Exercice sur les inverses

bonjour,

Voilà l'exercice


1 . justifier que x = √2 + 1 est l'inverse de y=√2-1

2. Montrer que si a désigne un réel positif différent de 1, le réel p=(√a-1)/a-1 est l'inverse du réel q=√a + 1
vocabulaire : on dit que l'on a rendu rationnel le dénominateur de r=1 / (√a +1)

3 . Démontrer de meme que, si les réels a et b sont tels que b>0 et a²≠b, les réels s=(a-√b) / (a²-b) et t=a + √b sont inverses.

merci par avance.




Je sais que pour tout réel positif A*B=1

- donc pour le 1er exo :

(√2 +1)*(√2-1)=2-1=1

- pour le 2eme

P=(√a -1) / (√a-1)

Q=√a +1

donc P*Q=1

Je prend a=2 par exemple

P=(√2 -1) / (√2-1)

Q=2 +1


√2-1 * √2 + 1
=2 - 2 +1
0 + 1 = 1

Je n'arrive pas à faire le dernier, calcul un peu long
...

vous serez bien gentil de m'aider

Re-bonsoir,

La première remarque est plutôt contraignante en fait:

Citation :

Je sais que pour tout réel positif A*B=1

On sait simplement que pour tout réel A non nul (et pas pour autant positif), il existe un réel B (qui sera non nul aussi d'ailleurs) tel que A*B=1
On appelle B l'inverse de A dans R

Donc la première question est correcte, il suffit de le vérifier. D'ailleurs, en passant cette astuce de calcul est très intéressante. On appelle ces deux entités des entités conjuguées (bon le nom importe peu car expliquer pourquoi cela s'appelle ainsi en seconde deviendrait laborieux, cependant, ce vocabulaire est très utilisé donc autant le connaître). Et cela permet, comme tu l'auras remarqué de "supprimer" les racines carrés. Ce qui est un avantage pour des questions du type: "Enlever les racines carrées au dénominateur de cette fraction" ou encore "Écrire cette fraction avec un dénominateur entier". En effet, en multipliant le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur, on enlève donc les racines présentes dans celui-ci.

Il s'avère qu'ici, il s'agit d'un cas particulier car en plus l'entité conjuguée est égale à son inverse mais bon, le principe reste valable si on avait eu √3 + 1. En effet, si je multiplie par √3-1 j'obtiens: (√3+1)*(√3+1)=(√3)² - 1²=3-1=2 qui est bien un entier.

Oups en lisant la suite de l'exercice, je vois que j'ai un peu entamé l'idée de l'exercice qui n'était autre que la découverte de cette notion.

Pour la 2), il s'agissait en effet, d'effectuer le calcul p*q et de retrouver 1. Très bon réflexe que de tester les choses sur un exemple en prenant a=2, on retrouver notre première question en quelque sorte.

Pour la 3), il s'agit encore et toujours d'effectuer le calcul tout simplement. En effet s et t seront inverse l'un de l'autre si et seulement si s*t=1 par définition d'être inverse.

Je vous laisse entamer les calculs.

Bon courage!

Bonsoir Cuicui,

je peux te dire que ca m'a bien retourné la tête ces inverses ;-)

Bon pour exo 2 donc:

p=√a -1/a-1
q=√a +1

donc p=q

je peux faire alors

√a -1 = √a +1 * a-1
√a -1 +1 = √a +1 *a
√a -1= √a *a
√a-√a -1=a
a=1

ou alors p*q=1

(Va-1)/a-1 * (Va+1)/1 = 1
(Va-1 * Va+1)/a-1=1
Va-1 * Va+1 = 1 *a -1
Va²=a
a=a




Exo 3

on sais (A+B) (A-B) = A²-B²
ici A = a et B = b
(a+b) ( a-b) = a² -(b) ²)
= a²-b

Bonsoir,

La question de la question 2) n'est pas: "trouver la valeur de a tel que p=q". En effet, on te demande de montrer que pour toutes les valeurs de a différentes de 1 q est l'inverse de p.

Or dire que q est l'inverse de p cela revient exactement à dire: "Montrer que p*q=1"

Est-ce que c'est plus clair ainsi? En tout cas il faudrait mais si ce n'est pas le cas n'hésite pas à me dire ce que ne passe pas avant defoncé dans les calculs .

Pour la question 3), tu as l'idée maintenant, il reste à l'appliquer à la question. Le plus simple serait aussi pour cette question de l'interpréter ainsi "Montrer que s*t=1" ce qui est strictement la même chose que de dire que t est l'invers de s.

J'espère que cela commence à être plus fluide en tout cas.

Bon courage!

j'ai modifié en meme temps que ta réponse je te remet en dessous :

ou alors p*q=1

(Va-1)/a-1 * (Va+1)/1 = 1
(Va-1 * Va+1)/a-1=1
Va-1 * Va+1 = 1 *a -1
Va²=a
a=a

Alors maintenant essayons d'être un peu méthodique et cela va finir par passer.

Es-tu d'accord que le fait que "p*q=1" c'est qu'on doit démontrer?

Par conséquent, on ne résout pas p*q=1 d'inconnue a car a est fixé (donc non variable!!) d'une part et d'autre par, on ne peut pas supposer que p*q=1 vu que c'est exactement ce qu'on cherche à montrer.

Est-ce que tu comprends mieux le soucis?

Ainsi, en pratique, on effectue tout simplement le calcul p*q et en l'effectuant on montre qu'il est égale à 1 et ceci pour tout réel a différent de 1. Ce qui signifiera bien que pour tout réel a différent de 1, on a: p*q=1.

Est-ce que c'estp lus clair? a est vraimetn fixé, donc il n'y a pas de résolution en a à faire, c'est plus du calcul à effectuer en quelque sorte.

Bon courage!

oui j'ai compris (enfin je pense) non mais tu as raison y'a pas de résolution à faire, je m'embrouille en fait.

Bon je recommence lol

P*Q=1

(√a-1)(√a+1) / a-1 = 1
√a²-1 / a-1 =1
a-1 / a-1 = 1

Bingo je crois avoir trouvé, en fait mon erreur venait du fait que je mettait * et je ne voyais pas la factorisation et l'identité remarquable

Bonsoir,

C'est déjà plus juste au niveau de la mise en place mais il reste l'erreur de fond .

Citation :

On cherche à montrer que pour tout a différent de 1 P*Q=1

On calcule P*Q=(√a-1)(√a+1) / a-1 = 1
Donc P*Q=[(√a)²-1] / [a-1] =1
D'où P*Q= [a-1] / [a-1] (= 1)

On a bien montrer que P*Q=1

Pour des raison de logique, on ne travaille JAMAIS sur un résultat qu'on souhaite démontrer lorsqu'on effectue des calculs. Sinon, il s'agirait d'une résolution d'équation et on change de domaine en fait.

En espérant que cela soit encore plus clair en tout cas .

Bon courage pour la suite!