Propriétés de la parabole

Bonjour,

Voici un nouvel exercice qui porte cette fois-ci sur la parabole.
Ci-dessous, l'énoncé ainsi que mes réponses aux questions posées.

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,i,j).
p étant un paramètre réel strictement positif, on note F le point de coordonnées (0,p/2) et (D) la droite d'équation y=-p/2.
1. Déterminez une équation de l'ensemble (P) des points équidistants de F et de (D). En déduire une définition géométrique de la parabole.
Remarque : F est appelé foyer de la parabole et D directrice de la parabole
Soit M(x;y) appartenant à (P). Appelons H le projeté orthogonal de M sur (D) [puisque l'on parle de distance à une droite]
Alors : H(x;-p/2) car H appartient à (D) donc vérifie l'équation de cette droite.
Nous savons que M appartient à P si et seulement si :
MF=HM
ssi MF²=HM²
ssi x²+(y-p/2)²=(y+p/2)² [On utilise la notion de distance entre deux points dans un repère orthonormal. Ici, je n'ai pas mis la racine carrée car les distances ont été élevées au carré.]
ssi x²+y²-py+p²/4=y²+py+p²./4

ssi x²=2py

Une équation de (P) est x²=2py.

2. (d) étant une droite donnée, montrez que les points d'intersection de (P) et (d) sont les centres, lorsqu'ils existent, des cercles tangents à (D) passant par F.
Soit K un point d'intersection de (P) et (d). Notons R son projeté orthogonal sur la droite (D).
K appartient à (P) donc KR=KF. Ceci signifie que R et F appartiennent au cercle de centre K. Notons C ce cercle. C est tangent à (D) en R car, comme R est le projeté orthogonal de K sur (D), on a nécessairement : (KR) et (D) sont perpendiculaires. On sait par ailleurs que K est le centre du cercle. On a donc prouvé que C est tangent à (D) en R. C passe par F. Nous avons donc démontré la propriété suivante : les points d'intersection de (P) et (d) sont les centres, lorsqu'ils existent, des cercles tangents à (D) passant par F.


Mes attentes : Mes réponses sont-elles correctes ? Peux tu par ailleurs m'aider à répondre à cette question :
3. Déterminez à partir de la question 2. l'ensemble des milieux de segments dont les extremités sont les points d'intersection (lorsque cette dernière est non vide) de (P) avec une famille de droites de direction fixe.
Dans un deuxième temps, vous retrouverez ce résultat par le calcul.
--> Je ne comprends pas ce qu"est une "famille de droites".

Merci d'avance !

PS : La question subsidiaire désormais classique : Que penses tu de cet exercice ?

Bonsoir,

Alors les deux premières réponses sont tout à fait juste. Pour la première réponse, on peut même faire l'effort de bien mettre en évidence qu'il s'agit d'une équation du second degré 'et donc d'une parabole) en écrivant plutôt y=x²/(2p).

Pour la deuxième question, tu pourrais revenir un peu plus à la définition sans pour autant en faire destartine. Dire simplement pour conclure que [RK] est un rayon du cercle qui est perpendiculaire à (D) par construction de R. Ainsi, nous avons bien la tangence du cercle à la droite (D). Bon j'avoue, je chipote un peu mais le fait de faire intervenir le vocabulaire "rayon perpendiculaire à une droite" cela ramène bien à la définition de "être tangent" pour un cercle et une droite.

Enfin, pour la question suivante, il s'agit plus d'un problème de vocabulaire pour l'instant alors essayons d'éclaircir cela dans un premier temps.

Qu'est-ce qu' "une famille de droites de direction fixe."?

Et bien, tu connais le sens d'ensemble de nombre, j'imagine? N, Z, D, Q, R par exemple sont des familles de nombres. De même que {1;2.1;2;-5} est un ensemble de nombre. Et bien une famille ou un ensemble c'est un la même chose en gros. Ici, il s'agit donc de l'ensemble de toutes les droites dont on fixe une direction.

Dit autrement, "ensemble de droite de même direction".

En fait, nous sommes dans la continuité de la question 2) car nous avons étudier un cas particulier où il n'y avait qu'une seule droite dans la question 2). Et bien dans la question droite, on cherche à savoir ce qui se passe lorsqu'on fixe une direction et qu'on considère toutes les droites ayant cette même direction.

Est-ce que la question te paraît du coup plus clair?

Sinon, pour répondre à ta dernière question, l'exercice est très intéressant en soi car elle redonne la définition géométrique de la parabole qui est une définition bien plus intuitive que la définition analytique. Cela te donne divers point de vu pour étudier un même objet ce qui te permet d'appréhender l'objet sous divers angles en fonction du problème que tu as à résoudre. C'est souvent le cas en mathématiques (et en science en générale), lorsqu'on n'arrive pas à conclure on cherche à changer l'angle d'attaque du problème ou le contexte même du problème pour essayer d'autre piste.

Bon courage!

Merci pour ta réponse détaillée. Et bien pour la question 2., à priori, cet ensemble est une droite, je pense.
Maintenant, je ne vois pas trop comment aborder cette question...

Alors, comment essayer de progresser tout en ne sachant pas vraiment par où partir?

Et bien essayons de faire simple dans un premier temps et de mieux comprendre les choses. On va se donner une droite (d) quelconque puis on va regarder déjà sur cette première droite où se situe les milieux qu'on nous propose de construire.

Bon ainsi, nous n'allons peut-être pas voir grand chose, alors essayons de prendre une droite (d) particulière pour commencer à réfléchir car après tout, on nous dit qu'on doit trouver l'ensemble de point pour n'importe quelle direction de départ. Et bien prenons une direction la plus simple possible comme par exemple celle de l'axe des abscisses.

En effet, quelle sera la forme de l'équation de la famille de droite qu'on considère?

Ensuite, on constate, qu'il y a beaucoup de droite qui nous donnerons rien au niveau de la construction car elles ne couperont jamais la parabole. On peut donc ne pas les considérer et ne regarder que celles qui coupent notre parabole. Quelle est l'équation de la droite qui a un seul point commun avec la parabole? Où se situe le fameux milieu qu'on nous demande d'exhiber?

Ensuite, combien y aura-t-il de point d'intersection? Et où se situent les milieux qu'on nous fait tracer?

Pouvons-nous au moins conjecturer l'équation de l'ensemble de ces points dans ce cas simple là?

Je te propose une démarche permettant d'approcher le problème en soi mais après si tu préfères une autre démarche, nous pouvons regarder aussi, il n'y a pas de problème. Le but c'est de toujours essayer dans des cas simple lorsque cela est possible pour au moins se donner des idées d'approche du problème. Après seulement, on cherchera à démontrer les choses (géométriquement ou analytiquement). Mais d'abord on peut observer les choses. Utiliser un logiciel permettant d'effectuer le tracer peut aussi aider après tout.

Bon courage!

Je pense que les droites auront une équation du type y=ax+b. Les milieux seront, je pense sur les mediatrices des segments [projeté orthogonal,F].

Alors essayons de regarder le cas que je te propose pour au moins mettre en exergue un ensemble parmi ceux qu'on cherche.

On prend les droites parallèles à l'axe des abscisses. Ainsi, ces droites sont aussi parallèles à la droite directrice de la parabole (P), d'accord?

Maintenant, on prend une de ces droites qui coupe en deux points la parabole. Où se situe le milieux de ces deux points là sachant que notre droite est parallèle à l'axe des abscisses?

C'est un cas particulier certes mais on va essayer de trouver l'équation de cette droite là (car en effet il s'agit bien d'une droite enfin presque).

Bon courage!

Sur une droite perpendiculaire a la directrice ?

Tout à fait!

Du coup, nous sommes plus sur des droites d'équation x=α avec α à déterminer en fonction de la direction de la droite initiale. Je considère à chaque fois le milieu des deux points d'intersections pour chaque droites prises indépendamment les unes des autres. Je préfère préciser car c'est vrai que la question n'est pas très explicte de ce point de vue là (on pourrait croire qu'il s'agit des milieux de tous les segment possibles une fois qu'on a répertorier tous les points d'intersection ce qui est absurde en soi car il faudrait considérer tous les points de la parabole du coup et ça n'a plus d'intérêt en soi).

Donc pour le cas d'une direction horizontale quelle est la valeur de α?

Maintenant, il va falloir essayer de le démontrer pour une direction quelconque et de manière géométrique d'après la forme de la question.

As-tu des idées pour démarrer?

D'ailleurs, petite précision, la droite n'est pas entière, il s'agit en fait d'une demi-droite, l'ensemble que nous cherchons mais pour l'instant, le but est de trouver que tous les points que nous cherchons sont sur une même droite (prouver l'alignement donc) en ensuite il y aura une limitation dû à la parabole elle-même mais nous verrons cela après à la rigueur.

Bon courage!

Je vois pas du tout..

Alors prenons le cas simple déjà car si déjà là, tu es dans le brouillard autant essayer de réchauffer un peu les idées pour dégager toutes la buée ;-).

On prend notre droite parallèle à l'axe des abscisses et donc parallèle à la droite directrice de la parabole (P). Prenons, une droite qui coupe en deux points la parabole (on va éviter les cas triviaux après tout).

Maintenant, d'après la question 2, que savons-nous? Nous savons que les deux points d'intersection sont des centres de cercle qui passe par F et qui sont tangent à (D).

J'appelle I et J les deux points d'intersection et j'appelle M et N les projetés respectif sur la droite (D) (qui sont respectivement le point de tangence ddu cercle de centre I et de la droite (D) et du centre J et de la droite (D) ). Est-ce que jusqu'à là tu suis le raisonnement?

Maintenant, que pouvons-nous dire des droite (IM) et (MN)? De même pour les droites (JN) et (MN) ? Que peux-tu conclure sur le quadrilatère IJNM sachant que (MN)//(IJ) par hypothèse vu qu'on considère des droites parallèles à la droite directrice ? (nous sommes dans un cas particulier donc trouver un quadrilatère remarquable n'est pas surprenant après tout).

Bon c'est remarquable mais cela ne fait pas vraiment avancer le shmilblik (ça fait réfléchir pour la suite en quelque sorte). Dans notre cas précis, on peut conclure plus simplement, que savons-nous de l'axe de symétrie de la parabole? Du coup, où se situe le milieu de deux points d'intersection dans le cas où la droite considérée est parallèle à la droite directrice?

Bon courage!

INJM est un parallélogramme. On sait que l'axe de symétrie est perpendiculaire à la directrice. Donc les milieux Sont sur la médiatrice?

On peut même faire mieux que cela vu qu'on sait que les cercles sont tangents à (D), on peut même aller jusqu'à dire qu'il s'agit d'un rectangle.

Sinon, dans notre c'est belle et bien la médiatrice des deux points d'intersections. Et on peut même aller plus loin, quelle est cette médiatrice dans notre cas précis?

L'axe de symétrie lui-même! En effet, les points sont à égale distance de l'axe de symétrie vu que notre droite est perpendiculaire à l'axe de la symétrie (vu que parallèle à la droite directrice de (P)). En a donc trouver notre premier ensemble qui n'est autre que l'axe de symétrie de la parabole c'est à dire l'axe des ordonnées en l'occurrence.

Est-ce que cela est clair?

Maintenant, on prend une droite de direction oblique. Il s'agit de montrer que tous les centres sont alignés d'une part et d'autre part que la droite qui porte tous ses point est bien perpendiculaire à la droite directrice (et donc parallèle à l'axe de symétrie dit aussi axe focale de la parabole d'ailleurs).

As-tu des idées pour démarrer?

Bon courage!

Peux tu me laisser réfléchir jusque demain ? Il est tôt ^^ Ou me donner un coup de pouce pour trouver le début ?

En fait, j'ai un soucis pour le résoudre géométriquement avec le niveau 2nd. Je cherche un moyen de faire simple (éviter de parler de puissance d'un point par rapport à un cercle qui est barbare pour pas dire grand chose en fin de compte).

Le mieux serait de s'en convaincre de façon analytique dans un premier temps pour le coup. Je vais réfléchir plus en avant à une solution qui pourrait être triviale à partir de la question 2) mais pour le moment, je n'arrive pas à montrer que deux points sont confondu pour conclure ma démonstration.

Pour la partie analytique, il s'agit de montrer que le milieu de deux points de la parabole ont toujours la même abscisse. Et cela est beaucoup plus simple à démontrer. Je te laisse pour le moment entamer cela.

On considère donc l'équation de la parabole: y=x²/2p et on cherche l'intersection avec une droite d'équation y=a*x+b (où b variera vu que tuotes les droites devront être parallèle donc le coefficient directeur ne doit pas changer si tu te souviens de cette propriété là). On ne cherchera pas à résoudre l'équation qu'on obtient mais simplement de façon théorique on cherchera à trouver l'abscisse du milieu de des points d'intersection.

On va faire plein de révision sur les équations du second degré du coup.

Bon courage et je te tiens au courant pour la démonstration géométrique.

édite:
En fait, on peut le démontrer géométriquement si tu me permets d'admettre une propriété. Elle se démontrera avec les outils de la première S à savoir le produit scalaire mais pour l'instant je ne vois vraiment pas comment faire sans cette propriété là. Je te proposerai des questions successives pour la démonstration géométrique mais je ne tricherais pas et te dirai où exactement on admettra quelque chose pour conclure. Mais dans un premier temps, explicitons le lieu géométrique via une réflexion analytique ce qui est faisable au niveau seconde sans aucun problème majeur même si on va utiliser une propriété des polynôme du second degré qui n'est pas la plus utilisée par les élèves en seconde il faut l'avouer.

Je suis d'accord pour cette méthode

Bonsoir,

Désolé, plein de chose à faire dans la journée en ce moment mais comme ej l'ai dit j'essaie de toujours répondre dans la journée autant que faire se peut. Donc je te proposais dans un premier temps de résoudre le problème de façon analytique vu que c'est accessible au niveau 2nd puis après revenir à la résolution géométrique vu qu'on va devoir pousser un peu plus loin (jusqu'à admettre un point d'ailleurs car je n'ai toujours pas trouvé d'autre façon pour conclure).

Alors allons-y, on considère l"'équation de la parabole qu'on a trouvé en 1) c'està dire y=x²/(2p) et on a une droite avec une direction donnée c'est à dire qu'on nous donnel e coefficient directeur de cette droite (c'est claire ça que la direction est définie par le coefficient directeur de la droite?). Nous sommes donc dans le cas d'une droite d'équation y=a*x+b où a est donné et b est un paramètre qui variera pour nous donner la totalité de la famille de droite de direction la coefficient directeur a.

Est-ce que jusque là, c'est clair?

a) Maintenant, si je te demande de trouver les abscisses des deux points d'intersection. Que vas-tu faire? Je ne cherche pas à résoudre la totalité mais simplement que tu trouves que x₁ et x₂ sont les solutions d'une équation particulière. Et c'est cette équation, qu'on cherche à expliciter ici c'est tout.

b) Ensuite, connaissant comment on calcule x₁ et x₂. Comment calculer l'abscisse du milieux du segment délimité par les deux points en question? Plus simplement, étant donné deux points dans un repère orthonormé, comment calcule-t-on l'abscisse du milieu du segmetn délimité par ces deux points?

c) Conclure sur le fait que chaque milieu sera toujours sur une même droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Bon courage!

Bonsoir, je comprends bien le raisonnement ! Alors, on sait que les points d'intersection vérifient les équations des deux droites auxquelles ils appartiennent. Donc x^2/2p=ax+b d'où x^2=2pax+2pb d'où x= V2p(ax+b). Est ce juste ?

C'est juste jusque là:

x²=2*p*a*x+2*p*b

Ensuite ce n'est plus juste. Pourquoi? Car la partie de droite dépend encore de x. Donc nous n'avons pas isolé x, d'une part. Et d'autre part, on ne peut pas passer à la racine carrée sans se soucier des signes! En effet, ce qu'il y a sous la racine carrée doit rester positif et il faudrait donc le vérifier avant de prendre la racine.

Par contre, que pouvons-nous dire de x₁ et x₂ par rapport à cette équation? Si on considère que x₁ et x₂ sont les abscisses des points d'intersection?

Bon courage!

et bien, ils s'expriment en fonction
de b

Heu pas seulement.

Nous sommes en train de résoudre un système comme tu l'as dit (vu que les coordonnées doivent vérifier les deux équations):

{y=x²/(2p)
{y=a*x+b

Pour trouver les abscisses des points d'intersection, on résout donc l'équation: x²/(2p)=a*x+b comme tu l'as fait. Nous sommes d'accord jusque là.

a) Quelle est l'inconnue et quels sont les paramètres dans cette équation?

b) Si j'appelle M₁(x₁,y₁) et M₂(x₂,y₂) les deux points d'intersection. Quelle équation doivent vérifier x₁ et x₂?

Je pense que ça sera plus clair ainsi au niveau de la démarche. Ce n'est pas un exercice simple car il y a vraiment plein de paramètre un peu partout et il faut bien faire attention à ce qu'on cherche et ce qu'on a déjà.

Bon courage!

1. Inconnue : x / Parametres : p,a, b -- 2. x^2=2pax+2pb ?

Ok, ça marche!

Là, j'ai utilisé une méthode assez simple pour recadrer un raisonnement. C'est très utile lorsqu'on est un peu perdu pour savoir ce qu'on a exactement d'après le texte et d'après le cours. Ensuite, on regarde ce qui varie dans les équation pour connaître les inconnues et ce qui est fixé pour savoir ce qui sert de paramètre. En effet, un paramètre est fixer dès le départ même s'il reste quelconque. Ainsi, on a les idées plus au clair et cela permet de ne pas considérer trop de chose annexe au problème avant d'en avoir besoin.

Si on veut être rigoureux dans la rédaction, on devrait écrire ceci:

Soit a et b fixé tel que la droite d'équation y=a*x+b coupe en deux points M₁(x₁,y₁) et M(x₂,y₂), la parabole (P) d'équation y=x²/(2p).

Ainsi, tout est mis en évidence et la seule chose qui varie c'est x (dès que x est fixé, alors y sera fixé aussi, donc x est bien la seule véritable inconnue en gros).

On a donc le fait que x₁ et x₂ vérifie l'équation x²=2*p*a*x + 2*p*b.

On a deux solutions à une équation de degré 2. Conclusion, ce sont les seules solutions de cette équation.

Maintenant, on cherche à expliciter l'abscisse du milieu du segment [M₁M₂].

a) On se remet dans le contexte, j'appelle I(x₀,y₀) le milieu du segment [M₁M₂] (toujours bien poser les choses). Comment calcule-t-on x₀ en fonction des coordonnées de M₁ et M₂?

b) Si je considère l'équation du second degré p*x²+q*x+r=0 de solutions x₁ et x₂. Sais-tu comment on arrive à connaître la valeur de A=x₁+x₂?

c) Conclure par rapport à notre problème initiale.

Bon courage!

Ok. Alors I [(x1+x2)/2;(y1+y2)/2].Par ailleurs, A=-q/p

Nickel!

Du coup, si on revient à notre équation du second degré c'est à dire x²=2*p*a*x + 2*p*b.

a) Que vaut l'abscisse du milieu que nous recherchons?
b) Cette abscisse dépend-il des points d'intersection?
c) Conclure sur l'ensemble des point que nous cherchons en fonction de la valeur de a (qui est la direction de notre droite) et des paramètres de la parabole.

Bon courage nous y sommes presque pour le coup!

Alors xI=ap. Cette abcisse ne depend pas des points d'intersection. les milieux se situent sur une droite d'equation x=ap parallèle a l'axe des ordonnées et perpendiculaire a la directrice. l