[Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique

Bonjour !

Un peu plus haut, j'ai écris que :

"La fonction f(x)=0 coupe l'abscisse aux environs de -1,91 ; 0 et 1,91. Serais-ce les solutions de la fonction ?"

Citation :

En effet, donc la réponse à la question c'est qu'il y a deux solutions à l'équation F(x)=0

Le 0 ne compte-il pas et c'est pour celà qu'il n'y a que deux solutions ou c'est une petit erreur de ta part?


J'ai commencé un nouvel exercice semblable:

f(x) = cos x - x
f'(x)= -sin x -1

La dérivée est toujours négative sur l'intervalle ]-pi;pi] et s'annule en -pi/2.

D'après le graph, la fonction f(x) ne coup qu'une seule fois l'axe des abscisses, il n'y a donc qu'une solution pour cette dernière. Le nombre de solutions de f(x)=0 est identique à celui de cos x - x et donc de aussi à celui de cox = x, soit 1 solution.

Cependant, on me demande de montrer que l'équation cos x = x ne peut pas avoir d'autre solution sur R. Pour le sinus de l'exercice suivant cela marchait aussi la fonction sinus et affine n'admettait pas de valeur interdite, mais en est-il de même pour la fonction cosinus? c'est mon unique et dernière question, merci bien

Bonjour,

En effet, il s'agit d'une erreur de ma part. j'ai lu trop vite. La solution x=0 est d'ailleurs la seule calculable (dont on ait la valeur exacte).

En fait, il faut regarder le tableau de variation c'est plus rigoureux que la courbe en quelque sorte. En -Pi, la fonction est positive mais en -Pi/3, elle est négative Donc il y a eu passage par l'axe des abscisses à un moment où à un autre vu que la fonction F est continue sur ]-Pi;-Pi/3[. ET de même, en Pi/3, la fonction est positive, donc sur ]-Pi/3;Pi/3[, nous sommes repassés par l'axe des abscisses (et là c'est pour x=0 d'ailleurs). Et enfin, en Pi, le fonction est négative, il y a donc un troisième passage par l'axe des abscisses pour la courbe.

Il y a donc trois solutions l'équation et non deux c'est tout à fait exacte.

Sinon, pour ta remarque, x=-1,91 et x=1,91 sont des valeur approchée des solutions et non des valeurs exacte. La preuve étant que si tu calcules l'image de -1,91 par exemple et bien tu remarqueras (ce que tu as déjà fait d'ailleurs) que F(-1,91) n'est pas égale à 0. Il ne s'agit même pas d'une approximation d'ailleurs car F(-1.90) est plus proche de 0 que F(-1.91) donc l'approximation à 10^-2 près serait plus -1,90 que -1,91.

En fait, on ne peut pas calculer la valeurs exacte de ces deux autres solutions car il n'y a pas de moyen d'avoir accès à celles-ci. En revanche, il existe des méthode de calcule telle que la dichotomie comme je viens de le faire par exemple (je calcule des image successives et les compare entres-elles pour savoir quelle est la plus proche de 0) pour calculer la valeur approchée de la solution avec la précision adéquat pour ce qu'on veut en faire. Par exemple, si on souhaite construire une arche d'un bâtiment la précision au milimètre suffit largement et donc avoir deux chiffres après la virgule suffit comme précision. Si en revanche on souhaite calculer la trajectoire d'une fusée à partir de l'angle de départ, il faudra une précision beaucoup plus drastique que celle-ci et on fera à ce moment là marcher les ordinateur pour calculer la valeur approchée souhaitée. C'est ce que appelle résoudre par des méthodes numériques un problème.

Enfin, pour ton autre exercice sur le même thème, nous avons ici quelque chose de bien plus intéressant à manipuler. En effet, on considère la fonction directement sur R tout entier. Pourquoi???? Car la dérivée reste négative pour toutes les valeurs réelles de x ! Donc, il n'y a aucun intérêt à restreindre l'intervalle d'étude de notre fonction.

Donc on en conclut quoi sur les variation de la fonction F sur R?

Du coup, je te laisse conclure de toi-même car il n'y a pas besoin de notion de limite pour conclure ici, la monotonie de la fonction permet de conclure directement.

Bon courage!

Si la fonction dérivée est négative sur ]-pi;pi], elle l'est forcément sur R puisque la dérivée reste négative pour toutes les valeurs (réelles) de x.

Ainsi, lorsque la fonction coupe l'axe des abscisses, il s'agit de l'unique solution sur R.

C'est bien ça?

C'est pas tout à fait cela. La question serait pourquoi c'est vraiment cela?

En effet, qu'est-ce que cela entraîne surl a fonction elle-même que sa dérivée soit négative sur R tout entier?

Bon courage!

Eh bien que la fonction f ne repassera pas par l'axe des abscisses puisqu'il n'y aura pas le moindre changement de variation ! d'où l'unique solution sur R !

L'argument essentiel réside dans ce petit bout de phrase en fait:

Citation :

il n'y aura pas le moindre changement de variation

En effet, la fonction est décroissante sur R et par conséquent, il n'y aura pas de changement de variation. Et en fait, il faudrait même être un plus précis si on souhaite réellement être rigoureux.

En effet, que la fonction soit décroissante ne suffit pas car la fonction pourrait être constante à 0 sur tout un intervalle. En effet, la décroissance n'implique par la stricte décroissance, donc la fonction peu être constante à certain endroit.

Mais en fait, nous avons un argument supplémentaire c'est que la dérivée s'annule en un nombre fini de point sur ]-Pi;Pi]. Et donc la fonction est strictement décroissante ce qui implique donc qu'il n'y a que la solution à l'équation F(x)=0 est unique si elle existe. Mais vu qu'on a montré qu'elle existait, elle est donc forcément unique. Là encore, derrière, il y a le théorème dit des valeurs intermédiaire qui entre en compte mais que nous n'avons pas en possession cette année, donc on essaie de faire sans tout en gardant la rigueur.

Sinon, pour répondre à ta question, la fonction cosinus est tout à fait continue sur R.

Bon courage pour la suite!

Voilà, exercices achevés et compris, grâce à toi, merci beaucoup.