Exercice cercle trigonométrique et affixes

Salut!
Me revoici pour une série d'exercices de maths sur la trigonométrie et les complexes. Ici, l'exercice avait l'air de bien fonctionner pour moi mais, je trouve quelque chose qui n'est pas cohérent à un moment : ce que je détaillerais. J'aurais donc besoin de vérifications là-dessus.

Voici l'énoncé :

1. Soit les complexes z₁ = Racine(2) + iRacine(6) ; z₂ = 2 + 2i ; Z = z₁/z₂.
Ecrire Z sous forme algébrique.

2. Donner les modules et arguments de z₁ , z₂ et Z.

3. En déduire les valeurs exactes de cos(Pi/12) et sin(Pi/12).

4. Placer A, B et C sur un graphique en utilisant la règle et le compas.

5. Ecrire sous forme algébrique Z²⁰⁰⁷.



Et voici mes réponses :

1. Ici, je ne mets pas le détail mais j'emploie le conjugué et je trouve au final :



2.
Pour z₁, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(2))² + (Racine(6))² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = Racine(2) / [2Racine(2)] = 1/2
sin(Têta) = y/r = Racine(6) / [2Racine(2)] = Racine(3)/2

--> Le module de z₁ est 2Racine(2) et son argument est Pi/3.




Pour z₂, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 2² + 2² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2
sin(Têta) = y/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2

--> Le module de z₂ est 2Racine(2) et son argument est Pi/4.




Pour z₃, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ [2Racine(2)/3]² + [(-2Racine(2) + 2Racine(6)) / 6]² ] = Racine[ 8/9 + (8+24)/36 ] = Racine[ 32/36 + 32/36] = Racine[ 64/36 ] = Racine[ 16/9]


Attention, c'est là que ça plante :

cos(Têta) = x/r = [(2Racine(2))/3] / [Racine(16 / 9)] = [(2Racine(2))/3] / [Racine(16 / 9)] = [2Racine(2)]/4 = Racine(2)/2

sin(Têta) = y/r = [[-2Racine(2) + 2Racine(6)] / 6] / Racine(16/9) = [[-2Racine(2) + 2Racine(6)] / 6] * Racine(16/9) = [[-2Racine(2) + 2Racine(6)] / 6] * (3/4) = [[-6Racine(2) + 6Racine(6)] / 24]

Là, déjà, ya une incohérence surtout qu'à la question suivante, on me demande d'en déduire le sin et le cos de Pi/12 et que le sin que j'ai trouvé ici est celui de Pi/12 mais le cos ne correspond pas....

J'aurais donc besoin d'un petit coup de main là-dessus stp!

Bonsoir,

Il y a une erreur dans la première question, en effet l'expression conjugué est la bonne méthode mais le calcul doit contenir une erreur quelque part.

Les modules et les arguments de z1 et z2 sont tout à fait justes. Le fait que tu ne puisse pas conclure pour Z, vient de l'erreur de la question 1) vu que tu utilise l'expression algébrique pour faire les calculs.

Le module du quotient se déduit facilement à partir du module du numérateur et de celui du dénominateur. Celà aurait dû te permettre de constater ton erreur de calcul à la question 1.

Bon courage!

Celui-là aura mis plus de temps que les autres mais, j'ai du le refaire deux fois pour me rendre compte que j'avais fait une vulgaire erreur de calcul mais, l'important c'est de s'en rendre compte n'est-ce pas?



1. Je trouve désormais ceci :



2.
Pour z₁, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(2))² + (Racine(6))² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = Racine(2) / [2Racine(2)] = 1/2
sin(Têta) = y/r = Racine(6) / [2Racine(2)] = Racine(3)/2

--> Le module de z₁ est 2Racine(2) et son argument est Pi/3.




Pour z₂, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 2² + 2² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2
sin(Têta) = y/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2

--> Le module de z₂ est 2Racine(2) et son argument est Pi/4.




Pour z₃, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]² + [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]² ] = Racine(16/16) = Racine(1) = 1 [désolé, c'est condensé mais, comme ça colle avec la question 3, c'est forcément bon il me semble.

cos(Teta) = x/r = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4] / 1 = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4].
sin(Teta) = y/r = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4] / 1 = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4].

--> Le module de Z est donc 1 et son argument est Pi/12 [Ici, dois-je dire que le module est Pi/12 alors que je dois le déduire à la question 3??]



3)
cos(Pi/12) = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]
sin(Pi/12) = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]

4) La figure est faite.

5) Là, par contre, je bloque...comment puis-je calculer un Z aussi grand?

La première question est juste maintenant en effet. Le principale est de comprendre son erreur de toute façon.

Pour la question 2):

Citation :

Pour z₃, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]² + [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]² ] = Racine(16/16) = Racine(1) = 1 [désolé, c'est condensé mais, comme ça colle avec la question 3, c'est forcément bon il me semble.

cos(Teta) = x/r = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4] / 1 = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4].
sin(Teta) = y/r = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4] / 1 = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4].

--> Le module de Z est donc 1 et son argument est Pi/12 [Ici, dois-je dire que le module est Pi/12 alors que je dois le déduire à la question 3??]

Tu ne peux pas dire que l'argument de Z est Pi/12 avec cette méthode là car pour ma part, je ne connais pas le cosinus et le sinus de Pi/12 par coeur et toi non plus j'imagine .

En fait pour cette question 2), on cherche à tester tous tes acquis de cours sur les complexes. En effet, on te fait calculer deux modules et deux arguments par des méthodes directes (on effetcue les calculs de façon routinier) mais pour Z, là on teste autre chose:

En effet, Z=z₁/z₂. Donc on cherche le module et l'argument d'un quotient sans passer par sa forme algébrique mais plutôt par les propriétés de calcul sur les arguments et les modules de quotient.

La forme algébrique de Z sert à conclure sur les valeurs du sinus et du cosinus de Pi/12 car on va bien trouver que l'argument de Z c'est Pi/12.

La hiérarchie des question est respecté dans 99% des cas, il ne faut donc pas mettre la charrue avant les boeufs comme on dit et faire des déduction successive sinon la question 3) n'a plus de sens ici.


Pour la question 5), il s'agit de montrer la puissance des calculs des arguments et des modules pour en déduire facilement la forme trigonométrique et donc la forme algébrique. Cette question sert surtout à te faire manipuler les propriétés sur les arguments et les modules et te montre l'intérêt profond de la forme trigonométrique.

Bon courage!

1. Je trouve désormais ceci :



2.
Pour z₁, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(2))² + (Racine(6))² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = Racine(2) / [2Racine(2)] = 1/2
sin(Têta) = y/r = Racine(6) / [2Racine(2)] = Racine(3)/2

--> Le module de z₁ est 2Racine(2) et son argument est Pi/3.




Pour z₂, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 2² + 2² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2
sin(Têta) = y/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2

--> Le module de z₂ est 2Racine(2) et son argument est Pi/4.




Pour z₃, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]² + [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]² ] = Racine(16/16) = Racine(1) = 1 [désolé, c'est condensé mais, comme ça colle avec la question 3, c'est forcément bon il me semble.

cos(Teta) = x/r = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4] / 1 = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4].
sin(Teta) = y/r = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4] / 1 = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4].

--> Le module de Z est donc 1 et son argument est ???? Je rédige ça comment?



3)
cos(Pi/12) = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]
sin(Pi/12) = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]

4) La figure est faite.

5) Euh... J'ai pas tout compris...

Alors le module tu peux le calcul en direct à partir de l'expression algébrique en effet. c'est pas ce qu'on attend mais au moins c'est faisable.

Par contre, la formule que tu utilises pour trouver l'argument ne marchera pas car connaitre les valeur de cosinus et sinus de Pi/12 je te souhaite bien du courage.

Par contre connaître l'argument de Z en fonction des argument de z₁ et z₂, c'est déjà plus faisable non ?

Argument de z₁ = Pi/3
Argument de z₂ = Pi/4

Ya pas un jeu avec le 4 et le 3 car 4 *3 = 12?

A quoi est égale Argu(z₁/z₂) en fonction de Arg(z₁) et Arg(z₂) ?

Argu(z₁/z₂) = Arg(z₁) - Arg(z₂)


Argument de z₁ = Pi/3
Argument de z₂ = Pi/4

Argu(z₁/z₂) = Arg(z₁) - Arg(z₂)
Argu(z₁/z₂) = Pi/3 - Pi/4 = 4Pi/12 - 3Pi/12 = Pi/12

Nickel!!

Donc la question 2) est nickel et la question 3) est bien une déduction de la question 2) vu qu'on a:

|Z|*Cos(Arg(Z))= Re(Z) et |Z|*Sin(Arg(Z))=Im(Z)

Donc ne déduit ce qu'on veut à l'aide de la forme algébrique de Z.

Maintenant pour la dernière question toujours pas d'idée aprsè avoir revus quelque propriété sur les arguments et les modules ?

1. Je trouve désormais ceci :



2.
Pour z₁, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(2))² + (Racine(6))² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = Racine(2) / [2Racine(2)] = 1/2
sin(Têta) = y/r = Racine(6) / [2Racine(2)] = Racine(3)/2

--> Le module de z₁ est 2Racine(2) et son argument est Pi/3.




Pour z₂, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 2² + 2² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2
sin(Têta) = y/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2

--> Le module de z₂ est 2Racine(2) et son argument est Pi/4.




Pour z₃, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]² + [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]² ] = Racine(16/16) = Racine(1) = 1 [désolé, c'est condensé mais, comme ça colle avec la question 3, c'est forcément bon il me semble.

cos(Teta) = x/r = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4] / 1 = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4].
sin(Teta) = y/r = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4] / 1 = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4].

--> Le module de Z est donc 1 et son argument est :
Argu(z₁/z₂) = Arg(z₁) - Arg(z₂)


Argument de z₁ = Pi/3
Argument de z₂ = Pi/4

Argu(z₁/z₂) = Arg(z₁) - Arg(z₂)
Argu(z₁/z₂) = Pi/3 - Pi/4 = 4Pi/12 - 3Pi/12 = Pi/12



3)
cos(Pi/12) = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]
sin(Pi/12) = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]

4) La figure est faite.

5) Z₂₀₀₇... Je pourrais peut être me servir de ceci :
mais, avec z²⁰⁰⁷, ça risque d'être laborieux...

Bonsoir,

Le but est plutôt de chercher le module et l'agurment de Z₂₀₀₇ en fonction du module et de l'argument de Z. Comme ça on pourrait déduire la forme trigonométrique de Z₂₀₀₇ et donc ça forme algébrique en calculant les cosinus et les sinus.

Bon courage!

Module de Z₂₀₀₇ = module Z que je met à la puissance 2007?

C'est tout à fait ça pour le module!

Le module d'un complexe mis à une puissance est bien égale à la puissance du module de notre complexe.

Et pour l'argument de Z²⁰⁰⁷ par rapport à l'argument de Z?

Donc pour le module :

Le module de Z étant 1, le module de Z²⁰⁰⁷ sera de 1²⁰⁰⁷ = 1

Citation :

Et pour l'argument de Z²⁰⁰⁷ par rapport à l'argument de Z?

L'argument de Z est Pi/12 mais, là je ne pense pas que ça change...

Si le module de Z est Pi/12, le module de Z²⁰⁰⁷ sera égale à ???

L'argument tu veux dire.

(Pi/12)²⁰⁰⁷?

Ha non ça ne passe pas ça.

L'arguement de Z*Z c'est ?

Donc l'agument de de Z*Z..*Z (2007 fois) c'est ?

Argument de Z * Z = Arg(Z) * Arg(Z) = (Pi/12) * (Pi/12) = Pi²/144

Donc ArgZ²⁰⁰⁷ = (Pi²/144)¹³⁰ + Pi/12

Bonsoir,

On avait rappelé un peu plus haut que Arg(Z₁/Z₂)=Arg(Z₁)-Arg(Z₂)

Or ici tu marques que Arg(Z*Z)=Arg(Z)*Arg(Z)

Je ne trouve pas celà très cohérent .

Il y a deux propriétés à savoir sur les arguments:

Arg(Z₁*Z₂)=Arg(Z₁)+Arg(Z₂)
Arg(1/Z)=-Arg(Z)

A aprtir du là que vaut Arg(Z²⁰⁰⁷) en fonction de Arg(Z)?

Ah... J'ai pas fait gaffe pourtant je le sais...

Argument de Z * Z = Arg(Z) + Arg(Z) = (Pi/12) + (Pi/12) = 2Pi/12

Arg(z²⁰⁰⁷) = Arg(z[zup]2005[/sup]) + Arg(z²)

Mais après, je pense que je dois encore décomposer 2005 mais je ne bloque littéralement

Tu as donc trouvé que Arg(Z*Z)=2*Arg(Z)

Arg(Z²*Z)=Arg(Z²) + Arg(Z)= 2*Arg(Z)+Arg(Z)=3*Arg(Z)
.
.
.
Arg(Z²⁰⁰⁷)= ?

Arg(Z*Z)=2*Arg(Z)

Arg(Z²*Z)=Arg(Z²) + Arg(Z)= 2*Arg(Z)+Arg(Z)=3*Arg(Z)

Arg(Z²⁰⁰⁷) = Arg(Z² * Z²⁰⁰⁵) = 2Arg(Z) + 2005Arg(Z) ???

En effet, on montre par récurrence que Arg(Zⁿ)=n*Arg(Z)!

Donc maintenant, tu vas pouvoir calculer, le module et l'argument de Z²⁰⁰⁷ et ainsi en déduire sa forme trigonométrique.

Bon courage!

Z₂₀₀₇ :

Je sais que le module de Z est 1 donc :
Le module de Z²⁰⁰⁷ est 1²⁰⁰⁷ = 1 car :
"Le module d'un complexe mis à une puissance est bien égale à la puissance du module de notre complexe."

Maintenant, reste à trouver son argument :

Je sais que :


DONC :
Arg(Z²⁰⁰⁷) = 2007 * Arg(Z) avec Arg(Z) = Pi/12
Arg(Z²⁰⁰⁷) = 2007Pi/12 que l'on peut simplifier :

Problème, je sais qu'il faut trouver une mesure plus facile mais, je ne vois pas comment faire à par retirer 2Pi à chaque fois...

Je trouve Pi/12 en soustrayant 2Pi à chaque fois mais, ça me semble long comme méthode...