équation trigonométrique

Bonjour,
je dois résoudre une équation pour un DM mais j'y arrive pas.
C'est: 2cos²x-3cosx-2=0

Merci de m'aider.

Bonjour et bienvenue parmi nous!

Alors ton équation est une équation contenant des cosinus mais je prétends qu'on puisse la transformer en une équation du second degré.

A partir de là, quelle serait l'équation du second degré qui serait sous jacente à cette équation en cosinus?

Bon courage et n'héhiste pas à poser tes questions si des choses ne te semblent pas clair!

je suis désolé mais je ne sais comment la transformer en équation du second degrés.

C'est normal lorsqu'on n'a pas encore vu l'astuce de calcul mais si je l'écrit comme ceci:

2*[Cos(x)]² - 3*[Cos(x)] -2 = 0

Est-ce que tu "vois" mieux l'équation du second degré? Si c'est le cas, on dit qu'on va effectuer un changement de variable dans notre équation en posant "X=...." et cela permet de faire apparaître la fameuse équation du second degré.

Est-ce plus clair ainsi?

Bon courage!

d'accord mais je ne sais pas résoudre une équation du second degré.

J'ai déplacé ton message car j'ai failli tombé de ma chaise pour le coup lol. En effet, tu avais posté dans la rubrique L1 qui est la première année de faculté et ne pas savoir résoudre une équation du second degré à ce niveau là aurait été tout de même plus que gênant. Alors qu'en première S cela est déjà moins sûr vu qu'il s'agissait d'une nouvelle notion de seconde qui a pu être oublié durant les vacances.

Alors, quelle est l'équation du second degré dans un première temps?

Ensuite, est-ce que la notion de discriminant d'une équation du second degré te rappelle quelque chose? Le fameux Δ=b²-4*a*c pour une équation du second degré du type a*x²+b*x+c=0.

Si ce n'est pas le cas, nous verrons comment le retrouver ne t'inquiète pas (c'est la "reprise" en quelque sorte).

Bon courage!

non je pense pas que je l'ai appris en seconde

Ok!

En effet, en remettant le nez dans mes archives, j'ai constaté que c'était fait en 1ère S et non plus en seconde (j'ai toujours autant de mal à m'y faire même au bout de deux ans).

Alors essayons de voir comment, on peut faire pour s'en sortir. N'empêche vous donner une équation du second degré avec un changement de variable sans avoir le cours sur les équations du second degré c'est un peu vache mais bon, on va voir petit à petit comment mettre en évidence la méthode.

Nous se que nous savons faire c'est factoriser grâce aux identités remarquable:

a² + 2*a*b + b² = (a+b)²
a² - 2*a*b + b² = (a-b)²
a² - b² = (a-b)*(a+b)

Alors ici, hélas nous ne sommes pas dans ce cadre là mais essayons de s'y ramener. En effet, dans un première temps, on va essayons de se mettre sous la forme:

X² + a*X + b = 0

Pour cela quelles sont les valeurs de a et de b et qu'as-tu posé pour X aussi par la même occasion?

Non je ne sai pa les valeurs de a et de b.

Quel changement as-tu effectué pour te ramener à une équation du type: α*X² + β*X + γ = 0 ?

je pense que a=2, X=cos x, B=-3, y=-2.
est ce que c'est vrai ?

C'est tout à fait ça!!!

Nous sommes donc face au système:

{X=Cos(x) (donc X est compris entre -1 et 1, je le dit car cela donne des indications pour les solutions de l'équation)
{2X²-3X-2=0

Donc on va laisser la première ligne tranquil car on s'en servira qu'à la fin lorsqu'on aura trouvé des solutions X de notre deuxième ligne.

On a donc devant les yeux: 2*X² - 3*X - 2=0

Comment arriver à une équation du type X² + aX + b =0? Et dans ce cas là quelles sont les valeurs de a et b?

Bon courage!

on doit diviser l'équation par 2 ?
on a: X² - 3/2 X - 1/2 = 0
a=-3/2, b=-1/2

Nickel!!

Maintenant, l'idée est de considérer que X² - (3/2)X est le début du développement d'une identité remarquable.

Par exemple, ici, on pourrait écrire ceci: X² - 2*(3/4)*X qui est le début de quel carré?

Bon courage!

c'est (a-b)²= a² -2*a*b +b² ?

C'est tout à fait ça!

Donc ici a=X et que vaudrai b dans ce début de développement?

je pense que b = 3/4

C'est tout à fait ça!!!

Par conséquent, on aimerait factorisé notre expression sous la forme (X-3/4)² + d=0 avec d qu'on ne connaît pas mais qui pourrait bien marcher.

Est-ce que la démarche est claire? Sinon, il faut m'arrêter surtout.

Par conséquent, si on développe notre carré, on voit qu'il va apparaître "+9/16" qui n'est pas dans notre expression de départ. Mais quand on veut quelque chose ne maths et bien on le fait apparaître .

En effet, on sait que 0=9/16 - 9/16, t'es d'accord?

Donc notre équation est équivalente à:

X² - 2*(3/4)*X + (9/16 - 9/16) - 2 = 0 (je n'ai rien changé vu que j'ai ajouter 0 à l'expression, t'es d'accord?)

Mais là maintenant, on trouve ceci:

(X² - 2*(3/4)*X + 9/16) - 9/16 -2 =0


La paranthèse se factorise en (X-3/4)² (=X² - 2*(3/4)*X + 9/16) et on obient donc:

(X-3/4)² - 9/16 - 2 =0

Maintenant, je prétends qu'on peut encore factoriser après avoir réduit l'addition qu'il reste en dehors de la parenthèse. Essaie de factoriser grâceà la troisème identité remarquable, je te laisse entamer les calculs.

Bon courage!

C'est (a+b) (a-b) = a² - b²
a=(X-3/4) b=3/4
((X-3/4)+3/4) ((X-3/4)-3/4) = X (X-3/4) ?

Bonjour!

Le soucis de ce que tu viens de faire c'est qu'on avait déjà X²-3/2*X donc y revenir n'a pas grand intérêt en soit vu que pour résoudre notre équation on cherche à la factoriser un maximum.

Il faut d'abord calculer ce qu'il y a au dehors de la parenthèse avant d'utiliser la factorisation sinon, on va tourner en rond comme tu le constates d'ailleurs.

Donc on par de là: (X-3/4)² - 9/16 - 2 =0

Et on va essayer de se ramener à la forme: (X-A)*(X-B)=0 avec A et B à déterminer. Est-ce que tu comprends la démarche qu'on a utilisé jusqu'ici?

Bon courage!

je ne vois pas comment on peut le faire

Bonsoir,

Le calcul était bien celui que tu marquais dans l'idée mais ce n'est pas avec les bonnes quantités que tu l'utilises en fait.

En effet, tu refactorises avec le -9/4 qu'on a exprès mis en évidence et à part pour pouvoir faire apparaître le carré. Donc si tu refactorises avec cette quantité là, tu vas donc tourner en rond. Est-ce que tu comprends le problème? Car si ce n'est pas le cas il faut surtout le dire, il n'y a pas de question idiotes loin de là et il faut mieux poser ses questions que de rester avec des questions sans réponses ou avec des réponses fausses.

Donc en fait, ce que je dis pour éviter de tournée en rond c'est de commencer par réduire ce qui est en marron dans l'expression suivante:

(X-3/4)² - 9/16 - 2 =0

Le but étant de se ramener à une expression du type: A² - B² = 0. Car le but est de pouvoir appliquer la factorisation par la troisième identité remarquable. Bon ici, on voit bien quel terme va jouer le rôle du A, ça va être (X-3/4). Et nous on cherche à mettre bien en évidence le B.

Est-ce que tu vois le chemin qu'on a parcouru?

Je vais te le rappelé:

1) On a poser X=Cos(x) pour faire apparaître une équation du second degré en X qui n'est autre que celle-ci: X² - (3/2)*X - 2=0

2) Ensuite, on a dit que le but était d'effectuer une factorisation "partielle" sous la forme en considérant que X² - (3/2)*X était le début du développement du carré (X-3/4)².

3) Et par conséquent, pour faire apparaître ce carré dans l'expression, il fallait utiliser une astuce d'écriture en disant que 0= 9/4-9/4 (exactement le terme manquant dans le carré).

4) Le but ultime étant de se ramener à une expression du type: A²-B²=0 pour pouvoir factoriser à l'aide de la troisième identité remarque et ainsi pouvoir conclure (car un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nuls tout simplement).

Nous sommes donc rendu à l'étape 4 qui est l'étape finale dans la résolution de l'équation presque. Est-ce que tu suis mieux ainsi?

Je te laisse reprendre la démarche et la dernière étape au vu de ce que je viens de dire.

Bon courage!

je n'arrive pas a factoriser " -9/16-2"

Bonsoir,

Alors, la factorisation par la troisième identité remarquable viendra après. Ici il faut juste réduire l'expression que tu as posté (faire le calcul en gros) pour faire apparaître ce que j'ai appelé B² et par conséquent déduire B (pour mieux factoriser par la suite).

Donc tu effecute juste la soustraction ici et tu vas voir apparaître le carré qu'on va utiliser pour factoriser notre expression tout entière.

Bon courage!

est ce que c'est (23/16) ?