielle que tu déduisais avec le 1/3 car cela donne une relation entre les distance qu'on a pas à priori vu que si je le souhait je peux prendre E=B et F=D si je le souhaite (je peux même les prendre en dehors du parallèlogramme ce qui changerait le sens des vecteurs aussi). Donc évitons de regarder dans ce sens là et concentrons-nous sur la démonstration de la question 2) dans un premier temps.

Est-ce que tu comprends l'erreur? Je te laisse reprendre ceci à tête reposer.

En tout cas la santé d'abord, donc bon rétablissement et n'en fait pas trop ceci ne reste que des maths à la base.

Bon courage!

Là franchement "je donne ma langue au chat" je ne vois pas comment demontrer.

Sinon je vais essayer une autre idée j'ai bien détaillé le graphique et j'ai vu dégager que si je place E et F à n'importe quel endroit de la droite (DB) j'aurais tjr 3 parallélogrammes, ici:

DCBA, EGBA, FHBA, je vois bien que le segment AB intervient tjr

donc par chasles je peux dire que

AC=AB+AD
AG=AB+AC

En fait là je suis dans le brouillard total et je m'embrouille, je dois rendre pour demain et je n'y arriverai pas

si tu peux m'aider pour le GC=ED tu serais bien sympa

merci

bon je reviens avec mon parallélogramme EGCD, si EG=DC alors GC=DE de plus on voit bien que GC et DE sont colinéaires

ils ne peuvent pas etre colinaire car il faut etre dans la direction et avoir un Facteu k
donc je suis perdu, aide moi là pour la soluce

Bonsoir,

Tu es beaucoup plus doué que tu ne le penses en fait.

Citation :

bon je reviens avec mon parallélogramme EGCD, si EG=DC alors GC=DE de plus on voit bien que GC et DE sont colinéaires

Si tu arrives à justifier cela correctement, tu auras toutes les égalités vectorielles que tu souhaites. C'est à dire que EGCD est un parallèlogramme. Pourquoi?

Car depuis que tu as vu les vecteurs tu as un moyen supplémentaire de caractériser un parallèlogramme ABCD par exemple qui est:

ABCD est un parallèlogramme si et seulement si: AB=DC ou AD=BC (deux côtés opposés parallèles et de même mesure, les vecteurs disent tout cela en même temps et de façon concise c'est d'ailleurs la grande utilité de cette notion).

Donc si tu montre que EGCD est un parallèlogramme, tu auras directement que EG=DC et DE=CG (je me fie à ton dessin pour le sens). C'est beaucoup plus puissant que la relation de Chasles en fait.

Est-ce que tu comprends le raisonnement en tout cas?

Bon courage!

ps: les vecteurs sont en gras sur le forum pour éviter de la confondre avec des distances.

Merci pour le compliment ;-) ca me motive en plus lol et je pense avoir trouvé grace a tes conseils

on sait que ABCD est un parallélogramme
et que AG=AB+AE (donc la diagonale de ABGE --> Chasles donc ABGE est un parallélogramme)

donc j'en deduit que DC//EG

donc dans le parallélogramme EGDC ) DC//EG et GC//DE donc DC=EG et GC=DE

C ca ?

Fais toi confiance en utilisant que les vecteurs .

Citation :

et que AG=AB+AE (donc la diagonale de ABGE --> Chasles donc ABGE est un parallélogramme)

Donc par construction direct, on a le fait que ABGE est un parallèlogramme, c'est la définition de la construction d'un vectuer par l'addition de deux autres (c'est la diagonale du parallèlogramme formé par les 4 points).

Donc on a le fait que c'est un parallèlogramme! Du coup, que savons-nous directement sur les vecteurs?

Il ne reste plus qu'à dérouler les égalités vectorielles pour conclure pour la première partie de la question 2) puis utiliser la même démarche (et donc le même raisonnement) pour la deuxième partie de la question (c'est à dire l'autre égalité vectorielle).

Est-ce que cela s'éclaircit ou c'est toujours flou pour toi? Il faut vraiment utiliser les vecteurs comme un objet que tu manipules à loisir comme tu sais manipuler les additions et les soustractions en quelque sorte.

Bon courage!

DC//EG//AB

VectAB=VectEG=VectDC=VectFH (pour démontrer l'alignement ca me semble bon)
VectAD=VectAE=VectBC=VectBG

GC = GA + AC
GA represente la diagonale de ABGE donc GA = BA + AE (ca g compris)
donc si je regroupe on a

GC = BA + AE + AC
GC = BC + AE

comme BC = AD (dans le parallélogramme)...

Mais on ne cherche pas à montrer l'égalité vectorielle par la relation de Chasles en fait.

J'ai l'impression que c'est cela qui te dérange. En effet, tu souhaiterais sans doute manipuler des vecteurs dans le sens utiliser la relation de Chasles. Cependant, ici, on manipule les vecteurs en tant qu'objet tout simplement (direction, longueur et sens).

Du coup, dès qu'on a dit que [AG] était par construction la diagonale du parallèlogramme formé de D, C, G et E. On a donc que DCGE est un parallèlogramme comme on l'a dit tout à l'heure.

A partir de là, on utilise uniquement la caractérisation des parallèlogrammes par les vecteurs. On ne va pas chercher à redémontrer cette caractérisation mais on va simplement l'utiliser.

Est-ce que cela te paraît plus clair?

C'est à dire qu'on a le droit de dire directement que EG=DC vu que DCGE est un parallèlogramme. Il en découle des égalité vectorielle car ABCD est aussi un parallèlogramme donc AB=DC par exemple. Mais on a aussi DE=CG car DCGE est un parallèlogramme.

Je ne sais pas si ça s'éclaircit ou toujours pas en fait. Si cela n'est toujours pas claire, n'hésite pas à poser des questions sur ce que tu ne comprends pas (une notion quej'utilise mais que tu n'as pas encore vu, une phrase que tu ne comprends pas, une déduction qui te semble bizarre, ...).

Bon courage!

oui en fait je vois ce qu'il faut démontrer mais j'ai l'impression que je mélange tout et je ne sais pas mtn si faut ou pas realiser un calcul ou juste dire ce que je vois
J'ai l'impression d'avoir tout essayé mais je ne sais plus quoi faire.
Peux tu me dire où je suis le plus proche de la réalité ?

merci

On est jamais autant proche de la réalité que lorsqu'on l'a touchée en fait .

Sinon, sans rire. Utilise juste ta cosntruction du point G pour déduire qu'il y a un prallèlogramme c'est une propriété de construction que tu as le droit d'utiliser sans redémonstration (sauf si ton prof l'exige bien entendu, enfin faut mieux savoir le faire aussi d'ailleurs). Puis après tu utilises comme tu l'as fait la caractérisation du parallèlogramme par les vecteurs pour déduire la première égalité vectorielle tout simplement.

Le plus simple serait de reprendre cela à tête reposer et au calme (tout redémontrer par Chasles plus tard sans doute, je reprendrai cela avec toi si tu le souhaite après pourquoi pas). Ne t'en fait pas pourl a date buttoire, le but reste d'apprendre sur du long terme et de mieux appréhender les démarches et les raisonnement sur ce même long terme et non absolu pour demain .

Bon courage!

En fait j'ai 40ans et jamais fais de vecteur avant, je passe mes journées et soirées à étudier les maths niveau seconde en parcourant les sites de math, car je le fais pour mon fils qui est en seconde et qui a du mal à suivre cette matière.
Donc comme tu peux le comprendre je suis un peu decu de ne pas avoir su, faire cet exercice malgré ta superbe pédagogie.

en tout cas je te remercie pour ta patience et ta gentillesse.
Bien amicalement

cédric

un pti dernier essai lol

G= vecteur AG = AB + AE
AG est la diagonale de ABGE

BD est la diagonale de ABCE
E appartient à la diagonale BD
donc dans le parallélogramme EGCD vectGD =vectED

voilà peut pas faire mieux là...

Bonjour,

Cette frustration est en effet assez logique mais il n'en est pas moins que tous les parents ne font pas cette démarche là sachez-le. Donc votre démarche et votre investissement ne seront pas vaines bien longtemps.

Pour votre "dernière" tentative, il faut faire attention à ce qu'on écrit:

Citation :

G= vecteur AG

Un point n'est pas égale à un vecteur. C'est comme si j'écrivais que des mètres était égale à des grammes.

En revanche la suite est plutôt concluante! En effet,

AG=AB+AE nous donne le fait que ABGE est un parallèlogramme c'est à dire que AB=EG (c'est la caractérisation du parallèlogramme par les vecteurs).

Après dans ce que tu écris, on ressent bien que visuellement tout est compris, il ne reste plus qu'à formaliser un peu. EN effet, que E appariennent à la diagonale [BD] ne sert par en fait. Ce qui sert c'est que ABCD est un aprallèlogramme et seulement ça.

Pourquoi?

LE fait que ABCD soit parallèlogramme implique que AB=DC

Or nous avions le fait que AB=EG

Nous en concluons donc que AB=DC=EG c'est à dire que DC=EG

ET là, nous utilisons encore la caractérisation par les vecteurs d'un parallèlogramme (deux vecteurs égaux forment un parallèlogramme et réciproquement). on a donc le fait que EGCD est un parallèlogramme.

Et à partir de ce moment là, on conclut que les deux vecteurs voulu sont égaux.

Est-ce que la démarche te semble plus clair ou toujours pas? Tout s'apprend ou se réapprend avec un peu de temps mais les réflexes sont encore enfoui, je ne pense pas que ça prendra longtemps pour les retrouver rassure-toi.

Bon courage!