Exercice cercle trigonométrique et affixes

Bonsoir,

Les méthodes sont bonnes maintenant et l'ultime méthode est juste aussi. En effet, lorsqu'on a un argument sahcant que le cosinus et le sinus sont 2*Pi périodique, on va donc pouvoir réduire la valeur de notre argument.

Pour cela, on sait qu'on doit écrire notre argument sous la forme m + k*2*Pi avec k un entier et m un réel.

Sachant que notre argument vaut pour l'instant: 2007*Pi/12, pour trouver la forme ci-dessus, cela revient donc à faire la division euclidienne de 2007 par 24.

En effet, si je fais cette division euclidienne de façon formelle, je trouve l'existence de deux entier q et r tels que 2007=q*24 + r avec r<24

Donc notre argument deviendrait: 2007*Pi/12= q*24*Pi/12 + r*Pi/12= q*2*Pi + r*Pi/12 et nous avons ainsi la forme voulue.

Donc la division euclidienne est: 2007=83*24 +15

Donc 2007*Pi/12= 83*2*Pi + 15*Pi/12= 83*2*Pi + 5*Pi/6

Par concéquent, Arg(Z²⁰⁰⁷)=5*Pi/6 modulo 2*Pi

Est-ce plus clair au niveau de la simplification d'un argument modulo 2*Pi? Ici vu qu'on divisait par 12, c'est pour cela qu'on effectuait la division euclidienne de 2007 par 2*12 vu qu'on veux voir apparaître 2*Pi à la fin.

Conclusion, quelle est la forme trigonométrique de Z²⁰⁰⁷? Déduire sa forme algébrique.

Bon courage!

1. Je trouve désormais ceci :



2.
Pour z₁, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(2))² + (Racine(6))² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = Racine(2) / [2Racine(2)] = 1/2
sin(Têta) = y/r = Racine(6) / [2Racine(2)] = Racine(3)/2

--> Le module de z₁ est 2Racine(2) et son argument est Pi/3.




Pour z₂, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 2² + 2² ]
r = Racine(8) = 2Racine(2).

cos(Têta) = x/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2
sin(Têta) = y/r = 2 / [2Racine(2)] = Racine(2)/2

--> Le module de z₂ est 2Racine(2) et son argument est Pi/4.




Pour z₃, je trouve :

r = Racine[ x² + y²] = Racine[ [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]² + [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]² ] = Racine(16/16) = Racine(1) = 1 [désolé, c'est condensé mais, comme ça colle avec la question 3, c'est forcément bon il me semble.

cos(Teta) = x/r = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4] / 1 = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4].
sin(Teta) = y/r = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4] / 1 = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4].

--> Le module de Z est donc 1 et son argument est :
Argu(z₁/z₂) = Arg(z₁) - Arg(z₂)


Argument de z₁ = Pi/3
Argument de z₂ = Pi/4

Argu(z₁/z₂) = Arg(z₁) - Arg(z₂)
Argu(z₁/z₂) = Pi/3 - Pi/4 = 4Pi/12 - 3Pi/12 = Pi/12



3)
cos(Pi/12) = [(Racine(2) + Racine(6)) / 4]
sin(Pi/12) = [ (Racine(6) - Racine(2)) / 4]

4) La figure est faite.

5) Z₂₀₀₇ :

Je sais que le module de Z est 1 donc :
Le module de Z²⁰⁰⁷ est 1²⁰⁰⁷ = 1 car :
"Le module d'un complexe mis à une puissance est bien égale à la puissance du module de notre complexe."

Maintenant, reste à trouver son argument :

Je sais que :


DONC :
Arg(Z²⁰⁰⁷) = 2007 * Arg(Z) avec Arg(Z) = Pi/12
Arg(Z²⁰⁰⁷) = 2007Pi/12 que l'on peut simplifier :

Il faut écrire l'argument sous cette forme :



Je comprends le fait que l'on veuille 2Pi à la fin mais, pourquoi par 24... Désolé, j'ai lu et relu et je vois pas pourquoi...

Plus précisément pourquoi par 24??

Parce qu'on m'a donné une méthode qui fait comme ceci :

2007Pi/12 =-->??

2007 = 167 * 12 + 3 donc 3Pi/12
167 = 83 * 2 + 1 donc Pi

Donc : 3Pi/12 + 12Pi/12 = 15Pi/12 = 5Pi/4

Bonjour,

Ta méthode est tout à fait juste en fait mais comprends-tu ce que tu fais dans cette méthode?

Je pose cette question car en fait, le 24 apparaît aussi dans ta méthode sauf que tu ne le vois pas au premier abord. En effet, tu fais une division euclidienne de 2007 par 12 ce qui te permet de pourvoir écrire:

2007*Pi/12= 3Pi/12 + 167*Pi

Puis tu effectues une division euclidienne de 167 par 2, ce qui te permet d'écrire:

2007*Pi/12= 3*Pi/12 + Pi + 83*2*Pi

Donc 2007*Pi/12=5Pi/4 + 2*k*Pi avec k=83


Mais si je remets les deux divisions euclidienne en une seule, je trouve:

2007=167*12+3=(83*2+1)*12 + 3

Donc 2007= 83*24 + 12 +3

D'où 2007=83*24+15

En fait, on effectue toujours une division euclidienne de la constante multiplicative du numérateur par deux fois le dénominateur. Ce qui permet de trouve tout de suite la forme a + 2*k*Pi. Mais sinon ta méthode est tout à fait juste aussi après la difficulté réside dans la rédaction de ta méthode car rédigé ainsi cela parait plutôt flou même si la réponse finale est juste.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

D'accord!
Merci pour ces précisions et pour tout en tout cas car cette méthode de simplification était totalement floue pour moi!

Donc, je divise toujours par 2 fois la valeur du numérateur!

C'est tout à fait ça!

Pour trouver la simplification modulo 2*Pi d'une expres​sion(je parle de modulo car je sais que tu fais Spé Maths bien entendu ): t*Pi/s

Il suffit d'effectuer la division euclidienne de t par 2*s. En effet, il existe deux entier q et r tel que t=q*2s +r avec |r|<2*|s|

Donc t*Pi/s= (q*2s+r)*Pi/s= q*(2s)*Pi/s + r*Pi/s

D'où t*Pi/s=2*q*Pi + r*Pi/s (en simplifiant par s dans le premier terme)

C'est une démonstration un brin théorique mais tout de même très accessible je trouve et au moins elle a le mérite de montrer concrètement d'où viennent les choses.

Bon courage pour la suite!

D'accord!
Quand même compliqué au premier abord..