Exo sur les fonctions et inéquations

Bonjour cuicui,

Pour commencer merci bcp pour ton aide sur les vecteurs, mon fils a eu un 18/20 grâce à tes explications très clairs et instructives

Je reviens vers vous pour un nouveau problème, celui des fonctions, j'avoue que là je m'enrichie à travers des cours pour comprendre les tableaux de signes avec les fonctions.

Et là j'ai un exercice à faire et surtout à comprendre la démarche.

Enoncé :

1.1 Tracer à l'écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions f et g, définies sur R par :

f(x)=x² et g(x)= -2x-1

1.2. Déterminer à l'aide de la calculatrice des valeurs approchées des abscisses des points d'intersection des deux courbes.

1.3. Conjecturer les valeurs des réels x tels que : f(x)<g(x)

2.1. Justifier que : f(x)-g(x)=(x-1-√2).(x-1+√2)

2.2. Résoudre par le calcul l'inéquation (I) : f(x)<g(x)

En attendant avec impatience tes explications.

Cordialement

Bonjour,

Content de voir que votre fils à compris la démarche utilisée pour l'utilisation des vecteurs. Le but étant que ceci soit acquis sur la durée et donc qu'au prochain devoir, la performance ne sera pas plus faible sur la partie vecteur. Ce qui est souvent le cas lorsqu'on comprend comment raisonner avec tel ou tel objet au lieu d'apprendre par coeur le résultat d'un exercice par exemple (ce que certains font à merveille et s'en sortent avec cette méthode là jusqu'à un certain niveau car la mémoire finie par être défaillante à force d'emmagasiner que des réponses et non des démarches et des raisonnements qui ne monopolisent que très peu la mémoire mais bien plus la logique et la réflexion du coup). Donc félicitation à lui en tout cas et à toi aussi de continuer à le suivre d'ailleurs car c'est non négligeable dans son apprentissage.

Sinon pour en venir à ton nouvel exercice. Ici, les trois premières questions sont complètement balisées sur une seule action qui est l'utilisation de la calculatrice. Le soucis étant qu'il y a plusieurs types de calculatrice et donc plusieurs façon de faire mais d'une façon générale, la démarche reste la même. Un autre soucis qui se pose c'est que pour bien utiliser la calclatrice, il faut savoir ce qu'on manipule et pourquoi, on fait telle ou telle manipulation pour avoir telle ou telle réponse. En effet, la première chose à se dire c'est qu'une courbe qui représente une fonction n'est autre que la donnée d'une relation reliant les abscisses x des points de la courbe à leurs ordonnées y respectives. Mais alors où intervient le y lorsqu'on nous donne que la fonction F ?

Et bien, dans le vocabulaire, on dit que F(x) c'est l'image du point x par la fonction F. En fait, la fonction F n'est autre que le lien dont je parlais juste au-dessus entre x et son image. Ainsi cette image F(x) n'est autre que l'ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse x. Pour donner un exemple, on dira que F(1) est l'image de 1 par la fonction F mais aussi que F(1) est l'ordonnée du point de la courbe qu'on peut appeler A qui a pour coordonnées (1,F(1)) c'est à dire 1 en abscisse et F(1) en ordonnée.

Bon maintenant, poussons les choses un tout petit peu plus loin pour conclure. En effet, cette fois-ci je considère un point dans un repère A de coordonnées (x,y) et à quelle condition ce point va appartenir à la courbe représentative de F ?

La réponse est assez simple lorsqu'on a compris les choses. En effet, on a dit que les points de la courbes avait des coordonnées qui étaient reliées par une relation F ici. Ainsi, les points de la courbe représentant F ont pour coordonnées (x,F(x)) pour respecter la relation qu'il y a entre les abscisses et les ordonnées.

En conclusion, il faut se souvenir que deux points sont confondus dans un repère si et seulement si ils ont les même coordonnées. Ainsi, notre point A(x,y) appartiendra à la courbe représentant la fonction F si et seulement si y=F(x).

Et voilà, où intervient le y dans la représentation de notre courbe! Ainsi, dans la calculatrice, il y a un endroit où justement, nous avons accès à des lignes de "y=" où il faudra écrire la relation qui relie x à y c'est à dire qui permet de calculer l'ordonnée y en fonction (le nom d'une fonction F n'est pas anodin!) de l'abscisse x. C'est à dire recopier F(x) tout simplement.

Ensuite, il suffira d'afficher cette courbe via une touche de la calculatrice telle que "graph" par exemple.


Enfin, pour la deuxième question, il faut savoir ce qu'est un point d'intersection entre deux courbes. En effet, si je prend A(x,y) dans le repère, à quelles conditions celui-ci va appartenir à la courbe représentant F et à celle représentant G ? D'après ce que j'ai dit juste au-dessus, tu devrait voir apparaître une égalité entre deux quantité qu'on connaît. A partir de là, il faudrait pouvoir interpréter cela sur le graphique car on ne demande pas ici de résoudre l'équation justement.

Nous verrons la suite par la suite mais est-ce que jusque là c'est plus abordable et plus claire au niveau des notions utilisées?

Bon courage!

Merci pour la reponse tres rapide ;-) comme d'habitude ;-)

Pour les notions de base, ca, ca va.

Donc si j'ai bien compris le but ici est de trouver l'intersection "GRAPHIQUEMENT" des fonctions f(x) et g(x).

Donc je trace la courbe f(x)=x² et g(x)=-2x-1 (cf graph ci-joint)

les courbes se croisent en l'abscisse -1, mais quand je zoom avec l'aide de mon logiciel graphique je vois l'abscisse passer à 0, donc je dirais que les abscisses sont [0,-1]

ai-je bien résonné jusque là ?

En effet, la maîtrise du logiciel est excellente à première vue. Mais bon des révisions n'ont pas fait de mal pour autant au pire vu que j'ai axé justement sur la théorie et non la pratique du logiciel ou de la calculatrice.

Simple remarque en passant, F(x) et G(x) sont des nombres et non des fonctions. En effet, la fonction c'est F ou G car pour un x donnée, F(x) ou G(x) est une image et donc la valeur d'une ordonnée et par conséquent, il s'agit d'un nombre réel et non d'une fonction.

Donc c'est l'intersection entre la courbe représentant F et G que l'on cherche. Et en effet le point d'intersection I entre ces deux courbe a des coordonnées qui vérifie (x,F(x) car I appartient à la courbe représentant F mais aussi (x,G(x) car I appartient à la courbe représentant G.

Ainsi, on constate qu'un point d'intersection entre les deux courbes aura la même abscisse x et une ordonnées égale pour les deux fonction c'est à dire que F(x)=G(x).

Ceci, étant revenons à ton observation. Tu as donc déduit que l'intersection entre les deux courbes était le point I de coordonnées (0,-1).

Alors essayons de mieux comprendre les choses. En effet, notre point appartient à la courbe représentant G, donc on devrait avoir G(0)=-1 si ton observation est juste. Regardons: G(0)=-2*0-1=-1. Donc le point I appartient bien à la courbe représentant G. Maintenant, vu qu'il s'agit d'un point d'intersection entre les deux courbes, nous savons aussi qu'on devrait avoir F(0)=-1. Or F(0)=0²=0 qui est différent de -1. En conséquence, ton point I(0,-1) n'appartient pas à la courbe représentant F.
En conséquence, il ne peut pas être un point d'intersection entre les deux courbes.

Alors, ton erreur doit être dû à ton zoom. En effet, as-tu bien regardé ce qu'on lisait sur les axes lorsque tu as zoomer sur une zone plus petite? Car en effet, les deux axe peuvent changer de place pour que tu puisse continuer à lire les coordonnées des points mais à ce moment là l'échelle sur les axe va aussi changer du coup. Car ta première lecture avait l'air exacte, l'intersection entre les deux courbes à l'air de se faire pour une abscisse égale à -1.

Je te laisse refaire ton zoom et bien observer les axes car je pense que ton erreur vient de là. Il faut toujours essayer de bien comprendre ce ue t'affiche un logiciel ou une calculatrice avant de faire des conclusion en routine car dès fois il s'avère que l'affichage peut changer et donc s'adapter à une fenêtre de zoom.

Pour la question, suivante, c'est encore une question de lecture graphique et cette fois-ci on te demande l'ensemble des valeurs de x tel que F(x)<G(x). Alors si tu as compris comment fonctionnait un graphique représentant une fonction qu'est-ce que cela signifie justement sur les points de la croube représentant F par rapport au ponit de la courbe représentant G lorsque F(x)<G(x)?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire.

effectivement, le probleme du Zoom ce n'est qu'un effet d'optique, les coordonnées sont pour f(x) et g(x) (1,-1).

donc pour réponde à la question:

1.2. Déterminer à l'aide de la calculatrice des valeurs approchées des abscisses des points d'intersection des deux courbes :

Là je dirais pour l'abscisse toutes les valeurs comprise >0 et -1.

on peut également trouver les valeurs interdites des fonctions ?

ici : f(x)=x² ---------> x²=0 ------->x = +-V0 ---> 0
g(x)= -2x-1 ---------> -2x-1=0 ----> x=1/-2

... ?

Il y a encore une erreur mais celle-ci de fond je pense.

En effet, les coordonnées d'un point A dans un repère sont de la forme (x,y) avec x représentant son abscisse et y son ordonnée. En conséquence, le point d'intersection de nos deux courbes n'a pas pour coordonnées (1,-1). Je te laisse rectifier celà.

Sinon, pour l'autre erreur de compréhension, qu'entends-tu par valeurs interdites d'une fonction?

Ce qu'on entend par là d'habitude, c'est l'ensemble des valeurs de x que ne peut pas prendre une fonction F c'est à dire dont l'image par la fontion F n'existe pas. Par exemple, l'image de 0 par la fonction inverse, x|--> 1/x, n'existe pas car on n'a pas le droit de diviser par 0. Ainsi, 0 est une valeur interdite pour cette fonction. A contrario, on définit l'ensemble de définition d'une fonction comme étant l'ensemble des valeurs qui ne sont pas des valeurs interdites.

Est-ce que cela te semble plus clair pour la notion de valeurs interdites ou d'ensemble de définition?

Bon courage!

oui pour les valeurs interdites j'ai compris, c une valeur donc le résultat est impossible dans le tableau des signes cela sera représenté par ||.

je me suis fais un tableau de signe, peux-tu me dire si c correcte :

ici : f(x)=x² ---------> x²=0 ------->x = +-V0 ---> 0
g(x)= -2x-1 ---------> -2x-1=0 ----> x=1/-2 ----> x = -(1/2)

---x------- -inf ------- -(1/2) ------ 0 ---------- +inf
--x² - | - 0 +
-2x-1 + 0 - | -

c pas évident de faire un tableau lol

En effet, c'est pas évident de pouvoir faire un tableau sur notre forum mais j'ai une bonne vision lorsque j'accède à l'édition, donc aucun problème là-dessus.

Sinon, la définition, d'une valeur interdite n'est pas lié au signe de la fonction en fait mais juste au fait que pour les valeurs interdites x, F(x), n'a pas de sens si tu veux.

Par exemple, la fonction F(x)=1/(x-1) est définie sur R\{1} car 1 est une valeur interdite pour la fonction car pour x=1, donc x-1=0 et donc on devrait diviser par 0 ce qui n'est pas possible.

Sinon, pour ton tableau de signe, il y a une erreur pour la fonction carré. En effet, si je prend par exemple x=-2, que peut-être dire que F(-2) lorsque F est la fonction carrée c'est à dire F(x)=x² ?

sinon, pour le signe de la fonction affine G(x)=-2x-1, il y a bien un changement de signe en -1/2 et c'est positif sur ]-Inf;-1/2] et négatif sur [-1/2;+Inf[.

Par contre la question que je me pose c'est pourquoi cherches-tu à faire un tableau de signe de ces deux fonctions ?

Bon courage!

en fait c'est pour répondre à la question 1.3

donc si j'ai bien compris la réponse à la 1.3 serait :

tous les Réels inférieur à 0 à -inf (là je ne sais pas comme l'écrire correctement)

* Pour le 2.1. j'ai fais les calcules et je ne trouve pas pareil

énoncé : justifier que f(x)-g(x)=(x-1-V2)(x-1+V2)

je touve pour (x-1-V2)(x-1+V2) = x²-2x-1

par contre pour f(x)-g(x)= x²+2x+2

Comment je peux justifier que ce n'est pas bon, alors que l'on nous demande le contraire ?

* pour le 2.2 : calculer l'inéquation (I) : f(x)<g(x)
x²<-2x-1
x²+2x<-1
x²+2x+1<0
(x+1)(x-1)<0
(x+1)²<0
x+1=0
x=-1

Ton tableau de signe reste faut tout de même pour la partie ]-Inf;0

Citation :

fonction carrée en tout cas. Pour t'en convaincre regarde la courbe si tu veux.

Sinon, la question 1.3 est la suivante:

[quote]1.3. Conjecturer les valeurs des réels x tels que : f(x)<g(x)

Par conséquent, il s'agit de conjecturer en regardant la courbe les valeurs des réels x tels que F(x)<G(x). Il n'y a donc pas de démonstration à faire car cela sera fait justement dans la question 2). A la question 2), on va t'amener à résoudre par le calcul l'inéquation F(x)<G(x) mais pourl a question 1.3) il s'agit encore d'une lecture graphique.

Le soucis que tu as sans doute ici c'est l'interprétation graphique de l'igalité F(x)<G(x).

En effet, graphiquement à quoi correspond F(x) pour un point de la courbe représentant F? Même question pour G(x) pour un point de la courbe représentant la fonction G?

Ensuite, qu'est-ce que cela signifie toujours en terme graphique que pour une abscisse donnée x, on ait F(x)<G(x)?

Avant d'entamer une telle question, il faut d'abord bien comprendre la question et faire une correspondance (qui est hélas souvent peu faite en cours d'ailleurs) entre l'analyse c'est à dire la fonction F, l'utilisation de x et de y et le représentation graphique de la fonction F c'est à dire la notion d'ordonnée, d'abscisse, d'intersection, de courbe au-dessus d'une autre, de croissance d'une fonction, de décroissance par exemple. Il faut réussir à être à l'aise entre le passage du numérique au graphique et ce n'est pas simple, j'en suis tout à fait convaincu c'est pour cela qu'il vaut mieux y aller tranquillement sur le sujet mais qu'il soit bien assimilé car c'est ce qui fait vraiment la base des fonctions en fait.

Nous reviendrons sur la suite des questions qui semble juste à une erreur de calcul près F(x)-G(x) à recalculer et je pense que tout sera juste mais nous y reviendrons car il fuat d'abord bien comprendre les liens entre vocabulaire lié au repère et vocabulaire lié à la fonction.

Bon courage!

Bon j'ai relu les cours sur les tableaux de signes et les variations et c'est deja plus clair ;-)

pour la question 1.2 : à l'aide de la calculatrice je donne des valeurs approchées des abscisses :
par exemple sur la calcule TI-92 à l'aide des curseurs je deplace et je trouve (-0.9361 ; -0.9787 ; -1.02127 ...etc) mais avec l'aide d'un autre programme graphique sur mon Pc je vois bien que c'est -1 (cf joint au dessus)


Pour le 1.3 faut lire les images de f(x) et g(x) donc les ordonnées

Pour 2.1. là je ne comprends pas j'ai refais plusieurs fois les calculs et je trouve tjr pareil ?????

pour le 2.2 . je pense avoir bon

Merci de m'aider pour ce qui n'est pas bon

merci bcp en tout cas

Bonsoir,

Pour la question 1.2, il s'agit en effet de déplacer le curseur sur la courbe et voir à partir de quelle moment celui-ci passe de gauche à droite du point d'intersection ou de droite à gauche tout dépend d'où part le curseur.

Pour la question 1.3, il s'agit en effet, d'une lecture d'image et donc des ordonnées c'est à dire une lecture des ordonnées des points de chacune des courbes. Et ce qu'on cherche se sont les abscisses x tel que F(x)<G(x). Par conséquent, il faut regarder quels points de chacune des courbes exactement?

Pourl a question 2.1, F(x)=x² d'après l'énoncer et de même G(x)=-2x-1 d'après l'énoncer. Conclusion, sur F(x)-G(x) ?
De plus, l'expression suivante: (x-1-√2).(x-1+√2)=x² -2x -1

Je pense en effet, qu'il y a une erreur dans l'énoncer car pour que cela soit juste il faut en fait que G(x)=2x+1 et non G(x)=-2x-1. ET vu commetn est rédigé l'exercice, l'erreur s'avère être vraiment là.

Suppose dès le départ que G(x)=2x+1. Ca change les point d'intersection et les obeservation à la calculatrice mais si tu as bien compris les démarches, je pense que cela ne posera pas de soucis. Car en fait, en prenant, G(x)=-2x-1, l'exercice n'a plus aucun intérêt car F(x)-G(x)= (x+1)² et donc c'est toujours positif ou nul donc l'inégalité n'est vérifiée que lorsqu'elle est nulle et non en x=-1 ce qui enlève tout l'intérêt de l'exercice.

Donc tu marque ne haut de page, "Je pense qu'il y a une erreur d'énoncer dans l'exercice, et je considèrais dans la suite que G(x)=2x+1 pour tout réel x". Il faut savoir que dans un devoir cela se fait aussi. C'est à dire que lorsqu'on découvre qu'il y a une erreur et qu'on en est convaincu au point d'avoir trouver un contre exemple ou une absurdité en quelque sorte et bien on écrit en évidence et sans ambiguité ce qu'on considère faux et la correction qu'on apporte pour pouvoir continuer un exemple.

Désolé pour le contre temps mais les démarches ne changent pas donc pas de problème en soi.

Bon courage!

bonsoir,

Oui en effet fait fait avec mon fils les courbes X² et 2x-1 et effectivement cela nous donnent 2 intersections et cela change tout l'exercice. De plus il est marqué dans l'enoncé 1.2 je cite : ....des valeurs approchées des abscisses des points d'intersection


Mais dans l'énoncé il est bien marqué : définies sur R par : f(x)=x² et g(x)=-2x-1

j'ai essayé ave 2x-1 et -2x+1 etc.... je n'ai jamais égalité

et pour le reste 2.2: c bon ou pas ? biensure en prenant -2x-1 ?

En prenant, G(x)=-2x-1, il n'y aura jamais l'égalité qu'il est demandé de démontrer en fait.

Il faut vraiment pour avoir cette égalité, considérer: G(x)=2x+1 car ainsi on aura bien F(x)-G(x)=x² - (2x+1) = x² - 2x - 1

Et d'après tes calculs qui s'avère juste pour ceux-là, on a bien: (x-1-√2).(x-1+√2)=x² -2x -1

Et à ce moment là, on peut bien conclure que F(x)-G(x)=(x-1-√2).(x-1+√2) comme il est demandé dans l'énoncer.

Il y a donc une erreur flagrante dans l'énoncer, il faut considérer dès le début de l'exercice avant même de commencer la question 1) en fait qu'on considère F(x)=² et G(x)=2x+1. Sinon, l'exercice n'a aucun intérêt en quelque sorte au niveau des résultat qu'on va trouver.

Bon courage!

oui tu as raison (comme d'hab lol) c bien g(x)=2x-1

Bon v essayer de tout refaire avec ca

Bonne soirée et un grand merci

Attention c'est G(x)=2x+1.

Il ne sert à rien de tout refaire en plantant la correction de l'erreur .

bon courage mais si tu as bien compris la démarche qu'on avait utilisé sur l'autre fonction, il n'y aura aucun soucis je pense. Sinon, n'hésite pas à reposer tes questions, je chercherai d'autres moyens d'aborder les choses au cas où.

Bon courage!

Bonjour

Comment résoudre inéquation f(x)<g(x) ?

x²<2x+1
x²-2x+1<0
x(x-2x)+1<0

c ca ? je dois poursuivre ou pas ?

Pour résoudre une inéquation, il n'y a pas beaucoup de thechnique en fait. La seule qu'on connaisse c'est le tableau de signe. Pour se faire, il va donc falloir factoriser au maximum notre expression.

Par contre attention au signe:

Citation :

x²<2x+1
x²-2x+1<0

Je te sonseille de toujours laisser la parenthèse derrière le "-" pour éviter ce genre d'erreur.

Sinon, pour pouvoir factoriser, l'indication serait de ne pas oublier qu'on a effectué un calcul avant cette question qui pourrait bien nous servir .

Bon courage!