Matrices/linéarité diverses questions

Bonjour,

Voici plusieurs petites questions liées à des problèmes de DM:

questions diverses a écrit:

1) Soient U et V 2 matrices colonnes non nulles de M_n1(R).
On pose A=U^tV.
J'ai un doute, mais la matrice A est bien carrée de taille n ?

2) Dans un exo, on a définit t un endomorphisme du R-espace vectoriel R²ⁿ⁺¹ muni de sa base canonique (e₁,...,e_2n+1).
Pour tout i entier dans [1,2n+1] où i différent de n+1: t(e_i)=e₁.
t(e_n+1)= e₁+...+e_2n+1

Et on me demande dans une question: montrer que u=t|_Im(t) induit un endomorphisme de Im(t).

J'avoue que je comprends pas trop la question... C'est pas évident que c'est un endomorphisme ? t est linéaire, et par définition l'ensemble de départ de u est Im(t), et l'ensemble d'arrivée est Im(u) qui est inclu dans Im(t) non ???

Voilà, j'aurais besoin de quelques éclaircissements...

Bonne soirée,

Nakor.

Bonsoir,

Pour la première question, je ne peux y répondre de façon brute. En effet, il y a deux convention pour l'écriture de la transposition qui sont:

A^t et ^tA

Pour ma part, je préfère la deuxième notation qui est à mon sens plus cohérente sur le fait que ^t: M_n,p ---> M_p,n est une fonction. Mais bon, les deux notations étant utilisé, il va falloir préciser les choses pour que je puisse affirmer si la matrice dans M_n(R) ou dans M₁(R) (c'est à dire un scalaire).


Pour ta deuxième question, elle n'a pas grand intérêt en effet. Il faut par contre rappeler la propriété qui permet de déduire directement le résultat c'est à dire que Im(t) est un sous espace stable pour t ce qui est tout à fait le cas comme tu l'as écrit. Pour ma part c'est une définition-proposition car en effet, elle se démontre de façon triviale en remontrant que la restriction est bien linéaire tout simplement.

Bon courage!

Ok merci pour la 2e, je comprends pas d'habitude il faut réfléchir un minimum dans ses DMs...^^

Pour la 1ere, on a toujours noté la transposée ^tA.

La premièe question de l'exo est: Quel est le rang de la matrice A ? Montrer que ^tVU=tr(A).

D'accord pour la transposée.

Donc, il faut regarder les dimensions de façon simple. Je t'ai d'ailleurs rappeler les ensembles pris en compte pour la fonction transposition. Ainsi, ^tV sera dans M_1,n(R). Ce qui je pense répond à ta question sur la taille de la multiplication. En effet, on multiplie de gauche à droite une ligne par une colonne ce qui donne au finale que si la multiplication est possible (c'est à dire même nombre de colonne pour la première que de ligne pour la deuxième), la taille est la juxtaposition des ligne du nombre de ligne de la première par le nombre de colonne de la deuxième. Il suffit de poser les calcul pour s'en convaincre à la rigueur.

Pour la suite de tes question, le rang, il faut regarder les opération que tu auras fait lors du calcul de A. Et pour la multiplication des deux matrice, il faut dans un premier temps montrer qu'il s'agit bien d'un scalaire (car Tr(A) est un scalaire) puis ensuite effectuer le calcul de ce qu'il y a à gauche et de ce qu'il y a à droite pour s'apercevoir qu'il s'agit de la même chose (il y a même un moyen directe de l'écrire en explicitant ce que vaut Tr(A) d'ailleurs à l'aide de U et V).

Bon courage!

Donc c'est bien une matrice nn (une colonne par une ligne)... Parce qu'un de mes camarades croyait dur comme fer à une matrice 11 du coup je doutais...

Pour la suite de la question, j'ai dit que U=(x1,...,xn) et V=(y1+...+yn) (en colonnes bien sur) et j'ai posé le calcul.
On remarque en effet que la somme des éléments diagonaux de A est égale à ^tVU (qui est une matrice 11, donc un scalaire).

Pour le rang de la matrice A, je sais pas trop ce qu'on attend... On remarque que la matrice A s'écrit y1*U+y2*U+...+yn*U, donc le rang de A dépend de la famille (y1,...,yn) non ?

Il faut regarder quelles colonnes sont linéairement indépendantes, mais tout ça dépend de la famille (y1,...,yn)... Comme cette famille est non nulle, rg(A)>0.

J'ai dit que rg(A)=dim(Vect(y1,...yn)) mais je suis pas sur, et surtout je sais pas trop si c'est ce qui est attendu...

question 2 a écrit:

2) Exprimer A² en fonction de A. En déduire A^p pour p>0.

J'ai trouvé que A²=tr(A)*A, puis en résonnant de proche en proche j'ai trouvé que A^p=tr(A)^p-1*A. C'est juste ?

question 3 a écrit:

3) On suppose tr(A) différent de -1. Montrer que M=A+I est inversible et calculer M^-1 en fonction de M, tr(A) et I.

Là, dans ma tête c'est toujours un peu flou pour trouver les inverses de matrice. Vu qu'on nous a demandé de calculer A^p, j'ai essayé de trouver un polynôme annulateur de M mais je suis un peu perdu.

Bonjour,

C'est bien une taille n*n en effet. Sinon, A n'est pas égale à y1*U+y2*U+...+yn*U mais c'est peut-être un problème de notation en fait. Car si on veut réellement l'écrire, on écrira plutôt ceci: A=(y1*U|y2*U|...|yn*U) car y_i*U c'est une colonne de A (l'addition que tu présentais est de taille 1*n alors que A est une matrice carrée).

Sinon, pour le rang c'est ok. Car en effet, le rang des colonnes va bien être égale à la dimension de l'espace vectoriel engendré par les y_i (il suffit d'extraire une base de ses sev pour s'en convaincre que lorsqu'on regarde la liberté de la famille les coordonnées de U vont se simplifier t pour l'engendrement de cette base, les coordonnées de U vont être mis en facteur donc pas d'influence dans les calculs).

Pour la puissance p^ième c'est nickel! Suffit de le démontrer par récurrence à la rigueur.

Pour la dernière question, sachant qu'on a déjà calculer A^p ne pourrait-il pas être intéressant d'écrire à l'aide de M de I cette puissance de A?

Bon courage!

Bonsoir,

alors je ne suis toujours pas arrivé à résoudre cette question. A vrai dire, je ne comprends pas trop ton indice. En fait ce que je ne comprends pas, c'est comment je peux m'aider du calcul de A^p... J'ai essayé de faire intervenir M dedans mais je n'arrive pas...

Alors on a M=A+I

Mais à partir de là, on peut dire que A=M-I c'est à dire du coup que A^p=(M-I)^p

Nous savons déjà que A^p=Tr(A)^p-1*A=Tr(A)^p-1*(M-I)

Du coup, peut-être se ramener à M*B=I avec un B qui ne dépend que de M, Tr(A) et I?

Je ne sais pas s'il n'y a pas plus simple pour trouver l'inverse mais bon sauf erreur, j'ai abouti ainsi avec un B qui contient une somme de puissance de M, de Tr(A) et de I ce qui est demandé.

Bon courage!

Oui j'avais déjà essayé ça, mais je n'ai abouti... En fait ce que je comprends pas, c'est pourquoi on utilise la puissance p ?

Si on écrit A²=tr(A).A et qu'on remplace, on a (M-I)²=tr(A).(M-I), puis M²-M.(2+tr(A))=I.(-tr(A)-1) puis M.B=I, avec B=(-1/(tr(A)+1)).(M-(2+tr(A))I) non ?

Enfin comme je crois que l'inverse est censé être unique, je me dis qu'il y a un problème quelque part c'est pour ça...

Ha oui en effet la puissance p n'est pas utile j'ai cherché un peu trop compliqué j'avoue.

Alors pourquoi, on ne voit pas l'unicité car en effet pour chaque puissance, on explicite une matrice qui ont toutes l'air d'être différentes les unes des autres. Je ne sais pas pour l'instant.

Quelles sont les questions suivantes? Pour voir, où nous souhaitons ne venir dans tout ceci.

Bon courage!

Alors il reste une question, qui est en quelque sorte une réciproque de la question 3:

question 4 a écrit:

On suppose que M est inversible. Montrer que tr(A) différent de -1.

Sinon, tjs pour la question 3, on peut montrer que M est inversible autrement qu'en explicitant l'inverse ?
En fait je pense que si M est inversible, y'a pas mal de trucs qui peuvent se simplifier puisqu'on peut jouer avec A^p et sa trace.

Alors attend, je reprend car je fatigue un peu et j'ai dû mal à me mettre dedans pour le coup.

Je pense qu'on va pouvoir améliorer les choses pour les questions antérieurs ou plutôt sur la question du rang. En effet si, on suppose que V est non nul, il existe donc un i tel que v_i soit non nul, on peut donc dire que pour tout j dans [|1;n|], v_j*U=(v^j/v_i)*v_i*U. Ainsi, toutes les colonnes sont liées. On en déduit donc que rg(A)=1.

Est-ce que ça, ça va? Je m'était planté tout à l'heure sur car il suffit juste qu'un seul des v_i soit non nul pour conclure t il n'y a donc pas de lien avec la dimension du sous espace vectoriel engendré par les v_i.

Mais alors il y a quand même un lien avec la dimension de Vect(v1,...,vn) non ? Parce que (v1,...,vn) est une famille constituée de vecteurs de R, et que R est de dimension 1, donc forcément cette famille est liée et au maximum de dimension 1. Comme elle est non nulle elle est de dimension 1.

Ou je dis n'importe quoi ?

Bonjour,

Les idées plus claires, je reprend un peu les choses.

Donc, ici, nous avons un sous espace vectoriel de R et vu qu'il y a un des réels non nuls, sa dimension est bien 1 en effet.

On peut aussi aller plus vite que de passer par le sev en disant que vu que U et V son non nuls comme tu l'as dit rg(A)>0 et de plus chaque colonne est proportionnelle à U ce qui signifie bien que toutes les colonnes sont liées et donc que rg(A)=1.

Maintenant, que se passe-t-il lorsqu'on ajoute I à A? Quel est le rang de M?

Bon courage!