Domaine de définition [1ère S]

Bonjour,
voila j'ai un "petit" problème... Il se trouve que j'ai complètement raté mon année de première en maths, or j'ai tout de même demandé à passer en terminale. De ce fait je me suis concocté un programme pour les vacances d'été afin de me rattraper. Le problème c'est qu'au fur et à mesure que j'avance, je me rends compte que j'ai de grosses lacunes qui semble venir du fin fond de la troisième....
Alors voila, je me retrouve avec ça :

Donnez les ensembles de définitions pour
f(x)=x/[(x-1)(x+1)}
g(x)=√(9-x²)

Pourrait-on m'expliquer comment définir un ensemble et quel est sa fonction svp ? Ce serait vraiment sympa, car en galère totale...

Bonjour et bienvenue parmi nous!

Faire un planning de révision durant les vacances est tout à ton honneur(rare sont ceux qui le font et qui en aurait pourtant bien besoin). Après, avoir fait un forcing poru le passage, l'avenir nous dira si cela a été judicieux ou pas (tout dépend du nombre de matière tangente cette année après tout car s'il n'y avait que les mathématiques, il ne s'agit pas réellement d'un forcing après tout et c'est rattrapable).

Alors pour les ensembles de définition c'est vu en seconde donc ce n'est pas encore du fin fond de la troisième même si on commence à en parler en troisième mais très vaguement sans rien définir. Donc ce n'est pas un si gros retard.

Cependant, il s'avère que la notion d'ensemble de définition est centrale dans toute la partie fonctionnelle. Donc tu as eu une réaction plutôt logique en butant sur cette notion et en te disant que tu ne comprenais plus rien. Car en effet sans l'assimilation de cette notion, on ne peut pas comprendre grand chose dans cette partie du programme (de mon point de vue en tout cas car il s'avère que certains peuvent passer outre en apprenant par cœur des résultats mais ce n'est pas du tout formateur en soi d'une part et d'autre part, sur le long terme cela ne sert à rien).

Alors pourquoi la notion d'ensemble de définition d'une fonction est si prédominante en mathématiques et surtout pour les fonctions?

Et bien essayons de voir une analogie un peu simpliste mais qui va te faire comprendre l'utilité de cette notion, je pense. Prenons une voiture. Que nous faut-il pour utiliser une voiture?

- Un clé
- Savoir conduire (code, maniement de la voiture, respect des règles...)

Est-ce tout?

Et bien non, il manque deux choses très importantes:

- Du carburant !

et surtout:

- Une route !!

Et oui sans carburant la voiture n'avance pas et sans route on ne risque pas d'aller bien loin avec une voiture.

Quel rapport avec une fonction et son ensemble de définition? Et bien la fonction a elle aussi besoin de "carburant" et de "route" pour fonctionner.

Alors qu'est-ce qu'il nous faut exactement?

Une fonction ce n'est autre qu'une relation entre deux ensembles en fait. En effet, on définit une fonction en donnant une relation F sous la forme y=F(x) pour des x et des y dans des ensembles donnés. Jusque là est-ce que cela reste compréhensible?

Donc en fait que fait la fonction F? Elle associe à une élément x un autre élément y. Plus concrètement, prenons un exemple. On peut dire qu'à un élève d'une classe, elle associe son meilleur ami par exemple. On constate ici que j'ai parler de "son" meilleur ami car en effet, une fonction associe à x une seule valeur y au maximum (on n'a pas le droit d'avoir deux valeurs y₁ et y₂ pour une seule valeur de x donné). C'est à dire que soit, il en a un et il est unique soit il en n'a pas de meilleur ami.

J'espère que le parallèle reste plutôt cohérent.

Maintenant, le lien entre la route et le carburant pour la fonction?

Et bien, on a parlé d'ensemble dans lequel on considérait l'objet x (sur l'exemple c'était "le groupe classe" l'ensemble qu'on considérait) et l'ensemble dans lequel était y (ici c'était encore "le groupe classe"). Donc là, en gros, on a du carburant pour démarrer car on a un ensemble de départ et un ensemble d'arriver donc on peut se déplacer de l'un vers l'autre....

À condition, qu'il y a une route qui relie un élément de l'ensemble de départ à un élément de l'ensemble d'arrivé. Et c'est là qu'intervient l'ensemble de définition !!!

Pourquoi? Car l'ensemble de définition d'une fonction c'est exactement l'ensemble des valeurs de x pour que F(x) est un sens. C'est à dire qu'on peut relier x à un élément y de l'ensemble d'arrivé.

Concrètement, si je reviens encore à mon exemple sur la fonction qui à un élève relie son meilleur ami. Et bien l'ensemble de définition sera l'ensemble des élèves qui a un meilleur ami. Et on enlève tous les autres élèves qui n'ont pas de meilleurs amis.

Bon, tu vas me dire c'est bien beau tout ça mais maintenant sur un exemple abstrait comment trouve-t-on un ensemble de définition?

Et bien, on va trouver un ensemble de définition, en excluant toutes les valeurs interdites pour x. C'est à dire qu'on va considérer au départ l'ensemble le plus gros c'est à dire celui des réels, R. Puis, à cet ensemble, nous allons enlever toutes les valeurs de x qui ne peuvent pas être prise par la fonction c'est à dire toutes les valeurs de x pour lesquelles, F(x) n'admet pas de valeurs dans l'ensemble d'arrivé.


Donc, la notion est centrale car sans avoir définition l'ensemble de définition d'une fonction et bien on ne peut pas utiliser la fonction tout simplement car nous n'avons pas de "route pour rouler" avec la fonction et donc on ne peut rien en faire tout simplement. C'est le même principe pour l'ensemble de dérivation d'une fonction c'est à dire que sans connaître l'ensemble de dérivation d'une fonction et bien, il ne sert à rien de dériver une fonction vu qu'on ne sera pas sur quoi roule la fonction dérivée tout simplement.

J'espère que cela est plus clair maintenant en tout cas. Et nous allons le voir tout de suite, en essayant de répondre à ton propre exercice tout simplement.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Ouaw, ça pour une réponse complète...

Et bien si j'ai bien compris, pour f(x) on va chercher les valeurs interdites dans R, c'est à dire 1 et -1, car on ne sait diviser par 0...?
Donc f(x) est compris dans l'ensemble de définition R/{-1;1}

Pour g(x) peut on dire : une racine ne peut être négative, d'où 9-x²> ou = 0 donc g(x) serait compris sur R entre [-3;+oo[...

Est-ce le bon raisonnement qu'il faut avoir face à ce type d'exercice ou bien y a-t-il autre chose à ajouter

Je te remerci par avance, espérant ne pas te faire perdre trop de temps. (je trouve génial que tu prennes un peu de temps pour m'expliquer correctement)

Alors la démarche est tout à fait juste.

Après attention au niveau des calculs. En effet, nous n'avonsp as le droit de diviser par 0, donc on enlève 1 et -1. Ce qui s'écrit R\{-1;1} à la rigueur (c'est bien "" qui signifie "privé de" en mathématiques car "/" signifie "tel que" en mathématiques; bon c'est juste du formalisme mais faut mieux prendre les bonnes habitudes tout de suite )), mais je te conseille fortement d'écrire cela sous forme d'intervalle car d'une part on visualise mieux les choses et d'autre part c'est beaucoup plus pratique à manipuler pour effectuer des encadrement par exemple. Donc ici, on dira que F est définie sur ]-Inf; -1[U]-1;1[U]1;+Inf[. On a donc trois intervalles où la fonction est bien définie et "U" signifie "union" ce qui veut dire qui correspond au "et" logique (c'est dans le premier intervalle ET dans le deuxième ET dans le troisième).

Pour la fonction g, par contre, il y a une erreur. En effet, considérons ton ensemble de définition. Peux-tu me donner à ce moment là, l'image de 4 qui est donc dans ton ensemble de définition.

Je te laisse refaire la résolution de l'inéquation qui est bien la bonne méthode poru trouver l'ensemble de définition d'une fonction qui contient une racine carrée.

Bon courage et n"hésite pas s'il y a quelque chose qui reste flou à poser tes questions.

Oups oui, effectivement une belle erreur.

Je dirais que g(x) est défini sur [-3;3] dans R pour g(x)=√(9-x²)

Non ?

merci pour tout.

C'est mieux en effet !

Sinon, une autre remarque. Il faut vraiment faire attention à la différence entre une fonction F (c'est un objet) et le réel F(x) (c'est l'image d'un réel par la fonction F et c'est donc un y qui est réel !).

Donc on parle d'ensemble de définition d'une fonction F (G, H , ....) mais pas ce que tu as écrit (que je ne réécris pas pour éviter que tu le relises tout simplement ).

Donc pour la dernière fonction, on écrira cela ainsi par exemple:

g: [-3;3] --> R définie pour tout x dans [-3;3] par g(x)=√(9-x²)

J'espère en tout cas que tout ceci est plus clair.

Et pour marteler l'importance de cette ensemble de définition, on peut par exemple regarder la résolution d'équation du type F(x)=0. En effet, pour résoudre ce genre d'équation, il faut commencer par regarder l'ensemble de validité de cette égalité qui n'est autre que l'ensemble de définition de la fonction F !! Il y a d'autres exemples d'utilité comme l'affichage graphique, la recherche de points d'intersection, la mise en équation de problème concret où x joue le rôle d'une longueur, par exemple.

Donc il faut vraiment bien assimiler cette notion car sinon, tu risques d'être complètement perdue (rien que lorsqu'on te parlera de dérivation d'ailleurs ou même de problèmes de géométrie où les fonctions apparaissent).

Bon courage!

Merci beaucoup pour tes lumières, l'image de la route pour la fonction est exellente, j'ai pu résoudre une série d'exercice de cette manière sans me tromper une seule fois .

à bientot.