Différentes questions

Bonjour, je suis en pleine révision pour le bac et je chercher vraiment à m'améliorer.
Les mathématiques ne sont vraiment pas mon fort et je le déplore.

J'ai juste besoin de petites clarifications.

Comment faire pour étudier le sens de variation d'une fonction ?
Par exemple du type : f(x) = 1/x+3 - 2x

Est ce que ça se résume juste à chercher sa dérivé et appliquer le théorème qui convient ?

Parce que si je le fais, j'obtiens pour dérivé f'(x) = -1/(x+3)² - 2, et là j'en fais quoi ?
De quoi va dépendre le signe de la dérivé ?

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Ensuite concernant les statistiques à deux variables, lorsque j'ai un nuage de point, et que je veux appliquer la technique des moindres carrés, on me demande de placer Mi et Pi, sauf qu'il n'est mentionné nul part dans ma leçon à quoi ils correspondent...

Est ce juste deux points M et P quelconque ?

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Et pour finir, j'ai jamais vraiment compris comment à partir la courbe d'une fonction sur un graphique on pouvait en déduire une équation.
Si quelqu'un pouvait m'expliquer.

Merci, vraiment ça m'aiderait beaucoup.

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

J'espère que ce forum t'apportera ce que tu es venu y chercher en tout cas et bon courage pour tes révisions (car il en faut!).


Sinon, pour une étude de fonction, le but est toujours de trouver les variations de la fonction ainsi que les limites au bord d l'intervalle de définition.
Donc, la première chose à faire c'est déterminer l'ensemble de définition de la fonction ainsi que son ensemble de dérivation. En effet, si on souhaite travailler sur la fonction c'est à dire calculer des limites, sa dérivée et déduire le signe de celle-ci, il va d'abord savoir dans quel ensemble nous allons travailler.

Ne pas prendre ne serait-ce que 2 minutes pour cela reviendrait pas exemple à vouloir conduire une voiture sans avoir de route. Cela n'aurait pas de sens et bien ici c'est le même principe, pour "piloter" la fonction (c'est à dire déduire des propriétés sur celle-ci), il faut commencer par savoir sur quel route, nous allons avancer (c'est à dire mettre en évidence l'ensemble de définition de notre fonction ainsi que son ensemble de dérivation).

Après cela, nous savons sur quel ensemble notre fonction F est dérivable et nous pouvons donc expliciter F'(x) sur cet ensemble.

Ensuite que faire? Et bien le but est toujours de trouver le sens de variation de la fonction c'est à dire savoir sur quels intervalles la fonction va être croissante ou décroissante. Pour se faire, nous disposons du lien entre les variations d'une fonction et le signe de la dérivée.

En effet, que représente le réel F'(x) pour un x donné dans l'ensemble de dérivation?

Cela représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la fonction F. Ainsi, géométriquement (on peut au moins savoir de l'intuition à défaut de connaître la démonstration théorique c'est à dire savoir retrouver sur un dessin les choses essentielles), si le coefficient directeur est positif, la tangente sera croissante et donc la courbe aussi. De même, si le coefficient directeur est négatif, cela signifie que la tangente est décroissante et donc que la fonction aussi.

Petit rappel: la tangente à une courbe c'est une approximation de la courbe sur un intervalle très petit. En effet, une courbe si on zoom très près d'une toute petite portion et bien celle-ci va paraître comme un petit segment de droite.

Donc à partir du moment où tu as explicité F'(x), il ne reste plus qu'à chercher son signe en fonction des valeurs de x. C'est pour cela d'ailleurs, qu'il est primordiale de savoir dans quoi vit le réel x. L'idée le plus souvent c'est de faire un tableau de signe (c'est la méthode la plus sécurisante lorsqu'on ne voit pas d'astuce pour déduire le signe directement).

Pour conclure,i l ne restera plus qu'à calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition (d'où tout l'intérêt de bien avoir expliciter cet ensemble!).


Est-ce que c'est plus clair ainsi? Sinon, n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose restait flou ou si ce que j'ai dit n'est pas limpide.

Enfin, pour gagner en cohérence, serait-il possible que tu parles des statistiques dans un autres sujets et de même pour la détermination des équations d'une courbe à partir de son graphique (si tu avais un exemple pour l'équation de la courbe d'ailleurs à mettre pour savoir exactement sur quoi je dois m'engager cela me faciliterait la tâche et surtout rendrait plus clair et plus direct l'aide apportée je pense)

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

Je ne saurai te remercier assez pour l'attention que tu as porté à ma question. Je t'en suis vraiment reconnaissant.

J'ai compris, et j'en suis content.

Donc d'abord avant de calculer la dérivé, il faut ( lorsqu'il n'est pas donné dans l'énoncé ) chercher l'ensemble de définition.
C'est ensuite que je pourrai étudier le sens de variation à l'aide de ma dérivé.

Viens maintenant la question de savoir comment est ce qu'a partir d'une fonction je peux en déduire son domaine de définition. Prenons par exemple : f(x) = 1/x+2 - 3 + 4x.

Ensuite, tu m'a parlé d'un tableau de signe. J'ai jamais su en faire un. Je peux faire un tableau de variation sans problème à partir d'un graphique, mais je galère vraiment pour les tableaux des signes.
J'aimerai bien que tu m'apprenne, si ce n'est pas trop demandé.
Tu n'a qu'a prendre l'exemple de la fonction plus haut.

Si tu as compris, c'est l'essentiel pour moi en tout cas.

Bon j'avoue que j'ai un côté un peu sadique sur les études de fonctions. Pourquoi? Car lorsqu'on demande d'étudier une fonction, on ne pose jamais la question de l'ensemble de définition et je trouve cela plutôt aberrant car on par donc du principe que vous avez pigé la démarche dans les moindres détails ce qui n'est pas le cas le plus souvent. La question que tu poses le prouve en soi mais surtout, je suis sûr et certain qu'avant même que je parle d'ensemble de définition et d'ensemble de dérivation, cela ne te posait aucun problème de dériver la fonction de façon tout à fait formelle (après tout c'est du calcul allons-y gaiement). Et c'est là le soucis en soi.

Je vais prendre un exemple simple de l'utilité d'un ensemble de définition. Soit F une fonction définie sur [0;1] par pour tout x dans [0;1], F(x)=x-1. Admettons en gros qu'on est dans le cas d'un problème de géométrie et que x est une distance entre deux points dont l'un varie sur un segment de longueur 1cms par exemple. Ainsi, la distance varie bien de 0 à 1 et x est bien dans cette ensemble.

Or la fonction si je la sors de son contexte, elle est définie pour toute les valeurs de R. En effet, il s'agit d'une fonction affine (dont la représentation est une droite). Donc F(5) a un sens et cela vaut 4 par exemple. Cela a un sens de façon formelle oui mais dans l'exemple que je propose cela n'a aucun sens!! En effet, la fonction n'est pas définie en 5 car notre point doit rester sur le segment tout simplement. C'est une contrainte lié à mon exemple.

bon j'avoue que mon exemple est un peu sorti du chapeau mais il faut savoir que lorsqu'on étudie un problème concret, nous sommes amenés à considérer des contraintes de ce type là. Et donc faire des raisonnements calculatoire car on peut faire des calculs n'a aucun sens si nous ne savons pas à la base sur quoi nous travaillons c'est à dire qu'elles sont les contraintes que nous avons. Ce qu'on appelle en mathématiques, les hypothèses liées au problème.

En espérant t'avoir convaincu de l'utilité non négligeable de bien poser les choses et donc de mettre en évidence l'ensemble de définition d'une fonction ainsi que son ensemble de dérivation (qui est souvent le même d'ailleurs mais le préciser prend 2s et cela suffit à ne pas faire de bêtises par la suite).

Alors maintenant, entrons dans le vif du sujet et je vais te faire travailler un peu (après tout j'écris beaucoup de trop, c'est anti pédagogique au bout d'un moment ). Avant même de chercher l'ensemble de définition de la fonction que tu proposes (essaie de mettre des parenthèses pour savoir ce qui joue le rôle du dénominateur d'ailleurs car sinon, il risque d'y avoir des quiproquo et la notion n'est pas des plus simple à mettre ne place donc évitons de ne pas se comprendre à cause de petits détails liés à la typographie).

Donc, qu'est-ce qu'un ensemble de définition d'une fonction F? Par exemple, j'appelle I cette ensemble, quelle(s) propriété(s) caractérise cette ensemble de définition?

Nous verrons les tableaux de signes par la suite (chaque chose en son temps, déjà on trace la route après, on regardera les panneaux de signalisation )

Bon courage!

Si je devais donner la définition d'un domaine de définition, je dirai que c'est un ensemble de valeurs pour lesquelles la fonction f(x) ne s'annule pas.

Donc logiquement si j'ai la fonction f(x) = x + 14, elle sera définit sur :

] - l'infini ; -14 [ U ] - 14 ; + l'infini [

Est ce que j'ai bon ?

Sinon pour l'exemple de la fonction plus haut, je la réécris avec les parenthèses

f(x) = 1/(x+2) - 3 + 4x.

Le dénominateur étant ( x + 2 ).

Donc en fait le soucis de compréhension ou plutôt d'application de la définition vient de ta mauvaise définition.

En effet, un ensemble de définition comme je le disais pas une métaphore au-dessus c'est la route sur laquelle tu as le droit de rouler. Ainsi, si je reviens au mathématiques, on dira que l'ensemble de définition d'une fonction, c'est l'ensemble des valeurs qu'à le droit de prendre x pour que f(x) est un sens.

Bon là, tu vas me dire, il est bien gentil mais "avoir un sens" c'est vague d'une part et d'autre part, ça n'a pas vraimetn de sens pour moi (ni pour moi d'ailleurs). Du coup que faire?

Et bien essayer d'écrire les choses autrement:

L'ensemble de définition de la fonction F c'est l'ensemble des valeurs de x telles que F(x) existe.

Déjà c'est un peu plus compréhensible et c'est la définition qu'on donnel e plus souvent. Mais le soucis ou plutôt le doute persiste. En effet, il n'y a pas de cours de logique à proprement parler au lycée (en fait si mais c'est saupoudré dans tous les chapitres et tellement dilué dès fois qu'on ne s'aperçoit même pas qu'on en fait) et du coup, la notion d'existence peut paraître flou. Dans le langage courant, exister c'est quoi? C'est être là enquelque sorte voire vivant si on se l'applique à nous même (bon on va pas faire de philo, faut pas déconner j'adore ça mais quand même; donc pas de digression sur le fait qu'on peut vivre dns forcément exister sinon, on en a pour des siècles ). Et d'ailleurs certains professeurs de mathématiques utilisent souvent l'expression "x vit dans quoi pour cette fonction?". Ce qui revient à donner l'ensemble de définition de la fonction (ou les contraintes/hypothèses sur les valeurs de x, tout dépend de l'exercice après tout).


Ainsi, la partie "F(x) existe" cela signifie que pour la valeur de x dans l'ensemble de définition de la fonction, x admet une image par F.

Et là, on entre furtivement dans le vocabulaire sur la fonction. Merde quel plait celui-là, entends-je d'ici. Mais non rien de compliquer, bien au contraire!

En effet, oublions les x 30s et regardons un exemple. F(x)=x+14 (c'est ton exemple). F(2) existe-t-il? Oui! Car 2 admet pour image par F, 2+14=16.

Dans le langage des fonction, F(x) cela désigne toujours "l'image de x par la fonction F". Et donc on a encore affiné notre définition d'ensemble de définition. ET là tout s'éclaire! Non? Alors explicitons, notre nouvelle définition:

"L'ensemble de défintion d'une fonction F est l'ensemble des valeurs qui admettent une image par la fonction F".

Là, on a fait disparaître le x de la définition mais "image par F", ce n'est autre que F(x) pour un x dans l'ensemble.

Par conséquent, l'ensemble de définition n'est autre que l'ensemble des valeurs que peut prendre la fonction sans avoir de problème. Mais quels genres de problèmes pouvons-nous avoir, tu vas me dire et de façon tout à fait logique d'ailleurs (encore de la logique mince, nous sommes cerné, elle est partout!).

Et bien, par exemple est-ce que la fonction 1/(x+2) est définie en -2 ? Justifie ta réponse et essaie de généraliser le problème rencontré ici.

Un autre problème? Est-ce que la fonction h(x)=√(2x-3) est définie en -1? Justife ta réponse et essaie de généraliser le problème rencontré ici.


Bon, je sais je pourrais faire plus court et plus direct mais après tout, le but étant que tu comprennes, j'essaie plutôt de m'adapter à une démarche à partir de tes propres connaissances par principe de essaie/échec c'est à dire que je propose une voie et si elle n'aboutit pas j'affine la voie et ainsi de suite pour que tu puisses suivre tout simplement la démarche que j'utilise ou qui te permettra de mieux comprendre la notion. En revanche, si quelque chose n'est pas compris ou difficile à comprendre (car ce n'est pas simple après tout), n'hésite pas à poser tes questions, je suis là pour ça après tout .

Bon courage!

J'ai aucun soucis avec tes méthodes, ça fait plaisir de voir qu'on est pas seul dans cette vaste galère que sont les mathématiques et que quelqu'un s'intéresse à nous, les laisser pour compte de l'algèbre ^^

Je viens de comprendre le problème de ma définition.

- Pour la fonction : 1/(x+2), je sais que j'ai pas le droit de diviser par zéro.
Donc comme -2 + 2 donne zéro. 1/(x+2) n'est pas définie en -2 car cela pose problème.

- Pour h(x)=√(2x-3) définie en -1 ou pas, je sais que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, et comme ( 2 x -1 ) - 3 = - 5, cela pose encore problème. Donc h(x) n'est pas définie en - 1 et sur toutes les valeurs négatives en général.

Donc si je devais généraliser, je dirai que le but est de chercher les valeurs de x pour lesquelles la fonction n'est pas définie.
Ainsi, par exemple, le domaine de définition d'une fonction Ln est + l'infinie car Ln n'est défini que sur les réels strictement positifs.

J'ai bon ?

Maintenant la question que je pose, c'est est ce qu'une fonction est defini sur un réel pour laquelle son image est zero ?
Je serai tenté de dire que oui, puisqu'en reprenant l'exemple du Logarithme Népérien, la fonction ln est définie sur + l'infini et pourtant elle s'annule en 1 ( ln(1) = 0 ).
Peux tu me confirmer ça ?

Aussi, que se passe t'il si il y a un dénominateur qui comprends deux x ? Lequel va prévaloir sur l'autre ?

Si j'ai tout bon, je pense que je commence à y voir beaucoup plus clair.

On peut passer au tableau de signe ou j'ai encore des choses à apprendre sur mon approche des domaines de définition ?

Alors c'est presque un sans faut sur mes deux questions. Pourquoi presque? Car là je reprend ma casquette de chieur qui pinaille sur le vocabulaire. Et oui, tu n'as jamais entendu ton/ta professeur(e) de mathématiques dire ces mots doux et soigneux: "Il ne faut pas confondre la fonction F avec le réel F(x)".

Et oui, F(x) est un réel s'il existe et sinon, il n'existe pas. En revanche, F est une fonction qui n'a donc rien à voir avec un réel. En gros, pour te donner une image mentale sur le sujet, je dirai que F(x) c'est un peu une serviette sur tes genoux à table alors que F c'est le fil qui a servi à fabriquer cette serviette. Donc ne pas confondre les deux, car en effet, il est difficile de s'essuyer la bouche avec un fil alors qu'avec une serviette c'est plus pratique .

Mais où est la confusion dans ce que tu as écrit? Et bien, elle est un peu/beaucoup de ma faute car j'ai écrit en toutes lettre l'erreur dans mon dernier message. Je corrige donc mon ignoble erreur (j'ai tapé un peu vite, je l'avoue) en reformulant mes deux questions:

Citation :

Et bien, par exemple est-ce que la fonction 1/(x+2) est définie en -2 ? Justifie ta réponse et essaie de généraliser le problème rencontré ici.

Un autre problème? Est-ce que la fonction h(x)=√(2x-3) est définie en -1? Justifie ta réponse et essaie de généraliser le problème rencontré ici.

Et bien, par exemple est-ce que la fonction x|-->1/(x+2) est définie en -2 ? Justifie ta réponse et essaie de généraliser le problème rencontré ici.

Un autre problème? Est-ce que la fonction h, définie par h(x)=√(2x-3) est définie en -1? Justifie ta réponse et essaie de généraliser le problème rencontré ici.

En effet, on parle de définition d'une fonction et d'existence d'un réel. Vu que c'est de ma faute en fait, mea maxima culpa donc. Mais il faut bien comprendre qu'on écrit que h n'est pas définie en -1 ou que h(x) n'existe pas pour x=-1 (mais c'est moins courant, autant utiliser la première). Si tu n'as pas bien saisi la nuance n'hésite pas à demander des précisions (c'est un peu la même chose pour les variation, on dira que la fonction F est croissante car c'est la fonction qui croît et le réel F(x) augmente).

Mais en tout cas, tu as généralisé les soucis que tu vas devoir gérer. C'est à dire:

- On n'a pas le droit de diviser par 0. Il faut donc exclure toutes les valeurs susceptible de créer ce problème là. ET donc, on enlève tous les point d'annulation des dénominateur lorsqu'il y a une fonction définie par une fraction de deux fonctions.

- Une racine est toujours positive. Il faudra donc exclure les valeurs de la fonction sous le radicale qui donnera des valeurs négative.

- Et le dernier point que je n'ai pas mis en exemple c'est la fonction logarithme népérien qui est définie que ]0;+Inf[. Il faudra donc exclure de les valeurs de x donnant une image négative ou nulle par la fonction contenue dans le logarithme népérien.


Je pense que cela est plus clair pour toi ou sinon n'hésite pas à demander.

Maintenant dans l'étude d'une fonction qu'elle est l'étape d'après? La dérivation! Et pour dérivée que nous faut-il? L'ensemble de dérivation pardi! Bon là, c'est plus simple à se souvenir, l'ensemble de dérivation d'une fonction c'est l'ensemble des valeurs de x telles que la limite du taux d'accroissement est finie. Dans les faits? C'est le même que l'ensemble de définition pour les fonctions que tu étudies sauf pour la racine carrée! En effet, nous n'avons pas le droit de diviser par 0, il faut donc exclure les termes qui annulerait ce qu'il y a sous la racine carrée en plus par rapport à l'ensemble de définition (cela vient du fait que la racine carrée est défini sur [0;+Inf[ mais dérivable sur ]0;+Inf[).

Est-ce que c'est clair jusque là?

Maintenant pour les tableaux de signes. Essayons de voir cela sur un exemple. Pourrais-tu trouver le signe de la fonction G(x)=(x+1)*(-2x+5)?

Bon courage!

C'est bon, j'ai compris ce qui concerne les ensemble de définitions ^^ Merci à toi.

Citation :

Maintenant pour les tableaux de signes. Essayons de voir cela sur un exemple. Pourrais-tu trouver le signe de la fonction G(x)=(x+1)*(-2x+5)?

D'après moi, il faudrait que je trouve pour quelles valeurs ce qu'il y a entre les parenthèses s'annule. Puis
x+1 s'annule pour x = -1 et -2x+5 s'annule pour x = 5/2.
Ce qui signifie que (x+1) sera positif pour tout x > -1 et négatif pour tout x < -1
(-2x+5) sera positif pour tout x < 5/2 et sera négatif pour tout x > 5/2 ( l'inverse du cas au dessus étant donnée qu'il y a un - devant la valeur x )

Mais à partir de là, c'est la panique. Est ce que c'est pas à partir de là qu'on commence à faire un tableau de variation ?

Je vais tenter à l'eau chaude l'élaboration d'un tableau des signes :
-------------------------------------
x | - l'inf -1 5/2 + l'inf |
x + 1 | - 0 + + |
-2x + 5 | + + 0 - |
-------------------------------------

Est ce que j'ai bon ? Est ce qu'il faudra pas que j'ajoute une ligne avec les deux membres, puis appliquer la règle des signes ? Ce qui donnerait :

(x+1)(-2x+5) | - + + - |

Bonjour,

Alors la méthode est tout à fait juste. Il y a juste une erreur à la fin. En effet, il n'y a que 3 intervalle ]-Inf;-1], [-1;5/2] et [5/2;+Inf[. Il n'y a donc pas conséquent que trois signes et tu en écris 4 ce qui doit être une faute d'inattention sans doute.

Par contre, on n'ajoute aucune ligne entre-elle. On multiplie (ou on divise d'ailleurs tout dépend des cas qu'on a à considérer) les facteurs entre eux et on applique la règle des signes.

Sinon, sais-tu d'où vient la déduction du signe de x+1 à partir du moment où on connaît le point d'annulation? Le plus souvnet, on le fait en routine en regardant le signe du coeffcient directeur qu iest 1>0 ici. Mais en cas de doute comment en faisant un dessin retrouver le signe à coup sûr?

En tout cas le tableau de signe est juste et la méthode est bonne. Et vu que les variations d'une fonction sot déduites à partir du signe de la dérivée. À partir du moment où on a trouver le signe, il ne reste plus qu'à faire le tableau de variation de la fonction.

Si tu as bien compris les choses et sait répondre à la question du dessus, essaie de reprendre la fonction de ton exemple et de commencer l'étude de celle d'après tout ce qu'on a dit.

Bon courage!

Citation :

Sinon, sais-tu d'où vient la déduction du signe de x+1 à partir du moment où on connaît le point d'annulation? Le plus souvnet, on le fait en routine en regardant le signe du coeffcient directeur qu iest 1>0 ici. Mais en cas de doute comment en faisant un dessin retrouver le signe à coup sûr?

Et non, justement ^^. Et je vois là où tu veux en venir. Si j'avais essayé de trouver le point d'annulation de 1/(x+3)² par déduction, j'aurai pas pu pour l'exemple de mon premier message. ( C'était pour la fontion f'(x) = 1/(x+3)² - 2 )

Donc je suis curieux de savoir, parce que çà à l'air cruciale.

Edit : Aussi, j'ai une autre question, il y a quelque chose qui me trouble.

Lorsque tu m'a demandé d'étudier le signe d'une fonction du type G(x) = ( a + b )*( A + B ), je n'ai eu aucun problème. Mais si la fonction implique une identité remarquable ça risque de devenir plus compliqué voir impossible d'en déduire le point d'annulation par déduction simple.
Est ce que çà à un rapport avec la question que tu m'a posé et que j'ai quoté dans ce message ?

Bonsoir,

En fait, pour trouver le signe d'une quantité de la forme a*x+b avec a non nul, il y a un autre moyen que d'apprendre par cœur le résultat. Il s'agit donc de pouvoir le retrouver en cas de trou de mémoire (ou pour libérer de la mémoire tout simplement ).

Le signe de a*x+b c'est quoi en fait? Si je pose y=a*x+b par exemple (et là, on voit bien arriver la notion en question je pense), le signe de a*x+b sera donc le signe de y en fonction de la valeur prise par x. Ainsi, il s'agit juste du signe des ordonnées des points de la courbe d'équation y=a*x+b.

Or que constatons-nous? Et bien, on sait depuis longtemps maintenant que la courbe d'équation y=a*x+b n'est autre qu'une droite qui a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b.

En conclusion, l'ordonnée sera positive si nous sommes au-dessus de l'axe des abscisses (respectivement négative au-dessous). C'est pour cela que la recherche du point d'annulation suffit pour déterminer le signe. Pourquoi? Car le point d'annulation, c'est autre que la valeur de x pour laquelle a*x+b=0 c'est à dire qu'il s'agit de l'abscisse du point d'intersection entre la droite et l'axe des abscisses!!! C'est donc exactement pour cette abscisse là que le signe de ma quantité change.

Enfin, le rapport avec le signe du coefficient directeur? Et bien si a>0, la droite est croissante c'est à dire qu'elle va aller des négatif vers les positifs tout simplement. Et réciproquement si a<0, alors la droite est décroissante et donc va aller des positifs vers les négatifs (je parle du signe des ordonnées car c'est cela qui nous intéresse bien entendu).

Est-ce que cela est plus clair?

Pour les fraction c'est le même principe que pour les multiplication de facteurs. C'est à dire qu'on détermine le signe du numérateur et du dénominateur vu que la règle des signes reste tout à fait conservée pour les fractions (car les fraction ne sont que des multiplications en fait: A/B=A*(1/B) et le signe de 1/B c'est le signe de B tout simplement).

Bon courage!