Equation trigonométrique

Bonjour j'ai un DM a finir pour vendredi et j'ai du mal a comprendre le fonctionnement des equations trigonometriques.

Voila, j'aimerai savoir si vous pouviez m'aider pour ces deux ci qui me semblent particulierement compliquer...

1/ (sin x - cos x)^2 = 1 - sin2x
2/ cos^4x + sin^4x = 1 - sin^22x

Les ^ signifient exposant...
Traduction de sin^22x >> sin au carré de 2x

Voila j'espere que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance,
Sidney.

Bonjour et bienvenue parmi nous Sidney!

Alors pour résoudre des équations trigonométriques, il faut le plus souvent se ramener à une forme du type Cos(..)=alpha ou Sin(..)=alpha avec alpha un réel.

Après ce qu'on connaît surl es sinus et les cosinus:

- La propriété fondamentale: pour tout réel x, on a: Cos²(x) + Sin²(x)=1

- Les propriétés d'addition: Cos(a+b)=Cos(a)*Cos(b) - Sin(a)*Sin(b) et Sin(a+b)=Sin(a)*Cos(b) + Cos(a)*Sin(b)
Et celles qui s'en déduisent par parité du cosinus ou imparité du sinus: Cos(a-b) et Sin(a-b)

Avec tout ça, on doit pouvoir s'ne sortir normalement.

Prenons, la première équation: [ Sin(x) - Cos(x) ]² = 1 - Sin(2x)

Si on développe le carré de gauche et en utilisant la propriété fondamentale, on se retroue avec quelle équation?

Ben normalement cela devrait donner :

sin(2x) - 2*sin(x)*cos(x) + cos(2x) = ...

C'est cela, et merci je suis content d'etre parmi vous

Attention !!

Sin²(x) n'est pas égale à Sin(2x) (même remarque pour le cosinus)

Du coup, on a: [ Sin(x) - Cos(x) ]² = Sin²(x) - 2*Sin(x)*Cos(x) + Cos²(x)

Conclusion d'aprèsl a propriété fondamentale, c'est encore égale à quoi ?

2*sin(x)*cos(x) = 1

On sait que Cos²(x) + Sin²(x)=1 mais si on remplace l'addition par 1, il n'y a pas d'égalité dans notre expression :

Citation :

-2*sin(x)*cos(x) + 1

On est donc amener à résoudre:

-2*Sin(x)*Cos(x)+1=1+Sin(2x)

Mais que vaut Sin(2x) en fonction de Cos(x) et Sin(x) ?

Indication: utilise l'astuce Sin(2x)=Sin(x+x) pour développer le sinus

Oui exact pour le +1 j'avais completement zappé^^

Alors normalement d'apres ce que je comprend :

sin(2x) = sin(x + x) = sin(x)*cos(x) + cos(x)*sin(x)

Non, si c'est pas ça je me tire une balle

C'est bien ça!

Conclusion, quelles sont les solutions de cette première équation?

EDIT: attention j'avais oubleir de repporter le "-" dans ce que j'vais mis en gras ce qui change la réponse si tu t'y es fié .

Bonne question...

J'en suis la :

2*sin(x)*cos(x)+1=1+sin(x)*cos(x)+cos(x)*sin(x)

On doit factorisé ici par sin(x)*cos(x)?

Alors comme je te le disais dans le développement du carré que j'avait écrit, j'avais planté le signe ça arrive à tout le monde. Donc on a cela en fait:

-2*sin(x)*cos(x)+1=1+sin(x)*cos(x)+cos(x)*sin(x)

Maintenant, il faut savoir que Sin(x)*Cos(x)=Cos(x)*Sin(x). Donc Sin(2x)=2*Sin(x)*Cos(x)

Nous sommes donc arrivé à:

-2*Sin(x)*Cos(x)+1=1+2*Sin(x)*Cos(x)

Et si je passe tout à gauche j'arrive à quoi?

Je me disai aussi...

Donc ça ferait : -2*sin(x)*cos(x)+1-2*sin(x)*cos(x)-1=0
Autrement dit : 2(-2*sin(x)*cos(x))=0 non?

En effet!

Donc maintenant, on est devant l'équation suivante:

2*sin(x)*cos(x)=0

J'ai simplifié par -2 car cela ne change rien vu que tout doit être nul .

Maintenant, on sait que Sin(2x)=2*sin(x)*cos(x) (la mêem en couleur )

Du coup, on est amené à résoudre:

Sin(2*x)=0

Et là, est-ce que tu peux conclure?

Je sais pas trop c'est etrange...

sin(2x)=0 c'est pas egal a [sin(x)]^2=0 ??

Relis quelque post plus haut et tu comprendras pourquoi j'ai fait nue syncope .

Alors reprenons, que cherche-t-on ?

On cherche les valeurs de x pour lesquelles Sin(2x)=0

Alors maintenant, le réflexeà avoir c'est de faire un cercle trigonométrique à main levé et de regarder pour quelles valeurs la fonction sinus s'annule. Quand est-ce que le Sinus est nul alors ?

Quand est ce que le sinus est nul...
Pour Pi et 2Pi

C'est juste n'est pas peur je vais pas te manger .

Et vu que le sinus est 2*Pi périodique, on peut dire qu'il est aussi nul en 0, 3Pi, 4Pi, ... mais aussi -Pi, -2Pi, ....

De manière général et pour faire simple, on dit que le sinus est nul pour des valeurs de la forme k*Pi avec k un entier relatif quelconque.

Conclusion, Sin(2x)=0 <=> 2x=k*Pi avec k un entier relatif

Donc l'ensemble des solutions est l'ensemble des x de la forme k*Pi/2 avec k un entier relatif.


Est-ce que tu comprends la démarche et la conclusion?

Oui je comprend ! Merci encore

Alors maintenant pour la 2ème qui est somme toute plus compliquée au première regard:

[Cos(x)]⁴ + [Sin(x)]⁴ = 1 - Sin²(2x)

Alors les puissance 4 c'est pas terrible terrible. Essayons de voir si on peut pas mieux faire en développant Sin(2x) par exemple.

Mais c'est pas sin(x), c'est sin^2(2x) c'est pas different?

En fait si on développe Sin(2x) pour avoir Sin²(2x) il nous suffira de mettre au carré ce qu'on a trouvé.

Pas évident celui-là mais on va voir si on s'en sort comme ça.

Bon après réflexion, il y a un autre moyen d'arriver à la solution et de façon plus direct.

Alors on recommence. On cherche les valeurs de x pour que:

[Cos(x)]⁴ + [Sin(x)]⁴ = 1 - Sin²(2x)


A quoi est égale 1- Sin²(2x) d'après la relation fondamentale ?

Enfait dans l'enoncé, c'est dit de montrer quec'est egale et non d'y resoudre mais j'ai pu me debrouillé pour la premiere par contre la deuxieme j'en ai aucune idée...

Par contre j'en ai une autre et faut la resoudre celle ci :

cos(x)^4 + sin(x)^4 = -1/2

Voila j'espere que tu pourras m'aider

Bonsoir,

Les deux autres étaient aussi des résolutions car il n'y a pas égalité pour toutes valeurs de x.

Sinon, pour celle que tu proposes, il faut commencer par écrire [Cos(x)]⁴ en fonction de Sin²(x) et de [Sin(x)]⁴, une idée ?

Pourtant dans l'enoncé il est bien ecrit Demontrer que ... = ...

Oula non je vois pas...

Ok, je reviendrai sur les deux autre après alors.

Ici pour s'ne sortir, il faut voir [Cos(x)]⁴ comme [Cos²(x)]²

A partir de là, on sait écrire Cos²(x) en fonction de Sin²(x) en utilisant la relation fondamentale qu'on a revu hier.

Bon courage!