Propriétés de la parabole

Excellent!

On a donc démontré ce qu'on avait pressenti via le dessin. Bon on en a fini pour la démonstration analytique. En effet, vu que l'abscisse du milieu ne dépend que de la direction et du paramètre de la parabole, il est donc toujours le même peut importe la valeur de b. Ainsi, l'ordonnée est n'importe peu.

Bon il s'avère que pour être précis, il ne s'agit pas d'une droite tout entière. En effet, il y a une position limite pour qu'il y ait des solutions à l'équation du second degré. ET la position limite est donnée par le signe du discriminant. Le signe du discriminant te donnera une condition sur b cette fois-ci qui est le seul paramètre libre. Et la limite tu l'imagines très c'est bien la tangente à la courbe où il n'y a donc qu'une solution solution double à l'équation du second degré. Cela permet de conclure complètement la question. Mais ce n'était pas ce qui m'intéressait le plus au niveau de la démarche globale dans un point de vu de révision du programme de second.

Est-ce que la démarche te semble claire maintenant?

On a fait pas mal de révisions:

- lien entre point d'intersection et résolution de système
- équation du second degré et résolution
- relation entre les coefficients et les racines d'une équation du second degré
- calcul dans un repère de milieu d'un segment
- notion de dépendance à un paramètre

Je te laisse conclure proprement la partie analytique et si tu as des questions n'hésite pas en tout cas. Sinon, nous allons revenir à la partie géométrique du coup.

Bon courage!

D'accord. Je suggère qu'on parte de la propriété vue en 2. non
? Ou sinon du produit scalaire tu avais dit ?

Alors pour la démonstration purement géométrique, je vais tenter de simplifier la démarche au maximum pour qu'on arrive au bout ;-).

On va donc commencer par se remettre dans le contexte (pour que tout le monde puisse suivre). Le but est de répondre à cette question exactement:

Citation :

3. Déterminez à partir de la question 2. l'ensemble des milieux de segments dont les extrémités sont les points d'intersection (lorsque cette dernière est non vide) de (P) avec une famille de droites de direction fixe.

On va considérer que nous sommes dans le cas où nous avons une droite de direction donnée qui n'est pas celle de l'axe focale. Pour la direction de la droite directrice, il s'avère qu'on a déjà résolu le problème grâce à la propriété de symétrie de la parabole. On va donc considérer une droite qui n'est pas parallèle à l'axe focale ni parallèle à la droite directrice de la parabole.

De plus, on va considérer que notre droite coupe la parabole et de préférence en deux points distinct. En effet, si la droite ne coupe par la parabole, il n'y a donc pas de point d'intersection et la contribution d'une telle droite est nulle et si la droite n'a qu'un seul point d'intersection avec la parabole, il s'agit donc de la tangente à la parabole en ce point et le milieu est déjà mi en évidence du coup car on considérera qu'il s'agit du point lui-même.

On ne perd donc rien en généralité en considérant une droite qui a deux points distincts d'intersection avec la parabole (P). Notons ces point M₁ et M₂.

La figure se compose donc de la parabole (P), du foyer F de celle-ci ainsi que de la droite (D) directrice de la parabole. A tout ceci, nous avons ajouter une droite (d) telle qu'il y ait deux points d'intersection distincts avec (P) que nous avons appelé M₁ etM₂.

Avec ceci, ,nous avons donc totalement mis en évidence ce qui était dans l'énoncer du problème ainsi que dans l'énoncer de la question (la notion de milieu exclus mais vu qu'il s'agit de ce qu'on cherche c'est normale).

Maintenant, démarrons la réflexion. Nous souhaitons mettre en évidence le milieu du segment [M₁M₂] de façon à ce que celui-ci ne dépend aucunement des deux points. si nous arrivons à le construire de cette façon là, nous aurons donc prouvez que le milieu de dépendra pas des points d'intersection et nous pourrons ainsi conclure au lieu géométrique de celui-ci en fonction seulement de la direction de la droite et des paramètre définissant la parabole.

Alors allons-y pour la construction.

a) Construire F' le symétrique du foyer F par rapport à la droite (M₁M₂). Nous sommes d'accord que la position de F' dépend de la direction de la droite et de la position de la droite (d) et de la position du foyer bien entendu?

b) Construire le point P, qui sera le point d'intersection des droites (FF') et (D). La droite (FF') ne dépend que de la direction de (d) et (D) est fixée par le problème. Donc P dépend de la direction de la droite, de la position de celle-ci ainsi que de la directrice de la parabole et de la position du foyer c'est à dire que des données du problèmes et non de la position des points d'intersection.

Première question:

1) Soit (d') une droite parallèle à (d) (c'est à dire donc de même direction) coupent elle aussi la parabole (P) en deux points distincts. Si j'appelle F'' le symétrique de F par rapport à la droite (d'), montrer que (FF'') coupe (D) en P.

La même question posée autrement: Montrer que F, F' et F" sont alignés (en effet l'alignement des trois points donne l'alignement avec P vu que P appartient à la droite (FF') ).


Je te laisse déjà réfléchir à cela. Le but de cette question, tu l'auras sans doute compris, c'est de montrer que la position de P ne dépend que de la direction de la droite qu'on considère et non de sa position. C'est à dire qu'à une direction donnée, une même famille de droite parallèle à cette direction donnera la même position de P sur la droite (D). Ainsi, P ne dépend QUE de la direction, du foyer et de la directrice ce qui est notre intérêt vu que la position ne doit pas jouer pour la construction du milieu de notre segment.

Pour que tu es la construction globale, la suite sera de démontrer que P est le milieu du segment délimité par les projetés de M₁ et M₂. Et nous conclurons, par parallélisme que la droite passant par P parallèle à l'axe focale (c'est à dire parallèle à la projection orthogonale) coupera le segment [M₁M₂] en son milieu. Ainsi la construction sera effective et ne dépendra que de la direction, du foyer et de la droite directrice de la parabole.

Est-ce que la démarche proposée te paraît claire? Sinon, il ne faut pas hésiter à poser tes questions en tout cas.

Je te souhaite bon courage pour cette première question tout à fait faisable au niveau seconde (je le précise au cas où tu chercherais compliquer ;-)).

Cela te dérange t il si je poste mes réponses demai
? je suis fatigue et aimerais éviter des erreurs d'inattention. Merci en tout cas

Pas de soucis, de toute façon, le but est de travailler dans de bonne condition pour toi.

Il n'y a pas d'obligation de répondre à la minute. Après tout, moi même ne suis pas en mesure de le faire ;-).

Bonne réflexion en tout cas et n'hésite pas à proposer tes raisonnements surtout. J'ai laissé la question assez vague pour que tu puisses partir comme tu le sentais même si j'ai dû cadré un maximum la démarche en elle-même(je n'ai pas trop le choix en fait sinon, tu risque de tâtonner longtemps). Le but étant que tu puisses construire ta propore démarche sur les questions relativement ouverte que je te donnerai pour la résolution de l'exercice. Je ne souhaite pas que cela soit complètement cadré vu qu'il s'agit de réviser le programme de seconde autant que les questions reste vague pour que les révisions soient diverses.

Bon courage!

Bonjour !

Voici ma réponse à la question.
On sait que d//d'.

Or F" est le symétrique de F par rapport à d'. Donc d' est la médiatrice de (FF") ce qui signifie que (FF") et d' sont perpendiculaires.
mais : d'//d donc (FF") et d sont aussi perpendiculaires.
De plus, F' est le symétrique de F par rapport à d donc comme précedemment, on peut déduire que (FF') et d sont perpendiculaires. Les droites (FF") et (FF') sont parallèles entre elles car toutes deux perpendiculaires à la même droite d. Donc F, F', F" sont alignées, car (FF") et (FF') ne peuvent être que confondues.

Pour ce qui est de P milieu du segment dont les extrémités sont les projetés de M1 et M2, je pense qu'on peut utiliser le théorème de Thalès. En effet, notons H et H' les projetés orthogonaux respectifs de M1 et M2. On a (M1H) // (M2H) car ces deux droites sont toutes deux perpendiculaires à la directrice. Je pense qu'en écrivant les égalités fournies par le théorème, on peut arriver à montrer que HP/HH'=1/2 d'où la conclusion.

--> Que penses tu de ma réponse à la première question ? Penses tu que ma démarche est bonne pour la 2ème question, car toute la question est de savoir si oui ou non, on peut ici appliquer le théorème de Thalès..
merci d'avance !

Bonsoir,

C'est excellent pour la réponse à la première question! En fait, au niveau de la rédaction pour qu'on sente réellement qu'il n'y ait pas d'ambiguïté, il suffit d'écrire que deux droites parallèles avec un point en commun sont confondues tout simplement. Vu que F appartient au deux droites c'est nickel!

Maintenant, l'idée de Thalès peut être bonne mais encore faudrait-il savoir où sont tes deux triangles car pour le moment nous n'avons que deux droites parallèles ce qui nous ne donne pas grand chose, en fait. On pourrait construire le point qui manque comme intersection de (M₁H') et (M₂H) mais, nous n'avons aucune information sur ce point là et encore moins sur les longueurs ce qui ne nous aide pas du coup. Il faut donc essayer d'aller voir autre part.

Donc pour le moment, nous avons montré que la construction de P ne dépendait que de la position de F, de la droite directrice de la parabole ainsi que de la direction de la droite (d) qu'on considérait. On a donc une construction qui ne dépend que des données initiales ce qui nous va tout à fait vu qu'il s'agit exactement de ce qu'on voulait montrer.

Maintenant, comment montrer que P est le milieu de [HH'] où H est le projeté orthogonale de M₁ et H' le projeté orthogonale de M₂ sur la directrice?

Et bien, c'est là que je vais admettre quelque chose. Il s'agit de la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle. En fait, on appelle puissance d'un point par rapport à un cercle, la valeur de la distance de ce point au centre du cercle au carré auquel on soustrait le rayon de ce cercle au carré . Il s'agit ici d'une définition la définition. En conséquence, nous avons le fait que la puissance du point P par rapport au cercle de centre M₁ et de rayon R=M₁H (le fameux cercle qu'on nous demande d'expliciter dans la question 2) ) est exactement égale à PM₁²-R².

Est-ce que la définition te paraît claire?

Maintenant, il s'avère que si je prend deux points sur le cercle A et B alignés avec P, nous avons exactement: PA.PB=PM₁²-R² où . s'appelle le produit scalaire entre deux vecteurs. C'est cela que je vais admettre dans la démonstration.

Nous allons dans la suite nous attarder seulement sur le cercle de centre M₁ défini dans la question 2). Les calculs pour l'autre cercle seront les mêmes et on conclura donc de la même façon.

Voici les questions qui vont nous permettre d'avancer si tout le reste est clair:

2)
a) Montrer que F' appartient au cercle défini dans la question 2) de l'exercice.
b) En déduire que PF.PF'=PM₁²-R² où R=M₁H par exemple

3) Montrer que PH² =PF.PF' (aucune connaissance sur le produit scalaire n'est utile pour résoudre cette question).

4) De même, on déduit que PH'²=PF.PF'. Montrer que P est le milieu de [HH']

5) Conclure la question 3) de l'exercice.

Bon courage!

Bonjour, je cherche, je cherche mais j'ai vraiment du mal pour la première question ^^ les autres ça va. merci

Bonjour,

Je ne pensais pas que ce serait cette question là qui te poserait le plus de problème. L'appartenance à un cercle c'est équivalent le plus souvent à montrer que la distance en centre est le même que les autres points du cercle que nous connaissons déjà.

Maintenant, F' est censé appartenir à quel cercle en fait?
Comment a été construit le point F'? Que peut-on en déduire?

Bon courage!

J'ai trouvé ! On sait que (M1M2) est la mediatrice de [FF'], F' etant le symetrique de F par rapport à cette droite. Notons I le milieu de [FF']. On deduit de la definition de la mediatrice que les triangles M1IF et M1IF' sont rectangles en I. D'où, d'apres Pythagore, M1F^2=IM1^2+IF^2 et MIF'^2=IM1^2+IF'^2 mais IF=IF'. donc M1F^2=M1F'^2 d'ou M1F=M1F' donc F' appartient au cercle de centre M1 et de rayon M1H on en deduit que PF.PF'=PM1^2-R^2.  Dans le triangle rectangle PM1H Pythagore donne : PM1^2=M1H^2+PH^2 soit PH^2=PM1^2-R^2. On en deduit que PF.PF'=PM1^2-R^2. On a donc PH=PH' puisque PH^2=PH'^2, la positivité des longueurs assurant l'equivalence. De plus, H,H'et P appartiennent tous à (D). Nous deduisons que P est le milieu de [HH'].  

Bonjour,

C'est excellent!

Alors un petit truc, la redémonstration de la caractérisation de la médiatrice est excellente mais pas nécessaire. En effet, il faut se souvenir de ceci:

"Tous les points de la médiatrice d'un segment sont équidistants des extrémités du segment"

Et on conclut directement. Mais bien entendu comme toute propriété, elle se démontre et c'est ce que tu as fait, donc rien à dire.

Et à partir du fait que P est le milieu de [HH']. On peut conclure la question, en construisant le milieu de [M₁M₂] à partir de P (on a tout fait pour qu'il ne dépendent que des données voulues).

Est-ce que toute la démonstration est claire ou il reste des passages qui ne le sont pas encore?

Bonne continuation!