Droites sécantes dans un plan .

Suite à notre discussion sur l'autre topic , je vous poste l'exercice qui me posait problème pour une correction .


Dans l'espace rapporté à un repère (O,i,j,k) , on considère la droite (d) passant par le point A de vecteur directeur u et la droite (d') passant par le point B de vecteur directeur v. Les droites (d) et (d') sont elles sécantes , et si oui en quel point?

1. Pour A(2;0;7) , B(2:-5:1) , u(1;3;2) et v(-1;2;4) .

AM (x-2) avec M (x ; y ;z) appartient à (d) .
(y-0)
(z-7)

Ils sont colinéaires donc AM = k*u où k est un réel .

x-2 = k
y-0 = 3k
z-7 = 2k
x + y + z = 0

x = 2k
y = 3k
z = 2k + 7

On remplace dans la dernière équation .

2k + 3k + 2k + 7 = 0
7k = -7
k = -7/7
k = -1

d'où :

x-2 = -1
x = -1+ 2
x = 1

y = -3

z - 7 = -2
z = -2 +7
z = 5


Donc coordonnées d'intersection ( 1;-3;5) .



On fait la même chose avec BM (x-2) avec M' (x+ y +z ) appartient à (d') .
(y+5)
(z-1)



BM = t*v avec t un réel .

x-2= -t
y+5= 2t
z-1= 4t
x+y+z=0


d'où

x=2t
y=2t +5
z=4t +1

On remplace dans la dernière équation:

2t + 2t + 5 + 4t + 1 = 0
8t = -6
t = -6 / 8
t = -3/4


d'où :

x-2 = 3/4
x = 3/4 + 8/4
x = 11/4

y+5 = -6/4
y= -6/4 - 20/4
y= -26/4

z-1=-12/4
z= -12/4 + 4/4
z= -8/4
z= -2

donc le point d'intersection est (11/4; -26/4 ; -2 ) .


Ainsi les points d'intersections ne sont pas communs , donc les droites ne sont pas sécantes .



J'ai bon?

Le raisonnement est bon pour trouver les paramétrisations des deux droites (d) et (d').

Le soucis reste quand même d'où sort se plan x+y+z=0? Il n'existe pas ici.

Je te rappelle que la recherche d'intersection est équivaletn à la résolution d'un système qui est composé des équations dont on cherche l'intersection.

Ici nous avons donc un système à 6 équation avec 5 inconnues (x,y,z,k,t) qui se résume ainsi:

x-2 = k
y-0 = 3k
z-7 = 2k
x-2= -t
y+5= 2t
z-1= 4t


Nous pouvons isolé x, y et z pour obtenir des égalité entre k et t pour essayé de déterminer l'un et l'autre. Par exemple on obtiens:

x= 2+k
y=3k
z=7+2k
(2+k)-2=-t
(3k)+5=2t
(7+2k)-1=4t


Et en continuant à résoudre se système, tu va trouver une valeur de t puis une valeur de k et ainsi déduire si il y a une intersection ou pas et les coordonnées du point d'intersection.

Il faut rester logique en fait. Lorsqu'on charche l'intersection de 2 plan, on résout un système contenant les deux équation de plan. Lorsque c'est d'une droite avec un plan, on a donc 3 équation définissant la droite + une équation du plan dans notre système. Et enfin, loorsqu'on a l'intersection de 2 droite, on a un système de 6 équations (3 définissant la première droite + 3 autre définissant la 2ème droite).

Comprends-tu ton erreur? Et la logique (avec la méthode) pour aborder un tel problème?

Oh je vois je pensais que c'était la même chose . J'en apprend tous les jours (surtout de mes erreurs en fait ).


Par contre je n'ai jamais été à l'aise avec les systèmes , donc je propose le début de ma résolution pour voir si j'ai d'éventuels erreurs :

Donc j'isole les lignes :

(2+k) - 2 = -t
(3k)+5 = 2t

que je substitue , ce qui me donne :

-2k + 5 = -3t

2k+5 / 3 = t

Je remplace t dans la troisième équation :

(7+2k) - 1 = 4 (2k+5/3)
(7+2k) - 1 = 8k + 20 / 3
[(7+2k) - 1 ] *3 = 8k + 20
21 + 6k -3 = 8k + 20
21 - 3 - 20 = 8k - 6 k
-2 = 2k
-2/2 = k
k = -1 .


C'est ca? Après je remplace k dans x , y , z simplifier en haut pour les déterminer . Ensuite je remplace k dans les formules avec t pour le déterminer , puis je remplace dans les autres x , y , z pour avoir les autres coordonnés . C'est bon?

Bonjour,

On en apprend toujours plus de nos erreurs que de nos réussites de toute façon. Mais cela ne veut pas dire qu'il faut faire des erreurs .

Citation :

-2k + 5 = -3t

Si je fais la première ligne moins la deuxième comme tu l'a fait, on trouve -2k -5 = -3t. Pourtant à la ligne suivante tu trouves bien (2k+5)/3=t, je pense donc qu'il s'agit d'une erreur de frappe.

D'ailleurs, tu aurais pu être plus rapide. En effet, si je regarde la première ligne, j'ai directement k=-t c'est à dire t=-k et en remplaçant dans la deuxième ligne on retrouve bien k=-1.

Ta méthode est tout à fait juste, je t'en propose juste une autre pour te montrer qu'il y a des raccourcis qui permettent de gagner du temps et il ne faut pas s'en priver lorsqu'on les voit .


Sinon, ta démarche pour la suite est tout à fait juste. Je te laisse donc continuer les calculs et me dire si il y a un point d'intersection ou non tout compte fait.

Bon courage pour les derniers calculs!

Donc x-2 = -1
x = 1

y= 3 x -1
y = -3
z-7 = 2x-1
z= -2+7
z= 5


Donc on a x = 1 , y = -3 et z = 5 .


On remplace pour trouver t .

x-2= -t
1-2 = -t
t = 1

Vérification :

y+5=2t
-3+5 = 2t
2t= 2
t= 2/2 = 1 .


Enfin on calcule les autres x , y , z .

x - 2 = -t
x - 2 = -1
x = -1 + 2
x = 1

y + 5 = 2t
y = 2x1 - 5
y = -3

z - 1 = 4x1
z= 4 + 1
z = 5 .


On trouve bien des coordonnées semblables entre les deux droites , donc les droites (d) et (d') sont sécantes en (1;-3;5) .

Citation :

On remplace pour trouver t .

Attention à l'erreru classique justement! En effet, ici tu remplace par la valeur de x que tu as trouvé pour trouver t. Or ceci va forcément t'impliquer quel es coordonnées vont être identiques vu que tu trouve t à l'aide des coordonnées trouvées en remplaçant k. Donc lorsqu'on fait cela, il ne faut pas oublier de vérifié que la relation que tu avait trouver entre k et t est juste! En effet, en remplaçant t et k par les valeurs trouvée, tu pourrait arriver à 1=0 ce qui voudrait dire que le point d'intersection n'existe pas.

Ici cela marche bien car on trouve bien 1=1 car t=-k et vu qu'on avait trouvé k=-1, on retrouve bien t=1.

donc la conclusion est bonne mais il faut faire attention à ne pas oublier se détail là. C'est d'ailleurs pour cela que je conseille de travailler directement avec le système c'est à dire en écrivant à chaque étape les 6 équation, ça te permet de voir ce qu'il te reste à faire ou à vérifier à la fin.

Car tu n'as pas du remarquer que là:

Citation :

x - 2 = -t
x - 2 = -1
x = -1 + 2
x = 1

Tu utilisais exactement la même équation que celel qui t'as permis de déterminer la valeur de t poru toi:

Citation :

x-2= -t
1-2 = -t
t = 1

Et c'est là que tu constate que ton raisonnement tournait en rond car utiliser deux fois la même équation pour déduire 2 choses c'est pas possible lorsqu'on résout un système vu qu'on fait des calculs qu'une seul fois sur chaque ligne si je peux le dire de cette façon là. Il te reste donc la ligne:

Citation :

(2k+5) / 3 = t

Que tu as oublié de vérifier lorsque tu as eu calcul t sachant qu'on avait k=-1.

Est-ce que tu vois le soucis logique de ton raisonnement? Et cela est dû seulement au fait que tu considères chaque ligne de ton système séparément ce qui peut donc amener à prendre deux fois la même ligne sans s'en appercevoir. En tout cas, si ce n'est pas clair n'hésite pas à demander car il faut vraiment comprendre pouruqoi ton raisonnement écrit comme tel ne permet pas d'aboutir.


Ici en tout cas la réponse est juste, il y a bien intersection au point (1,-3,5)

Je vois . C'est vrai que je n'avais pas remarquer l'utilisation de la même équation deux fois , et que je n'ai pas vérifié l'autre .

C'est en effet un problème de logique , je n'ai carrément pas aperçue mon utilisation double .


Pour vérifier que k = t , je n'ai pas très bien compris . Je dois utiliser les équations de type (7+2k) - 1 = 4t ?

Alors en fait, il te restais l'équation:

Citation :

(2k+5) / 3 = t

Dont tu t'étais servie pour en déduire la valeur de k t dont tu ne t'était plsu resservie pour vérifier la valeur de t après l'avoir trouvé. Il faut donc vérifier que cette équation est bien vérifiée en replaçant k et t par leur valeur respective pour montrer que l'égalité est belle et bien juste.

C'était tout ce qu'il restait à faire pour que tu puisse conclure qu'il y avait bien un point d'intersection entre ces deux droites.

Je vois . Mais si l'on prend un point du vecteur qui est nul , on se retrouve sans t ou sans k (au choix . ) Quand est-il alors de l'équation?

ET bien du coup, tu détermine directement la valeur d'une coordonnée. Quand ça arrivel es élèves sont plutôt content d'ailleurs .

En effet, si je prend un vecteur directeur u(0,1,2) d'une droite passant par A(1,3,3) et bien j'aurai le système suivante:

x-1=0
y-3=t
z-3=2t

Et du coup j'en déduit tout de suite x=1 ce qui est très intéressant lorsqu'on effectue une résolution car du coup on gagne du temps .

Est-ce plus clair ainsi? Est-ce que tu as d'autre question sur le sujet?

Juste que quand j'ai essayé de modifier l'exercice , je me suis retrouvé avec une détermination de t différente dans deux équations .
Par exemple à un moment je me retrouve avec t = 27/10 alors que dans l'autre je me retrouve avec t = 64/10 / 4 , ce qui fait que je ne retrouve pas le 27/10 .
Je ne vois pas d'où vient mon erreur , j'ai tout refait tout marche pour moi .
Peut-être parce que j'ai utilisé la ligne d'équation avec le t inexistant pour faire ma substitution?

Je viens juste de comprendre mon erreur . J'ai encore une fois tourné en rond . J'ai réutilisé une expression , et ce coup-ci comme j'ai trouvé des droites non sécantes , ca a mis un peu le désordre dans le t .
Finalement avec mon changement de vecteur qui a un 0 et l'autre qui n'en a pas , j'étais sur d'avoir des droites non sécantes ^^' .
J'ai donc trouvé tout seul la solution à mon problème . ^^'



Merci beaucoup pour l'aide une nouvelle fois apportée , j'ai l'impression d'avoir progressé en géométrie dans l'espace , ce qui n'était pas mon fort je dois dire .


Stephs

Edit: finalement j'ai encore une question . Si l'on trouve une coordonnée semblable mais que en z , pas en x et y , les droites sont sécantes non?

Bonsoir,

Il n'y a pas forcément d'erreur si dès fois tu es confronté à ceci:

Citation :

Par exemple à un moment je me retrouve avec t = 27/10 alors que dans l'autre je me retrouve avec t = 64/10 / 4 , ce qui fait que je ne retrouve pas le 27/10 .
Je ne vois pas d'où vient mon erreur , j'ai tout refait tout marche pour moi .

En effet, tu trouve donc les même x,y et z mais, tu as 2 valeurs de t différente lorsque ut remplace la valeur de k. La conclusion est immédiate: les droite ne sont pas sécantes tout simplement!

Dans l'espace, c'est un poil plus compliquer que dans le plan pour les droites. En effet, on a vu dans une autre conversation l'intersection entre un plan et une autre et ici on cherche donc les cas qu'on peut avoir lorsqu'on cherche l'intersection de deux droites.

En bien, il faut se souvenir d'une chose primordiale pour éviter les à priori. Laquelle? Considère la pièce où est situé ton ordinateur (en espérant que ce ne soit pas un couloir ). Si tu prends n'importe quelle droite du sol et n'importe quelle droite du plafond, elles ne seront pas sécante et pourtant leur vecteur directeur n'est pas forcément colinéaire!!! Donc si tu as deux équation de droite dans l'espace et que tu constate que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaire cela ne signifie pas forcément qu'il y a un point d'intersection et de loin!

Vu que tu as toujours un système de 6 équations à 5 inconnues, cela signifie donc qu'il y a une équation qui est en excès (peu importe celle que tu considère ne excès d'ailleurs) et c'est celle que tu considérera en excès qui te permettra de savoir si il y a un point d'intersection ou pas. La méthode qui marche à tous les coups:

On isole x en fonction de k puis on remplace x dans l'expression en fonction de t. Ainsi, on peut exprimer t en fonction de k et en déduire sa valeur.
Dès qu'on a la valeur de t, on déduit la valeur de k vu qu'on avait exprimé k en fonction de t.

Ensuite, il ne reste plus qu'à regarder si on trouve les mêmes valeurs pour x,y et z en remplaçant t et k. Si on a bien les mêmes valeurs, il y a intersection et sinon il n'y a pas intersection.


Ainsi, cela répond aussi à ta question, le fait que z soit le même en fonction de t et de k n'implique par qu'il y ait intersection, il faut que les trois soient égaux. En effet, si tu considères une arrête de la pièce ou tu te situes dans le sol et une autre dans le plafond, il existe des points qui ont mêmes x et y mais qui n'ont pas même z et du coup cela te montre que ça ne suffit pas pour déterminer un point d'intersection. Il faut vraiment que toutes les coordonnées soient égales lorsqu'on remplace t et k par leur valeur respectives.

Est-ce plus clair ainsi?

Oui oui . j'y avais pensé mais je n'étais pas sur de moi . Merci pour l'astuce , cela m'aide grandement à mieux comprendre l'espace . =)




Merci encore pour toute cette aide . Et comme on dit :


Longue vie au forum et site et bonne continuation.



Stephs