Exercice: parabole et droites sécante

Bonsoir,

Bonjours ! J'ai un DM de math pour jeudi et depuis une semaine je séche !

Voici l'énoncé :

Dans un repère, 'C' est la parabole qui représente la fonction f:x ---> x² au carré et A le point de coordonnées (1 ; 1).
Pour tout réel m, on désigne (d_m) la droite qui passe par le point A et dont le coefficient directeur est m.

1 - Écrire une équation de (d_m)

2 - a) vérifier que pour tout réel x :

x² - m*x + m - 1 = (x - 1)*(x + 1 - m)


b) Résoudre l'équation : x² = mx - m + 1

c) L'équation précédente a deux solutions pour toutes les valeurs de m sauf une, laquelle ?

3 - Déterminer alors, suivant les valeurs de m, le nombre de points d'intersection de la courbe C et de la droite (d_m)

Quelqu'un pourrait m'aider ?
Je bloque dès la première question ce qui m'empêche de continuer.

Bonsoir et bienvenu parmi nous Marion!
Mes meilleurs voeux pour cette année 2010!

En fait, ton exercice à pour but (si on lit toutes les questions) de te faire déduire le nombre d'intersection entre une parabole C et une droite (d_m). Pour cela, la démarche est plutôt intuitive. En effet, nous devons commencer par expliciter en fonction de m l'équation d (d_m). Et ensuite, il faut connaître le lien entre un point d'intersection entre deux courbes et les équations de ses deux courbes.

En fait, il faut se rappeler que si M(x,y) est un point d'intersection entre C et (d_m) alors les coordonnées de M vont vérifier simultanément les équations de C et de (d_m). Nous devons donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Cependant, cela serait un peu trop brute pour le résoudre comme cela (surtout que les résolutions de système ce n'est pas la tasse de thé des troisièmes donc il faut le temps de revoir cela en seconde avant). Par conséquent, on va ramener se système (sans te le dire) à la recherche des abscisses des points d'intersection en résolvant une équation et connaissant celles-ci il nous suffira de calculer les ordonnées correspondantes.

Voilà la trame de cette exercice et la grosse difficulté réside dans la présence du paramètre m dans tout l'exercice. En effet, il n'y a pas toujours deux point d'intersection et il faudra donc discuter en fonction des valeurs de m pour savoir le nombre de point d'intersection qu'il y aura ou pas.

Maintenant, rentrons dans le vif du sujet c'est à dire qu'il nous faut donc en toute logique commencer par déterminer l'équation de la droite (d_m).

Que savons-nous sur cette droite d'après l'énoncer (c'est la première étape d'un raisonnement, il faut regarder ce que nous dit l'énoncer).? Ensuite, que savons-nous de l'équation d'une droite dans un repère orthonormé (ici c'est la mobilisation de notre cours sur le thème de la question en l'occurrence les équations de droite)?

Avec ceci, nous devrions pouvoir avancer ou tout du moins poser les bases pour pouvoir avancer.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout si quelque chose n'est pas clair dans ce que je dis ou si tu souhaites des précisions!

Je vais essayer d'y répondre mais il faut savoir que notre prof' n'est pas trop cours, donc autrement dit, je n'y connais quasiment rien.

Donc, pour moi, la droite de coefficient directeur m resterait en tout temps sur l'intervalle A des ordonnées, ce qui fait qu'elle serait coupée deux fois pas C. Encore une fois c'est très approximatif sans cour.

Donc d_m=A

Cependant je ne parviens pas à faire le lien avec la question 2 Enfin, je ne vois pas vraiment l'intérêt de cette question ni surtout ce que je doit démontrer à travers le calcul.

Et je n'arrive pas à savoir non plus si m doit rester une inconnue tout au long du calcul ou bien si m a une valeur bien précise, c'est cette histoire de coefficient directeur qui me perturbe. La seule chose que je sais sur ce terme c'est qu'il correspond à l'ordonnée.

Alors tout ceci me paraît confu. Laissonsl a question 2) tranquil pour l'instant .

Pour la question 1), A étant un point de la parabole C. Dire que d_m=A reviendrait à dire qu'une droite est égale à un point ce qui n'est pas desp lus logique tu l'avoueras je pense.

Repenons un peu les choses à leur base. D'une manière générale sans considérer l'exercice que peux-tu dire de l'équation d'une droite dans un repère quelconque?

C'est à dire connais-tu de manière générale la forme de l'équation d'une droite et le nom que porte cette équation? (C'est un cas générale de cours là donc aucun lien avec l'exercice). Normalement, tu as du vaguement voir cela en troisième etl a question est là seulement pour que je puisse m'adapter au soucis créés par l'exercice et les lacunes dû à ton cours.

Sinon, ici m restera une valeur non précisée. En conséquence, m sera présent jusqu'à la fin de l'exercice. Et dansl a dernière question, on nous demande justement de trouverl e nombre de point d'intersection en fonction des valeurs de m et c'est seulement là qu'on regardera certaines valeurs pour m mais avant celà, m restera une constante fixée symbolisant une valeur réel (2, Pi, ... entre autre mais qu'on ne marque pas explicitement pour nous laisser tous les choix possibles jusqu'à la fin de l'exercice).

Bon courage!

J'ai oublié de préciser que pour la question 2 j'ai prouvé l'égalité mais je ne vois pas l'intérêt de cette question ...

Oui j'avoue que c'est compliqué comme raisonnement mais c'est ce qui m'arrangeait le plus à vrai dire ...

Donc je me souviens vaguement de droites qui correspondaient à f(x)-> x*y ou f(x)-> x+y*z mais ça ne m'aide pas beaucoup.

C'est très très très vague ne effet.

Alors essayons de remettre un peu les bases là-dessus car sinon, on va droit dans le mur .

Rappels:

L'équation d'une droite est de la forme y=a*x+b
avec a le coefficient directeur de la droite (aussi appelé "pente" de la droite) et b l'ordonnée à l'origine (c'est à dire la valeur de l'image de 0 F(0)=b tout simplement).

Est-ce que cela te rappelle quelque chose? Si non, est-ce que cela de paraît clair ou pas du tout?

Maintenant, je te laisse adapter cela à ta première question.

Pour la deuxième question, je t'expliquerai l'utilité de la question a) (qui n'est autre qu'une question intermédiaire en fait) par la suite.

Bon courage!

Donc, si j'ai bien compris d_m= m*x+A

Alors d_m est une droite donc c'est égale à rien du tout . A est un point doncà deux coordonnées dans notre repère par conséquent, on ne risque pas de l'ajouter.

Cependant le m est bon (heureusement tout de même ).

Réfléchissons deux minutes. y=a*x+b est une équation qui relie les abscisses x des points de notre droite à leur ordonnées.

Ainsi tous les points del a droite de coordonnées (x0,y0) ont leur coordonnées qui vérifie l'équation c'està dire y0=a*x0+b

Nous ici, comme tu l'as bien remarqué, nous connaissons le coefficient directeur de notre droite c'est à dire m. Ainsi d_m à une équation del a forme y=m*x+b

Il nous reste donc à déterminer la valeur de b maintenant.

Est-ce que la démarche est plus claire ou cela reste totalement flou?

Bon courage!

Je ne comprends pas plus à vrai dire

Bon je teste tout de même, pour le sport, d_m= m*x+x²

Bon je vais arrêter pour aujourd'hui. Je comprendrai peut être mieux demain
Merci encore mais je crois être définitivement irrécupérable ...

A bientôt.

Bonsoir,

Des gens irrécupérables, je n'en connais pas pour ma part. Des personnes qui ont des difficultés à comprendre des raisonnements ou des démarches, j'en connais déjà plus mais cela n'est pas irrécupérable.

Les mathématiques ne se sont pas construitent en 4 années de collèges et de loin. Il faut prendre le temps de comprendre les choses et c'est sur la durée que cela se fait et non pas forcément pour le prochain devoir à faire en fait. Il faut éviter le plus possible de travailler seulement pour un devoir car c'est le meilleur moyen de se planter à terme. Il faut travailler à son rythme quitte à rester longtemps sur une notion mais au moins bien l'assimilé et ainsi pouvoir continuer à avancer.

Ici, la notion fondamentale qui te fait déjà est la notion de fonctions affines et de fonctions linéaires (j'imagine vu que les deux sont intiment liée, il est fort probable quel es lacunes soient présentes dans les deux et non seulement pour les fonctions affines qu'on utilise dans cette exercice). Mais tu va me dire, quel est le rapport avec l'exercice? Et si tu te pose réellement cette question là, c'est qu'il y a un problème lié à ton apprentissage du cours. Il faut juste ne avoir conscience et ainsi avoir la volonter non pas de résoudre l'exercice en utilisant un échafaudage de chaise emplilées les unes sur les autres mais en prenant le temps de blinder les acquis (ou ce qui devraient être des acquis) sur les fonctions affines.

Alors allons-y. Qu'est-ce qu'une fonction affine?

Une fonction affine est une fonction F définie sur R tout entier par la relation suivante: pour tout réel x, on a F(x)=a*x + b avec a et b des réels quelconque.

Le rapport avec l'exercice se fait tout de suite lorsqu'on va essayer de représenter cette fonction dans un repère orthonormé (O,I,J) par exemple. En effet, x représente l'abscisse des points de la courbe et F(x) représente les ordonnées de ses points. Ainsi, si j'appelle y l'ordonnée d'une point M d'abscisse x, je calcule y en effectuant y=F(x) tout simplement.

C'est pour cela qu'on dit que la représentation graphique de la fonction F a pour équation y=F(x) (on donne le moyen de calculer l'ordonnée des point del a courbe en fonction de leurs abscisses).

En faisant le dessin, on voit que la représentation graphique de F n'est autre qu'une droite dans le plan.

Cependant, l'inverse est encore vraie c'est à dire que si je considère une droite dans un repère (O,I,J) c'est dire que je trace une droite quelconque. Et bien, cette droite a une équation c'est à dire qu'il existe une fonction F qui va relier l'abscisse des points de la droite avec leur ordonnée. Ainsi cette droite qu'on vient de tracer qu'on peut appeler (D), elle aura une équation du type y=G(x). Or on aimerait bien connaître la tête que peut bien avoir la fonction G.
Et bien, il s'avère (je ne le démontre pas mais je pourrai si tu le souhaites) que cette fonction G a une écriture simpathique et qu'il existe deux réels α et β tels que G(x)=α*x+β


En conclusion, nous avons donc caractériser les droites dans un repère par leur équation qui est toujours de la forme y=α*x+β.

Maintenant pour le vocabulaire:

- β s'appelle l'ordonnée à l'origine de notre droite. C'est à dire l'ordonnée du point d'intersection entre notre droite et l'axe des ordonnées
- α s'appelle le coefficient directeur de notre droite.

Pour prendre une exemple simple. Si je considère la fonction F(x)=2x+1 et bien sa représentation graphique sera une droite qui coupe l'axe des ordonnées en un point M(0;1) (sur l'axe des ordonnées tous les points sont d'abscisse égale à 0) et ayant pour coefficient directeur 2.

On peut par exemple se poser la question si le point N(5;3) appartient à cette droite. Et bien pour cela, il faut savoir qu'un point appartient à une droite si et seulement les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la droite. C'est à dire a-t-on l'égalité entre 2*5+1 et 3. La réponse est non!! Car 2*5+1=11 qui est différent de 3. Ainsi, on peut affirmer que N n'appartient pas à notre droite d'équation y=2x+1.

En revanche, le point P(3;7) appartient à notre droite d'équation y=2x+1. Pourquoi? Car 2*3+1 est bien égale à 7.


Pour terminer, on appelle fonctions linéaires, les fonction affine qui passe pas l'origine O(0;0).
C'est à dire que notre fonction linéaire est de la forme F(x)=a*x + b et telle que O(0;0) appartienne à la droite représentant cette fonction. Par conséquent, il faut que les coordonnées de O(0;0) vérifient l'équation de notre droite c'est à dire que a*0+b=0 ce qui signifie que b=0.
Conclusion, une fonction linéaire est une droite passant par l'origine ayant pour équation y=a*x

Est-ce que toutes ses notions te paraissent plus abordables maintenant? Est-ce qu'il y a des questions sur le sujet car sans comprendre tout ceci, l'exercice est (en tout cas la première question et toute l'interprétation des questions suivantes) sera infaisable (en fait tu ne comprendras pas grand chose même si cela reste faisable en faisant du bourrage de crâne ce qui n'est pas mon but au sein de ce forum en tout cas).

Bon courage!